книги / Методы оптимального проектирования

эффективными являются методы, использующие (при­ ближенные или точные) значения градиента. Наконец, наиболее детальное исследование окрестности текущей итерации проводится с помощью методов Ньютона и методов переменней метрики.

Следует отметить, что излагаемые' в этой главе ме­ тоды, как правило, ориентированы на выбор направле­ ния поиска без учета влияния .ограничений.

4-1. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ НАПРАВЛЕНИИ

Метод покоординатного спуска. В основе метода ле­ жит последовательная оптимизация критерия оптималь-. ности F(x) по каждому параметру.

Пусть х0==(x®i, .... л °п ) — начальная точка поиска. Итерация я1 получается из х° при выполнении однопа­ раметрической оптимизации по параметру хи т. е.

. . . . •**„),

причем

F (x \, x*t, . . . , л 0п) = т т ^ ( л :, х \, ..., х°„). Xi

Итерация, Je2 получается из х1 путем однопараметри­ ческой оптимизации по параметру х2 и т. п. На п-й ите­ рации из точки хп~1 осуществляется однопараметриче­ ский поиск по параметру хп. Далее процесс продолжа­ ется из точки хп снова путем варьирования параметра * 1 и т. д.

Поиск заканчивается, если дальнейшее изменение значений конструктивных, параметров не дает улучшения критерия оптимальности.

Этот метод иногда используется и для решения об­ щей задачи оптимального проектирования, включаю­ щей наряду с критерием оптимальности систему огра­ ничений. Тогда изменение направления поиска осущест­ вляется:

а) при завершении однопараметрической оптимиза­ ции по данному направлению;

б) при выходе на границу допустимой области. Существенным, недостатком метода покоординатного

спуска является слишком большое число обращений к модели, т. е. к вычислению значений критерия опти­ мальности и ограничений. Кроме того, ког'да линии уров­

Иными словами, каждая следующая пробная точка jffti+i отстоит от предыдущей на величину ai-i/ii-ipVi+ +h ip \ где аг-1> 1 , если шаг вдоль l-то направления был удачным, и —K a / - i< 0 , если в точке xw_1 значение функции увеличилось по сравнению с предыдущей проб­ ной точкой (рис. 4-2). В результате

Рис. 4-2. Расположение пробных точек в методе ортогональных на­ правлений.

а - F(jcfcI-l)<F(jcM-2); б — F(xhl-l)>Flxkl-2).

rft +1__

■ * " + 2 aihip '■

/=»

Выбор новых направлений осуществляется следуюг щим образом. В качестве направления pih+i выбирается вектор

При этом <?*+ ' = /?*+1, а остальные направления

• • рп получаются методом ортогонализации.

Согласно этому методу вектор р*+| представляется формулой

Отсюда для коэффициента Pi получается следующее выражение:

где коэффициенты р,- вычисляются с помощью выражения h = - P-+Vtl\lp lk+')Tp-+ \ < = 1 . 2......... /. (4-7)

Продолжая процесс поиска, в соответствии с размер­ ностью пространства параметров получаем ортогональ­ ную систему направлений qi, qz........ qn>

Коэффициенты щ подбираются ' эмпирически для различных типов проектируемых изделий. Наиболее эф­ фективные результаты на тестовых примерах получены при а ;= —1/2 при неудачных пробах и аг=3 при удач­ ных.

Некоторая модификация этого метода состоит в том, что формирование новых направлений и их ортогонализация производятся не на каждом шаге, а через некото­ рое число промежуточных итераций, например для хт , х2”1, х3т и т. д.

Хотя теоретически сходимость этого метода не до­ казана, практические результаты, полученные с его по­ мощью, вполне удовлетворительны.

Модификацией метода ортогональных направлений является использование при выборе длины шага мето-. дов однопараметрической оптимизации. Начальное опре­ деление направления поиска осуществляется по формуле

(4 -2 ) с ортогонализацией по остальным координатам. Затем осуществляется поиск минимума, критерия опти­ мальности путем изменения только первой координаты, затей только второй и т. д. Эта операция эквивалентна применению метода покоординатного спуска в новой системе координат.

Метод параллельных касательных. Другойметод определения направления поиска, предложенный Пауэл­ лом [70], получил широкое развитие как в теоретиче­ ских работах, посвященных проблеме оптимизации [57, 91], так и при практическом решении задач оптималь­ ного проектирования.

Идею этого метода изложим вначале для критерия оптимальности, представленного в виде квадратичной функции от двух переменных (рис. 4-3). В качестве на­ чального приближения выбирается произвольная точка А' 0 и производится однопараметрический поиск экстрему­

Хотя для рассмотренного тестового примера скорость сходимости метода параллельных касательных выше, чем метода ортогональных направлений, оба они могут успешно использоваться при решении практических за­ дач оптимизации.

4-2. ВЫБОР НАПРАВЛЕНИЯ ПОИСКА С ПОМОЩЬЮ ГРАДИЕНТА

Определение градиента. Градиеитом функции F(x) векторного аргумента x = (x i, хг, ., хп) называется век­ тор, координатами которого служат частные производ­ ные по соответствующим переменным:

В некоторых случаях градиент VF функции F будет для краткости обозначаться g.

Геометрически градиент критерия оптимальности представляется в виде вектора, направленного в сторо­ ну наиболее быстрого возрастания функции F. Вектор

—VF, называемый антиградиентом, направлен в сторо­ ну наиболее быстрого убывания критерия оптимально; сти. Это означает, что продвижение в направлении—VF (в окрестности рассматриваемой точки) на некоторое расстояние Ах позволит достигнуть меньшего значения критерия оптимальности, чем движение на то же рас­ стояние по лйобому другому направлению. На указанном свойстве градиента основано его использование при поиске оптимального решения.

Из математического анализа, известно, что для до­ статочно широкого класса функций F(x) можно полу­ чить аналитическое выражение для частных, производ­ ных в любой точке допустимой области. В этом случае, составив программу вычислений выражений dF/dxi, t = = 1 , 2, ..., п на ЭВМ, можно определить градиент в лю­ бой заданной точке пространства конструктивных пара­ метров. Однако на практике такой подход возможен лишь в исключительных случаях, так как в практиче­ ских задачах оптимального проектирования формулы для расчета критерия оптимальности настолько сложны, что аналитическое определение частных производных становится невозможным. В этом случае применяются разностные методы для приближенной оценки градиента.

Отсюда на основании (4-9) получаем выражение для погрешности аппроксимации:

Из этойформулы следует, что с уменьшением длины шага h точность аппроксимации производной по форму­ ле (4-11) растет быстрее, чем по. формуле (4-9). При заданной точности вычисления производной для форму­ лы (4-9) требуется меньшее значение шага, чем при использовании формулы (4-11).

Следует заметить, что при слишком малом шаге погрешность вычисления производной может оказаться недопустимо большой из-за ошибок округления, которые

частных производных с помощью конечных разностей служат следующие формулы:

а) при вычислении критерия оптимальности в точках

б) при вычислении критерия оптимальности в точках

Как и при минимизации функции одной переменной, точность аппроксимации первых частных производных по формуле (4-15) выше, чем по формуле (4-14).

Однако при достаточно сложном выражении для критерия оптимальности одновременно с точностью вы­ числения градиента становится существенным также и число арифметических операций, необходимых для его вычисления. Поэтому следует учитывать, сколько раз приходится вычислять критерий оптимальности для определения градиента.

При вычислении градиента по формуле (4-14) тре­ буется п+ 1 раз вычислить критерий оптимальности:

в точке х и при поочередных изменениях каждой коор­ динаты х{ на величину h{.

Оценка градиента по формуле (4-15) требует 2 п вы­ числений критерия оптимальности. Кроме того, во мно­ гих случаях необходимо вычисление значения критерия оптимальности в точке х (как правило, для осуществле­ ния одномерного поиска). Поэтому при использовании формулы. (4-15) на каждой итерации вычисляются 2«+1 значений критерия оптимальности. Такое большое число

имеет решающее значение для процедуры поиска экстре­ мума. Обычно это целесообразно вблизи экстремума, когда другие способы определения направления движе­ ния оказываются неэффективными. Напротив, на на­ чальных стадиях поиска, когда градиент быстро уста­ ревает ввиду успешного продвижения с помощью одно­ мерного поиска вдоль найденных направлений, его мож­ но определять с помощью формулы (4-14). Во многих случаях для вычисления градиента оказываются также полезными методы, основанные на случайном располо­ жении пробных точек.

Градиентные методы. Методы поиска, в которых на­ правление движения от итерации xh к хь+,-определяётся градиентом (антиградиентом), вычисленным в точке х \ носят название градиентных методов. Вдоль направле­ ния антиградиента производится шаг определенной дли­ ны, и в полученной точке xft+1 (новой итерации) снова определяется градиент критерия оптимальности. Гради­ ентные методы отличаются друг от друга способом вы­ бора шага вдоль вектора антиградиента.

Простейший способ — движение из точки xh по анти­ градиенту с постоянным шагом A=const, т. е.

в точку хк, и из нее вдоль антиградиента производится перемещение с шагом h/2. Дробление шага производит­ ся до тех пор, пока его значение не станет меньше неко­ торого малого положительного числа 6 .

Поиск прекращается, как только модуль вектора-гра­ диента будет меньше заданного е > 0 , т. е. при V /^ V E ^ e .