книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

и остается постоянной на протяжении всего процесса теплообмена (рис. 49). Это позволяет заменить заданные граничные условия четвертого рода граничными условиями первого рода, существенно упрощая решение задачи теплообмена.

Если тепловая активность первого тела значительно больше тепловой активности второго тела (K >> 1), то температура θп на поверхности контакта будет близка к начальной температуре θ10 первого тела. В противном случае при K → 0 имеем θп → θ20. Если же тепловые активности обоих тел одинаковы (K = 1), то θп = 0,5(θ10 – θ20), как показано на рис. 49.

Задача 1.5.3.2. Неограниченная по ширине и длине пластина толщиной 2h, имеющая в начальное время (t0 = 0) некоторое распределение температуры θ0 = θ0(х), в это же время мгновенно контактирует с окружающей средой с температурой θс, которая поддерживается постоянной на протяжении всего контакта. Найти распределение температуры по толщине пластины для произвольного времени t.

Решение. Сначала выполним математическую постановку сформулированной задачи. Для этого запишем дифференциальное уравнение теплопроводности в одномерном пространстве без учета внутренних источников тепла и конвективного переноса тепла:

∂θ(x, t) = a ∂2θ(x, t) ,

∂t ∂x2

где а – коэффициент температуропроводности, и заданные краевые условия:

θ(x, 0) = θ0(х); θ(±h, t) = θc = const.

Решение задачи выполним, полагая, что функция θ0 = θ0(х) является четной: θ0(+х) = θ0(–х). В этом случае граничные условия можно представить как условие симметрии:

Воспользуемся методом разделения переменных, который приводит к частному решению дифференциального уравнения теплопроводности

θ(x, t) = (AsinBx + CcosBx) е–atB2,

где постоянные А и В определяются граничными условиями, а постоянная С – начальным условием.

231

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Из условия симметрии следует, что

∂θ(0, t) = lim B(Acos Bx −C sin Bx)e−atB2 = BAe−atB2 = 0.

∂x x→0

Отcюда А = 0, так как величина е–atB2 на протяжении всего контакта пластины с окружающей средой (0 ≤ t < ∞) не равна нулю, и промежуточное решение принимает вид

θ(x, t) = C cosBxе–atB2.

Для определения константы В воспользуемся вторым граничным условием, и для упрощения расчетов временно положим θc = 0. Тогда

θ(h, t) = CcosBhе–atB2 = 0.

Отсюда следует, что cosBh = 0 и константа В имеет не одно значение, а бесчисленное множество:

Следовательно, общее решение будет суммой частных решений с индивидуальными константами С = Сk:

Общее решение при t = 0 с помощью начального условия θ(x, 0) = θ0(х) позволяет представить заданную функцию θ0(х) в виде тригонометрического ряда Ж. Фурье:

∞

θ(x, 0) = θ0(х) = ∑Ck cos Bk x.

k =1

Для определения констант Сk умножим обе части этого равенства на cosBjx и проинтегрируем их от нуля до h:

232

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Рассмотрим два разных случая, когда в правой части k ≠ j и когда k = j. Докажем, что в первом (k ≠ j) случае функции cosBkx и cosBjx на интервале

0 ≤ x ≤ h являются взаимно ортогональными

(cosBkx, cosBjx) = 0,

и тогда интеграл в правой части равен нулю. Для этого, обозначив интеграл в правой части через I, воспользуемся тригонометрическим преобразованием

cosα cosβ = 0,5[cos(α – β) + cos(α + β)].

Тогда после интегрирования правой части получим

Теперь с помощью тригонометрической формулы

sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

приведем этот интеграл к виду

I = 2 Bk sin Bk h cos Bj h − Bj cos Bk hsin Bj h .

Bk2 − B2j

Ранее было показано, что Bk h = 0,5π(2k – 1); Bj h = 0,5π(2j – 1) и, следова тельно, cosBk h = cosBj h = 0. Поэтому числитель в полученном значении интег рала равен нулю, а знаменатель при k ≠ j отличен от нуля. Таким образом, дока зательство для первого случая выполнено.

Для анализа второго случая (k = j) нельзя использовать последнее значение ин теграла I, так как в нем при k = j и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Поэтому вернемся к исходному значению I и перепишем его с учетом k = j = m:

Здесь учтено, что Bm h = 0,5π(2m – 1), и поэтому синус в числителе равен нулю. Теперь можно записать

2 h

Cm = h ∫0 θ0 (x) cos Bm xdx.

233

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Окончательно общее решение поставленной задачи с учетом всех найденных коэффициентов представляется в виде

где μm = 0,5π(2m – 1); число Ж. Фурье

Fo = hat2 .

Если теперь отказаться от принятого ранее временного равенства нулю температуры окружающей среды θc, то для произвольного значения θc решение представляется в виде

где приращение температуры Δθ = θ0(х) – θc.

Самостоятельно. Используя последний результат, показать, что при θ0 = const распределение температуры в неограниченной по ширине и длине пластине толщиной 2h имеет вид

Практическое применение последняя и предыдущая формулы могут найти при проектировании технологии производства горячекатаной продукции, имеющей существенное превышение размеров по длине и ширине над размерами по высоте, для расчета распределения температуры в раскате при его движении по рольгангу в междеформационных паузах.

Задача 1.5.3.3. Для пластины конечных размеров по высоте, длине и ширине (2h ×2 ×2b) c начальной температурой θ0 = const, мгновенно при t0 = 0 вступающей в контакт с окружающей средой, имеющей постоянно поддерживаемую температуру θc, найти распределение температуры в произвольное время t > 0.

Решение. Назначим декартовы прямолинейные координаты xi так, чтобы центр координат совпал с центром пластины, а оси х1, х2 и х3 были направлены соответственно по высоте, длине и ширине пластины (–h < х1 < h; –b < х3 < b), и

234

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

выполним математическую постановку задачи. Для этого запишем уравнение теплопроводности (1.4.61) для трехмерной задачи без учета внутренних источников тепла и конвективного теплообмена:

Докажем, что решение трехмерной температурной задачи может быть сведено к решению трех одномерных задач типа задачи 1.5.3.3 и может быть представлено в виде

Здесь Δθ = θ0 – θc; параметры μm, μk, μj однотипны и, если каждый из индексов обозначить через p, то μp = 0,5π(2p – 1). Числа Ж. Фурье, равные

Foh = hat2 ; Fo = at2 ; Fob = bat2 ,

так же, как и в задаче 1.5.3.3, зависят от коэффициента температуропроводности а.

235

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Для доказательства возможности применения формулы (З1.5.2) при решении трехмерной температурной задачи вспомним, что в соответствии с решением задачи 1.5.3.3 каждое из решений (З1.5.3) удовлетворяет индивидуальным краевым условиям (З1.5.1) и одномерному дифференциальному уравнению теплопроводности:

и подставим результат преобразования в трехмерное дифференциальное уравнение теплопроводности:

Каждая из величин θh, θ , θb удовлетворяет своему дифференциальному урав-

нению (З1.5.4). Поэтому все соотношения, стоящие в последнем дифференциальном уравнении в квадратных скобках, равны нулю и само уравнение обращается в тождество.

Таким образом, показано, что температурное поле (З1.5.2) является решением поставленной трехмерной задачи теории теплопроводности и его построение при краевых условиях (З1.5.1) сводится к решению трех одномерных температурных задач с температурными полями (З1.5.3).

Результаты рассмотренной задачи могут быть применимы для технологических расчетов первых проходов горячей прокатки до тех пор, пока все размеры проката остаются величинами одинакового порядка. При значительном уменьшении высоты проката по сравнению с длиной и шириной расчеты проще выполнять по формулам задачи 1.5.3.3.

236

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Задача 1.5.3.4. Записать уравнение равновесия через кинематические параметры движения сплошных вязкопластичных изотропных сред.

Решение. Уравнение равновесия (1.4.18) устанавливает связь между компонентами тензора напряжений в окрестности движущейся материальной частицы сплошной среды.

Воспользуемся уравнением (1.5.12) состояния сплошной изотропной среды в соответствии с теорией ВПТ: Tσ – Sσ = μ*(Tξ – Sξ). Умножим скалярно левую и правую части последнего соотношения на оператор У. Р. Гамильтона. Тогда, учиты-

вая, что Sσ = σ0 и для любого скаляра ϕ и для произвольного тензора Ta величина (ϕTa) = ϕ Ta + ϕTa, получим σ0 = – μ* (Tξ – Sξ) + μ* (Tξ – Sξ). В связи с тем, что σ0 ≡ 0, окончательно получаем искомую запись уравнения

равновесия:

[μ* (Tξ – Sξ) + μ* (Tξ – Sξ)] = 0.

Учитывая для девиатора скоростей деформаций формулу (1.2.150), окончательно уравнение равновесия для сплошных вязкопластичных изотропных сред принимает вид

(μ* Dξ + μ* Dξ) = 0.

Самостоятельно. Показать, что для упругопластичных сплошных изотропных сред (1.5.10) в соответствии с теорией УПД уравнение равновесия (1.4.18) приводится к виду

[μ (Tε – Sε) + μ (Tε – Sε)] = 0

или с учетом значения девиатора деформации (1.2.84) уравнение равновесия (1.4.18) представляется в виде

(μ Dε + μ Dε) = 0.

Задача 1.5.3.5. Установить вид тензора напряжений Тσ при плоском деформированном состоянии сплошных изотропных несжимаемых сред.

Решение. При плоском деформированном состоянии в трехмерном пространстве тензор скоростей деформаций имеет вид

ξ11 0 ξ13

Tξ = 0 0 0 .

ξ31 0 ξ33

Для изотропных сред в соответствии с теорией ВПТ (1.5.12) девиатор напряжений Dσ пропорционален девиатору скоростей деформаций Dξ:

237

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

где μ* – коэффициент динамической вязкости.

Для несжимаемых сред компоненты девиатора скоростей деформаций Dξ вследствие равенства нулю сферической части тензора скоростей деформаций (Sξ = 0) полностью совпадают с компонентами тензора скоростей деформаций (ηik = ξik), и соотношение (З1.5.5) принимает вид

где sik – компоненты девиатора напряжений. Перепишем соотношение (1.3.22) в скалярной форме

sik = σik – σ0 δik,

где σ0 – среднее напряжение; δik – символ Е. Кронекера. Тогда из равенства нулю компоненты s22 устанавливаем, что компонента тензора напряжений

σ22 = σ0.

По формуле (1.3.20) для трехмерного пространства

σ0 = σ11 + σ22 + σ33

3

или после подстановки сюда значения напряжения σ22 получаем, что при плоском деформированном состоянии сплошных изотропных несжимаемых сред среднее напряжение рассчитывается по формуле (2.2.11):

В общем случае сумма числителя отлична от нуля, и поэтому тензор напряжений при плоском деформированном состоянии сплошных изотропных несжимаемых сред имеет вид

σ11 0 σ13

Tσ = 0 σ22 0 .

σ31 0 σ33

238

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Самостоятельно. Показать, что тензор напряжений будет иметь такой же вид, если воспользоваться теорией УПД (1.5.10) для сплошных сред, движущихся с неизменным объемом в условиях плоской деформации, когда в трехмерном пространстве тензор скоростей деформаций имеет вид

1.5.4. Кинематическая постановка задач

Если в математической постановке краевой задачи все параметры движения сплошной среды записаны через кинематические параметры, то это означает, что выполнена кинематическая постановка краевой задачи.

В дальнейшем для определенности уравнение (1.5.13), использованное в табл. 4, будем представлять в виде (1.5.3), полагая, что при необходимости ком-

4

поненты тензора состояния Tc могут быть функциями пространственного гра-

диента деформации (1.2.19). Теперь, после подстановки (1.5.3), (1.2.83), (1.5.18) в (1.4.16), получим:

4

При заданном тензоре состояния среды Tc , известных массовых силах и исходной плотности ρ0 соотношение (1.5.29) представляет собой замкнутое векторное уравнение относительно L или замкнутое множество скалярных уравнений относительно компонент этого вектора Li.

Частные варианты записи уравнения (1.5.29), используемые в МСС, определяются свойствами деформируемой среды и типом пространства, в котором осуще-

239

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ствляется ее движение. При этом тип пространства влияет только на вид скалярной формы записи уравнения (1.5.29). В математических постановках задач ОМД часто

используют запись уравнения (1.5.29) в скоростях или перемещениях.

4 4

Упражнение 1.5.7. Используя симметрию тензоров состояния среды Tc и Tc

с помощью формул О. Коши (1.2.70) и Дж. Стокса (1.2.137), показать, что определяющие уравнения (1.5.1) и (1.5.3) можно заменить соответствующими соотношениями

Теперь основное замкнутое множество уравнений (табл. 4) может быть представлено в виде, приведенном в табл. 9. В этом множестве для изотропных сред определяющее уравнение (1.5.3) заменяется соотношением (1.5.12).

Упражнение 1.5.8. Доказать, что следствием определяющего уравнения (1.5.12) является пропорциональность сферических частей тензоров напряжений Sσ и скоростей деформаций Sξ, а также пропорциональность девиаторов напряжений Dσ и скоростей деформаций Dξ:

При подстановке (1.5.32) в (1.4.16) получаем уравнение К. Навье–Дж. Стокса:

240