книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.3. СТАТИКА

Проверка. В правильности решения можно убедиться вычислением касательного напряжения по формуле Б. В. Кучеряева в статике (1.3.28):

τn = n ×(Dσ n)×n.

Самостоятельно. Выполнить проверку полученного значения касательного напряжения вычислением его по формуле (1.3.28).

Указание. Учитывая независимость касательных напряжений от среднего напряжения σ0, в данном случае нет необходимости рассчитывать девиатор напряжений Dσ по формуле (1.3.23), так как достаточно заменить в формуле (1.3.28) Dσ на заданный тензор напряжений Tσ:

τn = n ×(Tσ n)×n.

Задача 1.3.3.5. Показать, что при плоском напряженном состоянии норма вектора касательного поверхностного напряжения имеет вид, представленный в упражнении 1.3.5:

τn = 2s11n1n2 − s12 (n12 − n22 ).

Решение. По формуле (1.3.28) запишем компоненты касательного поверхностного напряжения:

τnk = kjm mpq spi ni nj nq.

При плоском напряженном состоянии матрица тензора напряжений Tσ и соответствующая матрица девиатора напряжений Dσ имеют размерность 2 2. Поэтому в последней формуле при суммировании по повторяющимся индексам необходимо учитывать, что индексы k, j, p, q, i могут принимать лишь два значения, например 1, 2. Тогда, исходя из свойств символа Т. Леви-Чивиты, в этом случае для индекса m следует учитывать единственное значение 3, так как при других значениях индекса m этот символ будет равен нулю:

τnk = kj3 3pq spi ni nj nq.

Отсюда

τ1n = n2[(s11n1 + s12n2)n2 – (s21n1 + s22n2)n1];

τn2 = n1[(s11n1 + s12n2)n2 – (s21n1 + s22n2)n1].

161

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Учитывая симметрию девиатора напряжений (spi = sip) и равенство нулю суммы его диагональных компонент (s11 + s22 = 0 или s11 = – s22), получаем

Теперь, принимая во внимание, что модуль (норма) единичной внешней нормали n равен единице, рассчитывая норму касательного поверхностного напряжения

τn = τnk τnk ,

получаем формулу упражнения 1.3.5.

Задача 1.3.3.6. По заданному тензору напряжений

2 0 2

Tσ = 0 3 0 2 0 4

определить модуль касательного напряжения τn на наклонной площадке с еди-

ничной внешней нормалью n = niei = 15 e1 + 25 e2 .

Решение. В данном случае модуль касательного напряжения удобнее определять через компоненты девиатора напряжений (1.3.23) по формуле (1.3.28). Поэтому сначала, используя заданный тензор напряжений, по формулам (1.3.23) найдем девиатор напряжений

−1 0 2

Dσ = 0 0 0 . 2 0 1

При этом отмечаем, что компонента s22 = 0. Это связано с тем, что в заданном тензоре напряжений среднее диагональное напряжение оказалось равным полусумме двух других диагональных напряжений:

σ22 = σ11 + σ33

2

и совпало со средним напряжением σ0.

162

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

nокт = ± 1 .

(1.3.30)

Учитывая, что в главных координатах тензор напряжений имеет диагональный вид (1.3.18), используя в формуле О. Коши (1.3.13) нормаль (1.3.30), находим вектор полного октаэдрического напряжения (рис. 41):

По формуле (1.3.14), принимая во внимание (1.3.30) и (1.3.31) и учитывая (1.3.20), устанавливаем, что длина (1.3.14) нормального октаэдрического напря жения точно равна среднему напряжению:

С помощью (1.3.31) и (1.3.33) по формуле (1.3.16) находим вектор касатель

ного октаэдрического напряжения

модуль которого

Упражнение 1.3.6. Показать, что с помощью (1.3.20) модуль касательного октаэдрического напряжения при N = 3 можно привести к виду

Упражнение 1.3.7. Показать, что с точностью до постоянного сомножителя модуль касательного октаэдрического напряжения совпадает с интенсивностью касательных напряжений (1.3.24):

164

1.3. СТАТИКА

Учитывая, что σii – σkk = sii – skk, формулу (1.3.35) можно представить в виде

где si – главные компоненты девиатора напряжений.

Связь поверхностных напряжений, действующих на октаэдрических площадках, со средним напряжением (1.3.32) и с интенсивностью касательных напряжений (1.3.36), имеющих важное значение в теории ОМД, является одной из причин выделения их среди множества других характерных площадок тензора напряжений.

Если в формуле (1.3.34) выражение, стоящее в скобках, заменить главными компонентами девиатора напряжений sk = σk – σ0 (1.3.22), то получим частный вид подтверждения теоремы из пп. 1.3.3 о независимости касательных напряжений от гидростатического давления: τокт = sk nkоктek . Здесь следует напомнить (п. П1.4), что главные направления тензора и его девиаторной части всегда совпадают.

Другими характерными площадками тензора напряжений являются площадки экстремальных касательных напряжений, ориентация которых, так же как ориентация площадок октаэдрических напряжений, определяется в главных координатах тензора напряжений, где последний имеет вид (1.3.18).

Квадрат модуля касательного напряжения (1.3.27) или (1.3.28) в главных осях представляется функцией компонент nj единичной внешней нормали (1.2.169):

где si (как и ранее) – главные компоненты девиатора напряжений (1.3.22). Исследуем на экстремум функцию (1.3.38) при условии

τn2 = s12n12 + s22n22 + s32 (1− n12 − n22 ) −[s1n12 + s2n22 + s3 (1− n12 − n22 )]2 . (1.3.41)

165

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Частные производные функции (1.3.41) по n1 и n2 приравняем к нулю:

При n1 = 0 и n2 = 0 выполняются оба соотношения: (1.3.42) и (1.3.43). Тогда, согласно (1.3.40), n3 = 1, т. е. получено направление, соответствующее одной из главных площадок, перпендикулярной главной оси 3, на которой касательное напряжение минимально по модулю: τn = 0. Это значение будем относить к пер-

вому семейству экстремальных значений модуля τn вектора τn в главном множестве координат тензора напряжений.

Для безусловного выполнения (1.3.42) положим n1 = 0. Тогда из (1.3.43) следует

чений τn достигается на площадках с первыми направлениями нормалей, которые в тензорной форме записи имеют вид

пряжения и параллельны его главной оси 1.

Аналогично, учитывая безусловное выполнение (1.3.43) при n2 = 0, из (1.3.42)

семейства достигаются на площадках со вторыми направлениями нормалей:

166

1.3. СТАТИКА

Такие площадки расположены под углом

Σ к главным осям 3 и 1 тензора напряжения

4

и параллельны его главной оси 2 (рис. 42).

Третьи направления нормалей nIII площадок экстремальных значений Ωn получаются

путем решения (1.3.39) относительно n12 или

n22, так же как это было сделано для n32 в

Рис. 42. Одна из двенадцати площадок

(1.3.40). Для краткости изложения опустим максимальных касательных напряжений процедуры, связанные с получением формул типа (1.3.41)–(1.3.44), которые легко можно получить из (1.3.41)–(1.3.44) циклической перестановкой индексов 1 ο 2 ο 3.

При n1 = 0 и n3 = 0 или при n3 = 0 и n2 = 0, согласно (1.3.40), получим либо n2 = 1, либо n1 = 1, т. е. имеем направления двух главных площадок, перпендикулярных либо главной оси 2, либо главной оси 1, на которых касательное напряжение минимально по модулю: Ωn = 0. Ранее мы оговаривали, что это значение будем относить к первому семейству экстремальных значений модуля Ωn век-

очередные экстремальные значения Ωn второго семейства достигаются на площадках с третьими направлениями нормалей

4

1 и 2 тензора напряжения и параллельны его главной оси 3.

Подставив в (1.3.38) значения направляющих косинусов единичных норма-

лей nI (1.3.45), nII (1.3.46) и nIII (1.3.47), получим второе семейство (при i ζ k) экстремальных значений

167

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

которые принимает модуль τn вектора τn на соответствующих площадках в главных координатах тензора напряжений.

Таким образом, получили, что на главных площадках, перпендикулярных главным осям координат тензора напряжений, как и следовало ожидать, отсутствуют касательные напряжения и их нулевые значения, относящиеся к первому семейству решений, являются минимальными (по модулю). На остальных площадках экстремальных по модулю касательных напряжений (второе семейство решений) действуют максимальные касательные напряжения (1.3.48).

С использованием (1.3.22) формулу для вычисления максимальных по модулю касательных напряжений (1.3.48) можно представить в виде

Среди всех экстремальных значений τn наибольшим по абсолютной вели-

чине, учитывая (1.3.19), является τmax = ± 12 (σ3 −σ1 ).

Максимальные касательные напряжения τik (i ≠ k) и ориентация их площадок в пространстве главных координат тензора напряжений, где действуют τik, имеют важное значение в теории ОМД. В частности, с ними связывают плоскости и направления скольжения, по которым преимущественно осуществляется пластическая деформация металлов.

Задачи к пп. 1.3.4

Задача 1.3.4.1. По заданному тензору напряжений

определить полное σокт , нормальное и касательное напряжения на октаэдрической площадке (на площадке, равнонаклоненной к главным координатным осям тензора напряжений).

Решение. Найдем диагональный вид заданного тензора, решая характеристическое уравнение его матрицы

168

1.3. СТАТИКА

или

(3 – λ)(2 – λ)(4 – λ) – 36(3 – λ) = 0.

Напряжения, действующие на площадке, равнонаклоненной к главным координатным осям тензора напряжений, называются октаэдрическими напряжениями. Единичные внешние нормали таких площадок в главных координа-

По формуле О. Коши (3.5) имеем

σокт = ± 13σiei

или

169

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Тогда вектор нормального октаэдрического напряжения

Теперь по формуле (3.7) определяем касательное напряжение

Модуль касательного октаэдрического напряжения τокт = 22.

Проверка. 1) Модуль нормального октаэдрического напряжения должен быть равен среднему напряжению (1.3.20):

σ0 = 3 + 2 + 4 = 3. 3

2) Модуль касательного октаэдрического напряжения с точностью до постоянного сомножителя должен совпадать с интенсивностью касательных напряжений (1.3.36). Формула (1.3.24) может быть записана через компоненты тензора напряжений в его главных координатах:

Подстановкой сюда главных напряжений находим

Отсюда

Т= 23 .

3)Самостоятельно. Используя формулу (1.3.28), проверить значение τокт, вычисленное по формуле (1.3.34).

Задача 1.3.4.2. По заданному в предыдущей задаче тензору напряжений определить максимальные касательные напряжения.

Решение. Максимальные касательные напряжения полностью определяются главными напряжениями σi (1.3.49). Воспользуемся главными напряжения-τокт

170