книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.4. ДИНАМИКА

Самостоятельно. Убедиться в правильности вычисления напряжений подстановкой их в уравнение равновесия (1.4.18).

Задача 1.4.2.3. По заданной функции напряжений Дж. Эри

где a – константа с размерностью силы, определить компоненты тензора напряжений.

Решение. Распишем формулу (1.4.22) по цифровым индексам:

Проверка. Вычислим слагаемые, входящие в уравнение равновесия (1.4.18):

Нетрудно убедиться в том, что

1.4.3. Симметрия тензора напряжений

Воспользуемся теоремой курса теоретической механики о главном моменте всех действующих сил:

191

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Здесь x – радиус-вектор материальной частицы. С помощью (П1.103) и (1.3.13) преобразуем поверхностный интеграл формулы (1.4.23) в декартовых координатах:

Первое слагаемое уравнения (1.4.24) при условии выполнения уравнения движения (1.4.16) равно нулю. Тогда, вследствие леммы об интегрировании по произвольному объему, из (1.4.24) получим

Здесь попарные векторные произведения ортов ej и em , учитывая (П1.14), запишем в виде ej ×em = jmp ep . Тогда из уравнения (1.4.25), представленного в

форме σ jm jmp ep = 0, следует закон парности касательных напряжений (боковых компонент тензора напряжений)

в декартовых координатах справедливо для любого множества координат. Ясно, что тензор TΦ, обеспечивающий безусловное выполнение уравнения

равновесия (1.4.18), для получения с помощью (1.4.19) симметричного тензора Tσ должен быть симметричным.

192

1.4. ДИНАМИКА

1.4.4. Баланс мощности (работы)

Сначала рассмотрим мощность ∫ σαn VαdS, которую развивают поверхност-

Sα

ные силы, приложенные к телу Mα с объемом Ωα и поверхностью Sα. Используя (1.3.13) и (П1.103), запишем

Упражнение 1.4.3. Доказать тождество

Упражнение 1.4.4. Используя симметрию тензора напряжений (1.4.26) или (1.4.27), доказать тождество

где Tξ определяется формулой Дж. Стокса (1.2.137).

Упражнение 1.4.5. Показать, что разложением тензоров напряжения Tσ и скоростей деформаций Tξ на девиаторную и сферическую части (П1.53)–(П1.56), формулу (1.4.30) при N = 3 можно представить в виде

где σ0 – среднее напряжение (1.3.20); ξ0 – средняя скорость деформации (1.2.148)

Подстановкой (1.4.29) в (1.4.28) при выполнении уравнения движения (1.4.14) получаем баланс мощности для α-среды:

∫ σαn VαdS + ∫ ρα Fα VαdΩ =

Sα Ωα

В левой части уравнения (1.4.32) представлена мощность активных (поверхностных и массовых) по отношению к рассматриваемому телу Mα сил, а в правой – мощность реактивных (инерционных и внутренних) сил. Таким образом,

193

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

(1.4.32) следует рассматривать как баланс мощности всех действующих на тело Mα сил.

Теперь рассмотрим сплошную композитную среду M = Mα Mβ с объемом Ω и поверхностью S. Для объема Ωβ с поверхностью Sβ по аналогии с (1.4.32) запишем баланс мощности

∫ σβn VβdS + ∫ ρβFβ VβdΩ =

Sβ Ωβ

Пусть в области Ωтензор напряжений Tσ, поле скоростей V , массовые силы F

иплотность ρтаковы, что в областях Ωα и Ωβ они принимают значения Tσα и Tσβ, Vα

иVβ , Fα и Fβ, ρα и ρβ соответственно. Кроме того, часть границ Sα и Sβ является общей границей Sαβ двух рассматриваемых тел, а оставшиеся части границ этих тел

S = Sα Sβ\Sαβ образуют замкнутую поверхность всего тела M. Баланс мощности всех действующих на тело M сил можно получить двумя способами.

Первый способ сводится к суммированию (1.4.32) и (1.4.33) с учетом обозначений параметров, действующих в объеме Ωи на его поверхности S. При суммировании приращений мощности, развиваемой поверхностными силами на соответствующих скоростях в точках s различных участков поверхностей, ограничивающих тела Mα и Mβ композитной среды M, необходимо учитывать действие на S

напряжения σn и скорости V , а на Sαβ– напряжений σαn , σβn и скоростей Прежде чем перейти к суммированию (1.4.32) и (1.4.33), рассмотрим зна-

чения мощности поверхностных сил на Sαβ. На основании (1.3.55) и (1.3.16)

Ранее (1.2.182) отмечалось, что разрыв (скачок) вектора скорости КВ-поля скоростей на какой-либо поверхности может осуществляться лишь за счет

194

1.4. ДИНАМИКА

тангенциальной к этой поверхности составляющей, а нормальная составляющая вектора скорости должна быть непрерывной (1.2.183):

то с учетом (1.4.34) эту мощность Рис. 46. Статические и кинематические условия на

Более подробно первое подынтегральное выражение (1.4.38) на основании (1.3.16) имеет вид pn (V p VΕp ) + Ωn (V Ω VΕΩ ). К аналогичному виду приводится второе подынтегральное выражение (1.4.39): pΕn (VΕp V p ) + ΩΕn (VΕΩ V Ω ).

Тогда с учетом (1.4.36) в обеих суммах соответственно остаются Ωn (V Ω VΕΩ ) и

195

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

При решении конкретных задач о движении композитных материалов обозначения типа (1.4.40) назначают в зависимости от свойств контактирующих сред.

Окончательно сумма (1.4.32) и (1.4.33), или баланс мощности всех действую щих на композитное тело M сил, имеет вид

Здесь мощность активных по отношению к телу M сил представлена первым и третьим слагаемыми левой части уравнения (1.4.42), а мощность реактивных

сил – слагаемыми правой части уравнения. Учитывая, что векторы и Vαβ

всегда направлены на Sαβ противоположно друг другу, второе слагаемое в балансе мощности (1.4.42), характеризующее ее рассеяние на межкомпонентной границе, относят к мощности реактивных сил.

Если на всей границе Sαβ отсутствует скачок вектора скорости (1.4.40), то для всего композитного тела M можно использовать единое векторное поле скоростей V (1.2.95), соответствующее балансу мощности всех действующих сил

Вывод уравнений (1.4.42)–(1.4.44) вторым способом предлагается выполнить самостоятельно в следующем упражнении.

Упражнение 1.4.6. Исходя из записи мощности поверхностных сил

действующих на композитное тело M = Mα Mβ, используя путь получения (1.4.32) из (1.4.28), вывести уравнение (1.4.42)

196

1.4. ДИНАМИКА

При выводе уравнения (1.4.42) предполагалось, что композитное тело M состоит из двух сред Mα и Mβ. Легко показать, что (1.4.42) обобщается для самого произвольного случая, когда M состоит из любого количества компонент. В этом случае во втором слагаемом баланса мощности (1.4.42) необходимо выполнить суммирование по греческим индексам α и β, как это делается во всем учебнике, полагая, что при α = β соответствующие слагаемые равны нулю. В частности, для гомогенных сред, когда α = β = 1, из (1.4.42) получаем (1.4.43) или (1.4.44).

Следует акцентировать внимание на том, что переход типа (1.4.28) с помощью (П1.103) возможен лишь тогда, когда поверхностный интеграл берется по замкнутой поверхности. Это требование вытекает из непременных условий теоремы М.В. Остроградского–К. Гаусса (П1.103).

Теперь приступим к выводу баланса работы всех действующих на гетерогенное тело M сил.

По аналогии с выводом баланса мощности (1.4.42), исходя из работы поверхностных сил на соответствующих перемещениях

получаем баланс работы всех действующих на рассматриваемое композитное тело M сил:

197

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

При описании движения гомогенной среды баланс работы имеет такой же вид. По аналогии с (1.4.30), используя симметрию тензора напряжений и кинематическую формулу О. Коши (1.2.70), можно показать, что

Поэтому баланс работы (1.4.49) обычно записывают, используя (1.4.50):

При решении многих задач ОМД, как отмечалось ранее, массовые и инерционные силы можно считать пренебрежимо малыми. В этом случае баланс мощности (1.4.42) применяется в упрощенном виде:

в котором использованы соотношения (1.4.30) и (1.4.31). При этом первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой мощность, диссипируемую вследствие изменения формы композитного тела, а второе – вследствие изменения объема (1.2.151), (1.3.21), (1.3.22) (задача 1.4.4.2). Из (1.4.52) особо выделим тот частный случай, когда выполняется условие несжимаемости (1.2.98), и вследствие (1.2.146), (1.2.148) имеем

а на границе S тела M в поверхностном интеграле (1.4.52) рассматривается только мощность, развиваемая касательными поверхностными напряжениями. В этом случае из (1.4.52) получаем

Такой случай для несжимаемых сред возможен, если на участках границы S с ненулевыми поверхностными напряжениями нормальная к этим участкам составляющая вектора скорости равна нулю. Важность этого частного случая состоит в том, что он довольно часто встречается при решении задач ОМД и баланс мощности с учетом (1.3.27) или (1.3.28) полностью определяется девиаторами напряжений Dσ и скоростей деформаций Dξ, касательными напряжениями

198

1.4. ДИНАМИКА

и вектором скорости. Аналогичные частные виды баланса работы можно получить из (1.4.47).

Задачи к пп. 1.4.4

Задача 1.4.4.1. По заданному в прямолинейной полосе − 2 ≤ E1 ≤ 2 ;

– h ≤ E2 ≤ h полю скоростей V с компонентами

где a – константа с размерностью скорости, и полю тензора напряжений Tσ с компонентами

где p1, p2 – давление, приложенное к границам E1 = − 2 и E1 = 2 соответствен-

но, определить составляющие баланса мощности.

Решение. Начнем с вычисления мощности внутренних сил в (1.4.44):

Int = ∫Tσ TξdΩ = ∫σik ξkidΩ.

ΩΩ

Для этого по формуле Дж. Стокса (1.2.137) с помощью заданного в области с объемом поля скоростей определим компоненты тензора скоростей деформаций:

Подстановкой этих значений и заданных напряжений в формулу мощности внутренних сил получим

Int = ∫(σ11ξ11 + 2σ12ξ12 + σ22ξ22 ) dΩ =

199

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Теперь вычислим мощность внешних, в данном случае на поверхности S, сил в (1.4.44):

Ext = ∫σn VdS = ∫( pnV p + τnV τ ) dS,

S S

где pn, τn – модули нормального и касательного напряжений на поверхности S с

единичной внешней нормалью n ; V p , V τ – модули нормальной и касательной составляющих вектора скорости на поверхности S.

На границе E1 = − 2 нормаль n имеет компоненты n1 = –1; n2 = 0. Поэтому по формуле (1.3.14) с учетом заданных напряжений находим модуль нормального напряжения pn = – p1, а по формуле V p =V n с учетом заданного поля скоростей имеем модуль нормальной составляющей вектора скорости

диагональные компоненты девиатора для заданных напряжений равны нулю,

находим модуль касательного напряжения τn = −σ12 = ( p1 − p2 )E2 , а с помо-

щью формулы (1.2.175) находим V τ = 0.

Самостоятельно показать, что аналогичные граничные условия на противопо-

соответственно.

Теперь, используя найденные условия на границе, вычисляем мощность внешних

Подставим в формулу баланса мощности (1.4.44) без учета массовых и инерционных сил

JБ = Int – Ext = 0

200