книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.2. КИНЕМАТИКА

то при однородной деформации образца сжатием или растяжением с постоянной скоростью деформации во всем образце (ξ1 = ξ*) получим экспоненциальную зависимость функции f(t) от времени t (1.2.168).

Для расчета степени деформации сдвига Λ по формуле (1.2.162) необходимо определить интенсивность сдвиговых скоростей деформаций Н. При плоской деформации сплошной несжимаемой среды Н вычисляется по формуле задачи 1.2.7.6, и с учетом отсутствия в рассматриваемых процессах сдвигов имеем Н = 2ξ1. Тогда для плоской деформации получаем

tκ

Λ = 2∫ξ1dt.

t0

При нагружении образца в режиме с постоянной скоростью деформирования находим

После подстановки этого значения в предыдущую формулу имеем

где учтено, что t0 = 0. Для определения времени окончания процесса нагружения tк воспользуемся граничным условием f(tк) = 1 для функции f(t). Тогда

tκ = V h .

Используя это значение, получаем степень деформации сдвига Λ при однородной деформации образца из несжимаемого материала в режиме с постоянной скоростью деформирования соответственно для растяжения и сжатия:

с учетом неотрицательности Λ.

При нагружении образца в режиме с постоянной скоростью деформации (ξ1 = ξ* = const) имеем

101

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

tк

Λ = 2∫ξ dt =2ξ tк.

t0

В этом случае для определения tк необходимо использовать граничное условие f(tк) = 1 для функции f(t):

При подстановке этой величины в предыдущую формулу с учетом неотрицательности Λ получаем значение степени деформации сдвига при однородной деформации образца из несжимаемого материала в режиме с постоянной скоростью деформации соответственно для растяжения и сжатия, точно совпадающее с таковым при однородной деформации образца из несжимаемого материала в режиме с постоянной скоростью деформирования.

Самостоятельно. Показать, что при однородной деформации образцов из несжимаемых материалов в процессах трехмерного сжатия – растяжения пря-

моугольного параллелепипеда с исходными размерами h0, b0, 0 и текущими раз-

мерами h, b, (h0b0 0 = hb; b0 / b = 0 / ) и при осесимметричном сжатии – растяжении круглого цилиндра с исходными размерами h0, R0 и текущими размерами h, R (h0 R02 = hR2 ) степень деформации сдвига имеет вид

для растяжения и сжатия соответственно.

Указание к самостоятельному решению. Для растяжения–сжатия прямоугольного параллелепипеда (при условиях h0b0 0 = hb; b0 / b = 0 / ) можно использовать поле скоростей с компонентами (1.2.113):

а для растяжения–сжатия круглого цилиндра (при условии h0 R02 = hR2 ) можно использовать поле скоростей с компонентами

102

1.2. КИНЕМАТИКА

В обоих случаях текущая высота h определяется формулой (1.2.117).

1.2.8. Кинематические граничные условия

При постановке задач ОМД граничные, в том числе и кинематические граничные условия назначаются на основе априорных или апостериорных представлений об изучаемом процессе. Наиболее часто кинематические граничные условия задаются в виде значений вектора скорости (вектора перемещения) или его отдельных компонент на границе области исследования. Очевидно, это связано с ограниченностью нашего восприятия движения материальных объектов. Действительно, трудно, например, предположить значение какой-либо компоненты тензора скоростей деформаций на контакте деформируемого металла с абсолютно жестким инструментом. И совершенно очевидно, что нормальная к поверхности такого инструмента составляющая вектора скорости металла в точке контакта его с инструментом должна быть равна такой же составляющей вектора скорости инструмента в этой же точке. В дальнейшем (пп. 1.5.3) мы будем различать несколько типов граничных условий. Здесь отметим, что с кинематическими параметрами связаны кинематические и смешанные граничные условия.

Кинематические условия в скоростях на границе SV с единичной внешней нормалью

считаются заданными, если на этой границе известен вектор скорости V n , значение, которого должен принимать вектор скоростиV движения среды во всех

граничных точках s:

При задании смешанных граничных условий используется либо нормальная

V p , либо касательная V τ к поверхности S составляющая вектора скорости. В первом случае используется заданное значение V p по нормали n к поверхности Sτv, которое должна принимать проекция вектора скорости V движения среды на направление этой нормали:

103

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

верхности Spv, которое должна принимать проекция вектора скорости V на плоскость, касательную к поверхности S в рассматриваемой ее точке s.

Прежде чем записать кинематическую часть граничного условия для второго случая, выполним в общем виде проектирование произвольного вектора a

на плоскость с нормалью n.

Проектирование вектора a на касательную плоскость поверхности S с нормалью n выполняется в два этапа. На первом этапе находим вспомогательный

Упражнение 1.2.19. Доказать, что вспомогательный вектор (1.2.173) лежит в плоскости, касательной к поверхности S с нормалью n, перпендикулярен вектору a и нормали n, а по модулю совпадает с проекцией aΩ вектора a на касательную плоскость.

Для второго этапа проектирования необходимо выполнить следующее упражнение.

Упражнение 1.2.20. Доказать, что векторное произведение единичной внешней нормали n, поверхности S на вспомогательный вектор (1.2.173) точно совпа-

на касательную плоскость этой поверхности:

104

Эти формализованные кинематические граничные условия изображены графически на рис. 25.

106

1.2. КИНЕМАТИКА

цесс – осесимметричный, поэтому на рис. 26 изображено сечение только левой половины и используется принцип симметрии.

Участок B1B2 является частью оси симметрии, и здесь нормальная составляющая вектора скорости Vp = 0. Такое же значение этой составляющей следует принять на участках B2B3, B4B5, B6B7 вследствие абсолютной жесткости материала инструмента.

Так как по условию задачи стенка стакана не вытягивается, то на участке B2B3 касательная к поверхности инструмента составляющая вектора скоростиV τ изменяется от Vдеф в точке B3 до нуля в точке B2 и зависит от угла между направлением вектора Vдеф и нормалью n к внутренней поверхности стакана.

Касательная к поверхности инструмента составляющая вектора скоростиV τ на участках B4B5 и B6B7 и нормальная его составляющая Vp на участке B5B6 – одинаковы. Для определенияV τ и Vp запишем равенство потоков деформируемого материала, связанное с его несжимаемостью. С одной стороны, этот поток

равен πVдеф [(R + h)2 – R2], а с другой – 2V τπRзагh . Из равенства этих потоков имеем

V τ =Vдеф 2R + h .

2Rдеф

Касательная к поверхности составляющая вектора скоростиV τ на участке

B5B6 V τ = 0.

Теперь для поля скоростей V внутри деформируемого тела можно в формализованном виде записать все кинематические граничные условия:

V n = 0 s B1B2;

V n = 0, n ×V ×n =Vдеф sinα s B2B3;

107

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Самостоятельно дать графическую интерпретацию приведенным кинематическим граничным условиям на схеме рис. 26.

1.2.9. Кинематика сплошных композитных сред

Если гетерогенная среда может быть заменена в рассматриваемой области ее движения другой, эквивалентной средой с эффективными гомогенными свойствами, то для описания кинематических параметров движения такой среды могут быть использованы все кинематические зависимости предыдущих пунктов. Естественно, что при таком подходе к описанию движения композитной среды исчезает индивидуальность поведения каждой ее составляющей.

Многообразие вариантов, используемых на практике КМ, является причиной того, что до настоящего времени не разработан метод, позволяющий в самом общем виде осуществить точную реализацию постановки задач о совместном пластическом деформировании разнородных материалов с учетом их взаимодействия в объеме КМ. Однако имеется ряд приближенных методов, позволяющих с необходимой для практических расчетов точностью учитывать особенности деформирования КМ. К ним, в частности, относится упомянутый выше метод осреднения свойств среды, который может быть полезен при инженерной оценке параметров (например, энергосиловых) движения среды с осредненными характеристиками. Другой приближенный метод, рассматриваемый в следующем пункте, позволяет подходить к описанию движения сплошных КМ с учетом индивидуальности их компонент. По существу, он сводится к методу построения искомой функции с помощью основного решения и его последующей корректировки (п. П3).

Проблемы построения основного решения для различных процессов ОМД будут рассмотрены ниже. Здесь, считая основное решение известным, изложим методы построения скорректированных параметров движения КМ, позволяющих учитывать кинематическое взаимодействие всех тел Mα КМ (1.1.1).

Кинематические параметры основного решения будем обозначать строчными буквами: vi; v; ; ui; u; ξik; ψ и т. п., а соответствующие кинематические параметры скорректированного решения – прописными буквами: Vi; V ; Ui; U ; Ξik; Ψ и т. п. Изложение метода построения кинематических параметров движения КМ начнем с кинематики стационарного послойного течения двухслойной среды в условиях двухмерной деформации как одного из наиболее простых вари-

108

1.2. КИНЕМАТИКА

Рис. 27. Муаровые картинки изотет (Uk = const) поля перемещений при прокатке (а) и изолиний поля

пространственного градиента ωLΥ = const при прессовании (б)

ωEz

антов деформирования КМ, основные идеи математического описания кото рого будут распространены на более сложные случаи.

1.2.10. Двухмерное стационарное течение двухслойной среды

Экспериментальные исследования, выполненные с использованием метода муаровых полос (рис. 27), показывают, что на межслойной границе допускается относительное проскальзывание (скачок перемещения, скорости) слоев, а при определенных условиях – их сцепление (выравнивание этих характеристик). В частности, это показано на рис. 27, а распределением изотет (изолиний Ui = const) при прокатке и на

109

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ковой скоростьюV после точки Eс, а также неизменность граничных линий тока ψ = ψ+ и ψ = ψ– можно обеспечить, если в i-х слоях использовать нижеследующие функции тока

с функциями сцепления слоев Bc, созданных по типу склеивающих функций (П3.61)

Коэффициенты bi в (1.2.176) полностью определяются значениями на стыке слоев у входа в зону возмущенного движения до точки Eп (ψ = ψs) и от точки Eс до выхода из этой зоны (ψ = ψf):

Зная функции тока Ψi (1.2.176) в каждом из слоев, по формуле (1.2.105) определим соответствующие компоненты вектора скорости в первом V1 =Vi1ei и

110