книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

Упражнение 1.2.1. Доказать, что, жонглируя индексами*, соотношение (1.2.26)

Формула (1.2.29) позволяет дать физическую интерпретацию диагональным компонентам тензора А.Е. Грина (1.2.28). Каждая такая компонента

равна квадрату коэффициента χi изменения длины элементарного волокна до начала движения, параллельного оси Li. Действительно, положив, напри-

*В одночленах с повторяющимися индексами вид буквы, используемой для обозначения одинаковых индексов, не имеет значения. Поэтому такие индексы называют немыми. Замена одной буквы немых индексов на другую называется жонглированием индексами.

33

щего до прямого угол между волокнами, которые при t = t0 были параллельны

осям Li и Lk при i ζ k, определяем по формуле

Ранее (1.2.31) было установлено, что диагональные компоненты тензора (1.2.28) ответственны за изменение линейных размеров окрестности материальной частицы. Из (1.2.35) следует, что при Gik = 0 (i ζ k) не происходит изменения исходного прямого угла. Следовательно, изменение угловых размеров между волокнами этой окрестности, параллельными при t = t0 координатным осям Li и Lk, в основном характеризуется боковыми компонентами тензора (1.2.28), которые называются угловыми (сдвиговыми) конечными деформациями тензора А. Е. Грина.

Рассмотрим объем элементарного прямоугольного параллелепипеда с реб-

Рис. 11. Схема к вычислению изменения объема в лагранжевых координатах

35

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Отсюда при dΩE = dΩL получаем условие постоянства объема в материальных координатах:

Таким образом, выполненным анализом установлен физический смысл компонент тензора (1.2.28) и якобиана (1.2.13): диагональные компоненты этого тензора характеризуют изменение линейных размеров окрестности движущейся материальной частицы, боковые компоненты определяют изменение угловых размеров этой окрестности, а якобиан преобразования координат равен отношению текущего значения ее объема к его начальному значению.

При анализе движения окрестности частицы m удобно вместо тензора (1.2.28) использовать лагранжев тензор конечных деформаций

В связи с тем, что в (1.2.40) постоянный сомножитель перед скобками и единичный тензор не вносят дополнительной физической информации, физический смысл компонент Lij и Gij полностью совпадает. Диагональные компоненты тензора (1.2.40) называются линейными конечными деформациями тензора Ж. Лаг ранжа, а боковые – угловыми (сдвиговыми) конечными деформациями тензора

Ж.Лагранжа.

Тензор (1.2.40) можно представить в виде функции вектора перемещения.

Для этого из (1.2.11) находим

Подстановкой (1.2.41) в (1.2.28), учитывая, что в лагранжевых координатах

L = L = Tδ , из (1.2.40) получим

Задачи к пп. 1.2.2

Задача 1.2.2.1. Положение материальной частицы в некотором объеме сплошной среды к определенному моменту времени характеризуется радиус-вектором

E = L1e1 + (L2 + 3L3 )e2 + (L3 + 3L2 )e3 .

36

1.2. КИНЕМАТИКА

Определить компоненты тензоров конечной деформации А. Е. Грина и Ж. Лагранжа и проанализировать их физический смысл.

Решение. Компоненты Gik тензора конечных деформаций А. Е. Грина TG найдем подстановкой в (1.2.29) заданного закона движения:

Компоненты тензора конечных деформаций А. Е. Грина имеют конкретный физический смысл. Диагональные i-е компоненты характеризуют изменение длины волокна, параллельного в начальный момент времени t0 лагранжевой оси Li, и с их помощью можно вычислить коэффициент изменения длины такого волокна (1.2.31). Подставляя в эту формулу компоненты полученного тензора

А. Е. Грина, устанавливаем, что волокно dL′, параллельное до движения оси L1

(рис. 12), в процессе движения не изменяет своей длины (dL′ = dE′; χ1 = 1), а

37

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

соответственно. Прямой до движения угол между волокнами, параллельными осям L2 и L3, изменился (рис. 12):

Отсюда 23 | 53о8χ.

Компоненты Lik тензора конечных деформаций Ж. Лагранжа TL связаны с компонентами тензора А. Е. Грина формулой (1.2.40), которая в скалярной форме имеет вид:

1

Lik 2 (Gik Γik ) ,

где Γik – компоненты единичного тензора (символ Л. Кронекера). Тогда тензор конечных деформаций Ж. Лагранжа

С помощью компонент тензора конечных деформаций Ж. Лагранжа, так же как и по тензору А. Е. Грина, можно установить физическую картину деформа-

38

1.2. КИНЕМАТИКА

ции окрестности материальной частицы. Так, из полученного тензора TL видно, что деформация волокна, параллельного до движения оси L1, отсутствует, так как L11 = 0; волокна, параллельные осям L2 и L3, удлиняются (L22 > 0 и L33 > 0). Сдвиговая деформация отлична от нуля только между волокнами, параллельными в начальный момент времени t0 осям L2 и L3, так как L12 = L21 = 0,

L13 = L31 = 0 и L23 = L32 ≠ 0.

Задача 1.2.2.2. По условиям задачи 1.2.2.1 определить изменение квадрата длины направленного волокна dL .

Решение. В результате движения направленного волокна dL от момента времени t0 к произвольному моменту времени t оно займет положение dE . Для

вычисления разности между квадратами модулей || dE ||2 − || dL ||2 этих векторов воспользуемся формулой (1.2.29) для вычисления квадрата коэффициента изменения длины волокна, которая в скалярной форме имеет вид

0 6 9 dL3

Отсюда видно, что общее изменение длины волокна, так же, как это было установлено в предыдущей задаче, связано лишь с изменениями проекций вектора dL на вторую и третью лагранжевы оси координат (рис. 12).

Задача 1.2.2.3. Используя тензоры TG и TL задачи 1.2.2.1, определить главные компоненты тензора конечных деформаций А. Е. Грина и тензора конечных деформаций Ж. Лагранжа.

39

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы тензора конечных деформаций А. Е. Грина, полученного в задаче 1.2.2.1:

|Gij – λδij| = 0

или

(1 – λ)(10 – λ)(10 – λ) – 36(1 – λ) = 0.

Отсюда λ1 = 1 и

λ2 – 20λ + 64 = 0.

Решая это уравнение, получим λ2 = 16; λ3 = 4. Соблюдая условие

G1 ≥ G2 ≥ G3,

составим диагонализированный вид тензора конечных деформаций А. Е. Грина:

16 0 0

TG = 0 4 0 .

0 0 1

Тогда в соответствии с (1.2.40) тензор конечных деформаций Ж. Лагранжа в главных координатах

Эти же результаты можно получить, решая полные кубические характеристические уравнения –λ3 + GIλ2 – GIIλ + GIII = 0 и –λ3 + LIλ2 – LIIλ + LIII = 0, где инварианты тензора конечных деформаций А. Е. Грина

GI = Gii = 21; GII = 12 (GI2 −GijGji ) = 84; GIII = |Gij | = 64,

а инварианты тензора конечных деформаций Ж. Лагранжа

LI = Lii = 9; LII = 12 (LI2 − Lij Lji ) = 11,25; LIII = |Lij | = 0.

Самостоятельно проанализировать физический смысл компонент тензоров конечных деформаций А. Е. Грина и Ж. Лагранжа в главных координатах.

40