Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

9.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 6110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.2. КИНЕМАТИКА

Для стационарных течений, когда траектории материальных частиц и линии тока, а соответственно и формулы (1.2.15), (1.2.108) совпадают, интегрирование по времени t в (1.2.162) с помощью дифференциального уравнения линии тока (1.2.107) можно заменить интегрированием по одной из эйлеровых координат xi = Ei вдоль линии тока, начиная от начальной точки с координатами xi− до произвольной точки с координатами xi:

x1	H d x	x2	H d x	x3	H d x
Λ = ∫	1	= ∫	2	= ∫	3	.	(1.2.163)
Λ = ∫	1	= ∫	V2	= ∫		.	(1.2.163)
x−	V1	x−	V2	x−	V3
1		2		3

Упражнение 1.2.17. Используя поле скоростей деформаций (1.2.159), показать, что интенсивность сдвиговых скоростей деформаций (1.2.161)

H =			πΔψ			,	(1.2.164)

	2H 2		πx	−cos	πx
		ch	2		1
					Η
			H

а для линии тока, начинающейся на уровне x1− = H − D и заканчивающейся на уровне x1+ = H − d, степень деформации сдвига

Λ = 2ln		πD		πd
	tg		ctg		(1.2.165)
		2H
				2H

Условие совместности компонент тензора скоростей деформаций, или усло вие Б. Сен Венана, имеет тот же вид, какой имеет аналогичное условие (1.2.88) для тензора малых деформаций:

2 Tξ = 0.

(1.2.166)

Совершенно очевидно, что и формула для восстановления вектора скорости по заданному тензору скоростей деформаций должна с точностью до символики совпадать с формулой (1.2.89):

V =V0 +TW0 (dx − x0 ) − ∫x	(x − y)×( ×Tξ dy) + ∫x Tξ dy, (1.2.167)
x0	x0

гдеV0 , TW0 , x0 – значения тензоровV , TW , x в начале пути интегрирования.

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Упражнение 1.2.18. С помощью законов движения (1.2.111), (1.2.115), (1.2.116) и используя схему (1.2.95) → (1.2.137) → (1.2.149) → (1.2.150) → (1.2.161) показать, что при постоянной интенсивности сдвиговых скоростей деформаций Η = Η* = const в процессе испытания образца на растяжение (+) – сжатие (–) с постоянной скоростью деформации функция f(t), определяющая закон изменения высоты образца h во времени t (1.2.117), имеет вид

	h0	±H*t
f (t) = ±		(e κ	−1),	(1.2.168)
	h

где для плоской деформации κ= 2, а для объемной и осесимметричной – κ= 3. С помощью законов движения (1.2.111), (1.2.115), (1.2.116) показать, что при испытании образца на растяжение (+) – сжатие (–) с постоянной скоростью

деформирования, когда в формуле (1.2.113)	V	E	=h	= V = const	эта же функция
деформирования, когда в формуле (1.2.113)	V			= V = const	эта же функция
	1
		1
f(t) линейно зависит от времени t,
f (t) = ± V *t					(1.2.168′)
	h

Отметим, что функция (1.2.168) обычно используется для профилирования исполнительных элементов установок, например пластометров, на которых проводятся испытания механических свойств материалов с постоянной скоростью деформации, а функция (1.2.168′) соответствует испытаниям механических свойств материалов с постоянной скоростью деформирования на разрывных или универсальных машинах.

Задачи к пп. 1.2.7

Задача 1.2.7.1. По заданному закону движения в лагранжевых координатах

E = [L1 + at2 (L1 + L2 )]e1 +[L2 + at2 (L1 − L2 )]e2 ,

где a – коэффициент, обратный по размерности квадрату размерности времени, определить поле скоростей деформаций.

Решение. Сначала определим вектор скорости. Ранее отмечалось, что в лагранжевых координатах вектор скорости определяется частной производной вектора Л. Эйлера по времени:

1.2. КИНЕМАТИКА

V =	∂E = 2at[(L + L )e + (L − L )e ].
	∂t	1	2	1	1	2	2
	∂t

Компоненты ξik тензора скоростей деформаций по формуле Дж. Стокса (1.2.137) всегда определяются в эйлеровых координатах:

ξik =	1	∂Vk +	∂Vi
				.
	2
		∂Ei	∂Ek

Поэтому заданный закон движения необходимо переписать для эйлеровых координат

	E (1− at2 ) − E at2			E (1+ at2 ) − E at2
L =	1	2	e +	2	1	e
L =			e +			e
		1− 2a2t4	1		1− 2a2t4	2
		1− 2a2t4			1− 2a2t4

и преобразовать для этих же координат найденный вектор скорости

V = 2at	E (1− 2at2 ) + E	2	e − 2at	E − E (1+ 2at2 )		e .
	1			1 2

	1− 2a2t4	1		1−	2a2t4	2

Тогда в соответствии с формулой Дж. Стокса (1.2.137) найдем компоненты ξik тензора скоростей деформаций:

ξ =

∂V

= 2at

1− 2at2

; ξ = ξ

= 2at

;

1− 2a2t4

∂E

∂V

1+ 2at2

2 = −2at

1− 2a2t4

∂E2

Отсюда ясно, что к каждому фиксированному моменту времени t заданный закон движения приводит к однородному полю скоростей деформаций. При этом в сплошной среде, движущейся со скоростью, записанной в лагранжевых или эйлеровых координатах, происходит изменение объема, характеризуемое средней скоростью деформации (1.2.148)

ξ0 =	ξ	=	1	V = −	4a2t4	,
	N		N		1− 2a2t4

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

где N – размерность пространства (здесь N = 2); ξ – объемная скорость деформации (1.2.147):

ξ = ξii = −		8a2t4		.
	1	−	2a2t4

Задача 1.2.7.2. По заданному тензору скоростей деформаций

		4x x3 x						3x2 x2 x − x					4 x		x2 x3		+ x3 x2
			1	2	3			1	2	3		2		3	1	2			2	3
T = a 3x2 x2 x − x4 x								−8x x3 x							3x2 x2 x − x4 x							,
ξ	1	2		3		2	3			1	2	3			3	2		1		2	1
	x2 x3		+ x3 x2					3x2 x2 x − x					4 x			4x x3 x
	1	2			2	3		3	2	1		2		1			1	2	3

где коэффициент a имеет обратную размерность произведения единицы длины в пятой степени и единицы времени, проверить выполнение условия совместности компонент этого тензора.

Решение. Компоненты тензора скоростей деформаций, так же как и компоненты тензора малых деформаций (1.2.88), являются совместными, если они удовлетворяют условию Б. Сен-Венана

2 × Tξ = 0

или в скалярной форме

	∂2ξ
			mp		.
ijm skp ∂x		j	∂x	= 0	.
ijm skp ∂x			∂x	= 0
			k

Подставим в последнюю запись компоненты заданного тензора скоростей деформаций с учетом значений символа Т. Леви-Чивиты:

при i = s = 1

∂2ξ

− 2

∂2ξ

=12x x x

−12x x x

≡ 0;

∂x2∂x2

∂x2∂x3

∂x3∂x3

при i = 1, s = 2

∂2ξ

−

∂2ξ

−

∂2ξ

= 6x2 x −0 + 6x2 x −12x2 x ≡ 0.

∂x2∂x3

∂x3∂x3

∂x3∂x1

∂x2∂x1

1.2. КИНЕМАТИКА

Самостоятельно расписать по цифровым индексам остальные уравнения Б. Сен-Венана в скалярной форме и показать, что для заданного тензора скоростей деформаций эти уравнения удовлетворяются тождественно.

Задача 1.2.7.3. По заданному в задаче 1.2.7.2 полю тензора скоростей деформаций определить поле скоростей, полагая, что в начальной точке с радиус-век-

тором x0 = 0 скоростьV0 = 0 и тензор скорости жесткого поворота (спин)

TW0 = 0 ; выполнить анализ составляющих механического движения сплошной

среды, движущейся с полученным полем скоростей.

Решение. По заданному тензору скоростей деформаций поле скоростей определяется с помощью обобщенной формулы Е. Чезаро (П1.108)

		x		x
V =V + T (x − x ) −		∫	(x − y)×( ×T d y) +	∫	T d y
0 W0	0	∫	ξ	∫	ξ
		x0		x0

или в скалярной форме с учетом заданных условий

Vi = −∫ ( ijm mpq

(xj − yj ))	∂ξqs dys + ∫r		ξik dyk .
		x
	∂yp	0

Для выполнения интегрирования в последней записи необходимо аргументы xk заданного в задаче 1.2.7.2 поля тензора скоростей деформаций заменить на аргументы yk:

	4 y y3 y						3y2 y2 y − y					4 y		y2 y3		+ y3 y2
		1	2	3			1	2	3		2		3	1	2		2	3
T = a 3y2 y		2 y − y4 y				3	−8y y3 y				3			3y2 y2 y − y4 y .
ξ	1	2	3		2	3			1	2	3			3	2	1		2	1
	y2 y3		+ y3 y2				3y2 y2 y − y					4 y			4 y y3 y
	1	2		2	3		3	2	1		2		1		1	2	3

Далее, учитывая значения символа Т. Леви-Чивиты, расписывая по цифровым индексам скалярный вид обобщенной формулы Е. Чезаро, определяем первую компоненту вектора скорости

∂ξ

= −a

∫ (x2

− y2 )

−

+(x3

− y3 )

−

dy1

∂y1

∂y3

∂y1

∂y2

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

§ w[

·º

³« x2 y2

y3 ¨

¸»dy2

0 ¬

wy1

wy2 ¹

wy1

wy3 ¹¼

§ w[

·º

« x2 y2

¸ x3

y3 ¨

¸»dy3 ¾

wy1

wy2 ¹

wy1

wy3 ¹

³[11dy1 ³[12dy2 ³[13dy3 .

Отсюда после подстановки компонент тензора скоростей деформаций и интегрирования по yk находим первую компоненту вектора скорости V1.

Самостоятельно расписать по цифровым индексам скалярный вид обобщенной формулы Е. Чезаро для V2, V3 и найти все компоненты вектора скорости.

Ответ: V1 2x12 x23 x3; V2 2x1 x24 x3; V3 2x1 x23 x3 .

Задача 1.2.7.4. Используя поле скоростей, полученное в задаче 1.2.6.2, определить компоненты [ik тензора скоростей деформаций.

Решение. По формуле Дж. Стокса (1.2.137) с помощью поля скоростей находим компоненты тензора скоростей деформаций

SV0c1

SE2

cos

S E1 H)

[

;

H ª

SE2

cos

S E1 H)º2

«ch

SV0c1

SE2

sin

S E1 H)

[

H ª

SE2

cos

S E1 H)º2

«ch

На рис. 21 показано распределение изоли-

ний компонент тензора скоростей деформа-

ций (изострат*), построенное для процесса

прокатки по гармоническому полю скоростей.

*Изострата = isos (с греч. – равный) +

Рис. 21. Изостраты гармонического поля

+ strain rate (с англ. – скорость деформации).

1.2. КИНЕМАТИКА

Задача 1.2.7.5. Используя поле скоростей деформаций, полученное в предыдущей задаче, определить интенсивность сдвиговых скоростей деформаций Н.

Решение. Интенсивность сдвиговых скоростей деформаций вычисляется по одной из формул (1.2.161):

					H = 2		ηΙΙ		; H = 2η η ;
													ik	ik
H = 2	1 [(ξ		−ξ	22	)2 +(ξ	22	−ξ	33		)2	+(ξ	33	−ξ	)2 + 6(ξ2	+ξ2	+ξ2	)],
	6	11		22		22		33				33	11	12	23	31
	6

где ηII – второй инвариант девиатора скоростей деформаций (1.2.150); ηik – компоненты этого девиатора.

Самостоятельно показать, что для двухмерного движения несжимаемой среды формулы (1.2.161) упрощаются:

H = 2 ξ112 + ξ122 .

Подстановкой сюда скоростей деформаций предыдущей задачи получаем

H =			2πV0c1		.
		πE2	−cos	π(E1 + H )
	H ch	H		H

Задача 1.2.7.6. Используя интенсивность сдвиговых скоростей предыдущей задачи, определить степень деформации сдвига Λ.

Решение. Степень деформации сдвига (1.2.162)

Λ = ∫ H dt,

где интегрирование по времени t для стационарных процессов, используя дифференциальное уравнение линии тока (1.2.107), заменяется интегрированием по эйлеровым координатам (1.2.163):

t	H dE		t	H dE	2
Λ = ∫	V	1	= ∫			.
				V
t0	1		t0	2

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Учитывая значения компонент вектора скорости задачи 1.2.6.2, в рассматриваемом случае интегрирование легче выполняется по координате Е1. Тогда, используя интенсивность сдвиговых скоростей предыдущей задачи, имеем

	E1	dE1
/	2 ³			,
		S E1	H
	D sin

где на произвольной линии тока (рис. 18) в начале потока E1= –D (0 δ D δ 2 ). После интегрирования получаем

ª	S H	E		SD	º
/ 2ln «tg		1	tg	SD	».
/ 2ln «tg	2H		tg	2H	».
«	2H			2H	»
¬					¼

На рис. 22 показана картина одинаковых уровней степени деформации сдвига для условий процесса прокатки задачи 1.2.6.2.

Если уровень рассматриваемой линии тока (рис. 18) в конце течения E1 =

= H – d (0 δ d δ h1 ), то

ª	Sd		SD º
2ln «ctg		tg		».

¬	2H		2H ¼

Ранее отмечалось, что поле скоростей задачи 1.2.6.2 предназначено для моделирования процесса прокатки полосы толщиной h1 из заготовки высотой h0. На

поверхностной линии тока D =	h0	, d =	h1	. Поэтому на поверхности проката
поверхностной линии тока D =	2	, d =	2	. Поэтому на поверхности проката
	2		2
				/ɩɨɜ	§	Sh1		Sh0	·
					2ln ¨ctg		tg		¸.
					2ln ¨ctg	4H	tg	4H	¸.
					©	4H		4H	¹

Для осевой линии E1 = 0 параметры D и d равны нулю, и в формуле для вычисления степени деформации сдвига получается неопределенность, которая легко раскрывается по правилу Г.Ф. Лопиталя. В этом случае

Рис. 22. Изолинии / = const при прокатке

1.2. КИНЕМАТИКА

Λос = 2 ln h0 . h1

Отметим, что степень деформации сдвига и связанные с ней величины являются единственными скалярными характеристиками деформации, которые обладают аддитивными свойствами при движении по траектории окрестности материальных частиц. Поэтому для получения общей степени деформации сдвига при многопроходной прокатке можно складывать степени деформации сдвига, получаемые в каждом проходе. В частности, при двухпроходной прокатке полосы с толщиной hk из заготовки высотой h0 с промежуточным размером h1, получаемым в первом проходе, накопленная к последнему проходу поверхностная степень деформации сдвига имеет вид

πh0

πh1

πh0

πh1

Λпов = 2ln

4H1

+ 2ln

4H2

= 2ln

4H1

4H2

πh1

πhk

πh1

πhk

4H1

4H2

4H1

4H2

а осевое значение этого параметра вычисляется по предыдущей формуле с заменой h1 на hk. В этой формуле масштабные факторы Hk вычисляются для первого (k = 1) и второго (k = 2) проходов.

В более общем случае для n проходов суммарная степень деформации сдвига на поверхности проката

n	πh0k
ΛΣпов = 2∏ tg	πh0k	ctg	πh1k ,
ΛΣпов = 2∏ tg		ctg	πh1k ,
k=1	4 Hk		4 Hk

где Hk – масштабный фактор в k-м проходе; h0k, h1k – высота полосы до и после k-го прохода.

Если ввести коэффициент неравномерности деформации по сечению проката

KΛ = Λmax ,

Λmin

то в рассматриваемом случае Λmax = Λпов, Λmin = Λос и для одного прохода


		πh			πh
	ln ctg	1		tg	0

KΛ =		4H			4H	.
		ln	h0

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Для многопроходной прокатки

	n	πh0 j			πh1 j
	ln∏ tg	πh0 j		ctg	πh1 j
	ln∏ tg			ctg
	j=1	4 H j
KΛΣ =	j=1	4 H j			4 H j	.
KΛΣ =		ln	h0			.
		ln	h0

Ясно, что в последнем случае коэффициент неравномерности деформации будет зависеть от дробности деформации (распределения деформаций по проходам).

Задача 1.2.7.7. Показать, что при однородной деформации в процессах осадки и растяжения образца из несжимаемого материала степень деформации сдвига Λ не зависит от закона нагружения во времени t образца.

Решение. Однородной плоской деформации образца из несжимаемого материала при сжатии (осадке) и растяжении в эйлеровых координатах Ei соответствует поле скоростейV с компонентами

V1	= ±	hE1	′	= ±	hE2	′
		h	f ; V2		h	f ,

где знак плюс принимается при растяжении, а знак минус – при сжатии; h – абсолютное обжатие образца за период от начального времени t0 = 0 до конечного времени tк; f – производная функции f(t) по времени, определяющей закон изменения во времени текущей высоты образца (1.2.117) h = h0 ± hf(t); h0 – начальная высота образца.

Функция f(t) должна удовлетворять следующим граничным условиям: в начале нагружения образца, когда h = h0, f(0) = 0; в конце нагружения образца, когда h = h0 ± h, f(tк) = 1. При этом вид функции f(t) зависит от режима нагружения образца. Обычно испытания образцов на сжатие – растяжение проводят либо в режиме с постоянной скоростью деформирования V* = const, либо в режиме с постоянной скоростью деформации ξ* = const.

При однородной деформации образца сжатием или растяжением с постоянной скоростью деформирования (V1 = V*) на поверхности образца (E1 = ± h) получаем линейную зависимость функции f(t) от времени t (1.2.168′). Если по формуле Дж. Стокса (1.2.137) с помощью поля скоростей получить скорости деформации

ξ1 = −ξ2 = ± hh f ′,

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 6110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб19Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб4Механика сплошной среды..pdf
#
12.11.202318.31 Mб2Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов.pdf
#
12.11.20239.02 Mб5Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)..pdf
#
12.11.20233.44 Mб2Механика твердого деформируемого тела..pdf
#
12.11.202311.85 Mб9Механика трещин..pdf
#
12.11.20232.39 Mб0Механика, молекулярная физика и термодинамика. Научно-исследовательская работа структура, содержание, методика выполнения.pdf
#
20.11.20231.11 Mб0Механика.-1.pdf
#
12.11.2023485.48 Кб0Механика..pdf