книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.2. КИНЕМАТИКА

Тогда с учетом полученных выше соотношений для компонент L имеем

Это означает, что в эйлеровом пространстве конфигурация изолиний L2 = const транслируется во времени с постоянной скоростью, а изолиний L1 = const не

меняется во времени. При этом компоненты второго столбца градиента L зависят от назначения лагранжевых координат в эйлеровом пространстве или в данном случае от ориентации изолиний L2 = const относительно выбранного положения изолиний L1 = const. Пусть в исходный момент времени t0 эта ориентация будет такова, что к рассматриваемому моменту времени t оба семейства изолиний займут взаимно ортогональное положение. Тогда L1 L2 = 0 или, учитывая значения компонент первого столбца искомого тензора L ,

∂L2 V2 − ∂L2 V1 = 0.

∂E1 ∂E2

Решая последнее уравнение совместно с условием постоянства объема

∂Lj =1, находим:

∂Ek

Окончательно получаем значение пространственного градиента:

Иногда в качестве характеристики движения сплошной среды вместо градииспользуют пространственную производную вектора L по векторному аргументу L . Матрица такого тензора получается транспонировани-

ем матрицы градиента

81

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Задача 1.2.6.4. По результатам предыдущей задачи найти компоненты материального градиента деформации:

E = ∂Ej .

∂Lk

Решение. Воспользуемся соотношением между материальным градиентом и

пространственной производной вектора L по векторному аргументу E

Используя результаты задачи 1.2.6.3, подставим во множество из четырех уравнений компоненты пространственного градиента

82

1.2. КИНЕМАТИКА

Отсюда получаем материальный градиент деформации:

Иногда в качестве характеристики движения сплошной среды вместо градиента (2.21) используют материальную производную вектора E по векторному аргументу L . Матрица такого тензора получается транспонированием матрицы градиента (2.21):

Задача 1.2.6.5. По результатам трех предыдущих задач определить компоненты тензоров конечных деформаций Л. Эйлера и Ж. Лагранжа.

Решение. Определим компоненты тензора дисторции в координатах Л. Эйлера

или с использованием решения задачи 1.2.6.3 получим

Тогда компоненты тензора конечных деформаций Л. Эйлера

83

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Если на входе (E2 ≤ E2− ) в очаг деформации стационарного течения V1 = 0;

V2 = V0, а на выходе (E2 ≥ E2+ ) из него V1 = 0; V2 = V0 λ, где λ – коэффициент

вытяжки, то до входа в зону возмущенного движения получим Eij = 0, а на выходе из нее

Теперь определим компоненты тензора дисторции в координатах Ж. Лагранжа:

или с использованием решения задачи 1.2.6.4 имеем

Тогда компоненты тензора конечных деформаций Ж. Лагранжа

Таким образом, назначенная в задаче 1.2.6.3 ориентация изолиний Li = const образует главные координаты для тензора конечных деформаций Ж. Лагранжа.

84

1.2. КИНЕМАТИКА

На входе в зону возмущенного движения при E2 ≤ E2− все деформации Lkj = 0, а на выходе из нее при E2 ≥ E2+ имеем:

1.2.7. Тензор скоростей деформаций

Изменение деформаций во времени называется скоростью деформации

тивные слагаемые ускорения связаны с градиентом вектора скорости. Тензор с транспонированной матрицей получим, если найдем полную производную по времени тензора искажения (1.2.7) с учетом (1.2.90). С этим тензором связано определение дифференциала вектора скорости* (вектора скорости искажения)

где выражение, стоящее в скобках, называется тензором скорости искажения (тензором скорости дисторции) окрестности материальной частицы. Только при

поступательном движенииV = 0. Остальные виды механического движе-

ния связаны с искажением во времени окрестности материальных частиц движущегося тела, характеризуемого тензором скорости искажения. Симметричная часть такого тензора (П1.49)

*В дальнейшем там, где нет оговорок, поля скоростей и связанные с ними параметры рассматриваются в эйлеровых координатах (x = E).

85

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

называется тензором скоростей деформаций, так как каждая компонента ξik такого тензора характеризует изменение εik во времени (1.2.134):

Обычно при решении задач ОМД нахождение компонент ξik тензора Tξ связывают не с малыми деформациями (1.2.70) по формуле (1.2.138), а с определе-

нием их с помощью вектора скоростиV по формуле Дж. Стокса (1.2.137), которую с учетом (1.2.90) можно получить из (1.2.138) путем подстановки в нее малых деформаций, определяемых кинематической формулой О. Коши (1.2.70). С другой стороны, физический смысл компонент ξik легко устанавливается именно с помощью формулы (1.2.138): диагональные компоненты тензора скоростей деформаций характеризуют изменение во времени линейных размеров окрестности движущейся материальной частицы, а боковые – ее угловых размеров. Поэтому диагональные компоненты ξik (i = k) тензора Tξ называют

скоростями деформации изменения линейных размеров, а боковые компоненты ξik (i ≠ k) – скоростями деформации изменения угловых размеров, или сдвиговыми

скоростями деформаций.

Используя стандартную процедуру (П1.58)–(П1.66), тензор скоростей деформаций можно привести к диагональному виду:

где главные скорости деформации ξi должны удовлетворять соотношению (П 1.62)

и находиться из характеристического уравнения (П 1.58) матрицы тензора (1.2.137)

Запишем уравнение (1.2.65) через плотность среды ρ(Ei, t), которая может быть определена, если известны масса dm движущейся окрестности материальной частицы и ее объем dΩE:

86

Для одной и той же материальной частицы, попадающей в разные пространственные точки, выполняется закон сохранения массы (1.2.1). Поэтому после подстановки dΩE из (1.2.142) в (1.2.65) и учитывая, что dm ≠ 0 и ρ ≠ 0, получим соотношение между плотностью и скоростью в окрестности материальной частицы, проходящей через различные пространственные точки

которое называется уравнением неразрывности среды. Если плотность окрестности материальной частицы не зависит от времени, то

Среда с постоянной плотностью называется несжимаемой средой. Подстановкой (1.2.144) в (1.2.143) получаем уже известное условие несжимаемости (1.2.98).

Из уравнения (1.2.143) легко получить условие неразрывности среды для окрестностей разных материальных частиц, проходящих через одну и ту же пространственную точку. Для этого умножим обе части уравнения (1.2.143) на яко-

Упражнение 1.2.11. Используя (1.2.137), показать, что сумма диагональных компонент тензора скоростей деформаций точно совпадает с дивергенцией вектора скорости

87

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Учитывая физический смысл последней (1.2.98), устанавливаем, что изменение во времени объема окрестности движущейся материальной частицы m

может характеризоваться либо объемной скоростью деформации

Из (П1.54) и (П1.55) следует, что среднее значение ξ0 тензора Tξ определяет его сферическую часть:

Отсюда ясно, что сферическая часть тензора скоростей деформаций характеризует скорость изменения объема окрестности материальной частицы. Оставшаяся девиаторная часть (П1.56)

называемая девиатором скоростей деформаций, характеризует скорость измене ния формы окрестности материальной частицы.

Теперь по аналогии с (1.2.85) вектор скорости искажения (1.2.136) можно рассматривать как сумму трех векторов

характеризующих скорость изменения формы, скорость изменения объема и оставшегося вида механического движения – скорость жесткого вращения окрестности материальной частицы соответственно. В (1.2.151) тензор TW – альтернативная часть (П1.50) тензора скорости искажения – называется тензором ско рости жесткого поворота (спин).

Упражнение 1.2.12. Используя (П1.50), (П1.84) и (П1.86) показать, что последнее слагаемое в (1.2.151) может быть представлено в виде

88

1.2. КИНЕМАТИКА

Таким образом, формула (1.2.151), так же как и формула (1.2.85), позволяет проанализировать все основные виды механического движения во времени. При этом, как показано выше, для полного анализа используются:

дивергенция векторного поля скоростей (1.2.92)

где вспомогательный вектор D вычисляется по формуле (1.2.94). Нижеследующая серия упражнений посвящена определению кинематичес-

ких параметров гармонических течений (П 3.1.3), (П3.1.5).

Упражнение 1.2.13. Доказать, что гармоническое поле скоростей (П3.25), (П3.26) позволяет описать только скорость поступательного движения и скорость изменения формы окрестностей материальных частиц.

Упражнение 1.2.14. Показать, что разложение комплексного потенциала w (П3.45) на действительную ϕ и мнимую ψ части приводит к гармоническим функциям:

консервативная функция

Упражнение 1.2.15. Показать, что применение (1.2.156) в (П3.28) или (1.2.157) в (П3.27) приводит к одному и тому же гармоническому полю скоростей с компонентами

89

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Упражнение 1.2.16. Показать, что компоненты тензора скоростей деформаций поля скоростей (1.2.158) имеют вид

Среди трех инвариантов девиатора скоростей деформаций (1.2.150)

в теории ОМД наиболее часто используется второй, с которым обычно связывают физическую величину Η, называемую интенсивностью сдвиговых скорос

тей деформаций

Величина Η равна модулю вектора H пятимерного пространства Ηi, построенного по аналогии с пространством А. А. Ильюшина (1.2.86). При этом в (1.2.86)

следует заменить Γi на Ηi, а eik – на ηik.

Характеристикой накопленной к моменту времени t деформации окрестности материальной частицы при ее движении по траектории является степень

деформации сдвига

90