Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

9.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 615 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.2. КИНЕМАТИКА

1.2.3. Описание движения в эйлеровых координатах

Назначим базис ei , связанный с пространственными координатами Ei. Так же, как и в лагранжевых координатах, будем следить за поведением двух соседних материальных частиц m1 и m2. Сначала займемся вычислением величины

1	=	\|\| dL \|\|	,	(1.2.43)
χ		\|\| dE \|\|

которая, очевидно, так же, как и обратная ей величина (1.2.25), характеризует взаимное расположение рассматриваемых частиц.

С помощью (1.2.18) вычислим квадрат длины волокна dL в момент времени t0:

\|\| dL \|\|2 = dL dL = [(L ) dE] [(L ) dE] .			(1.2.44)
В этом пункте оператор У. Р. Гамильтона (П1.74) =	∂	e .
В этом пункте оператор У. Р. Гамильтона (П1.74) =	∂E	e .
	∂E	i
	i
По аналогии с (1.2.26), (1.2.28) легко показать, что
\|\| dL \|\| = TC (dE dE) ,			(1.2.45)
где тензор
TC = [[Cik ]] = ( L) c(L )			(1.2.46)
называется тензором конечных деформаций О. Коши.

Учитывая, что единичный вектор, совпадающий по направлению с dE ,

e =	dE	,	(1.2.47)
	\|\| dE \|\|

определим значение квадрата коэффициента (1.2.43):
χ−2 = TC (e e) .			(1.2.48)

Формула (1.2.48) позволяет дать физическую интерпретацию диагональным компонентам тензора (1.2.46). Каждая такая компонента

Cii =	∂Lk	∂Lk	(1.2.49)
	∂Ei	∂Ei

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД
обратно пропорциональна квадрату коэффициента изменения длины элементар-
ного волокна, которое к рассматриваемому моменту времени t стало параллель-
ным оси Ei. В частности, положив dE		dE1e1 , из (1.2.47) получим e1 = 1, e2 = e3 = 0.
Это приведет к тому, что Ȥ2 = Ȥ12	в (1.2.48) будет равно C					. Аналогичные ре-
					11
зультаты можно получить для волокон dE , параллельных осям E2 (e1 = 0, e2 = 1,
e3 = 0) и E3 (e1 = 0, e2 = 0, e3 = 1). В общем случае
1		Cii .								(1.2.50)
Φi		Cii .								(1.2.50)
Φi
Таким образом, диагональные компоненты тензора (1.2.46) характеризуют
изменение линейных размеров окрестности материальной частицы и называ-
ются линейными конечными деформациями тензора О. Коши.
Величину относительной деформации (1.2.33) для волокна, ставшего парал-
лельным в момент времени t оси Ei, также можно рассчитать с помощью диаго-
нальных компонент тензора (1.2.46):
G		1	1.							(1.2.51)
		Cii
Теперь рассмотрим движение двух элементарных волокон, например dEχ и
dEχχ , параллельных в рассматриваемый момент времени t осям E1 и E2 (рис. 13).
К этому моменту времени положение dEc			dE1e1 займет элемент, который при
t = t занимал положение dLχ , а второе положение dEcc					dE e		– элемент, зани-
0					2	2
			мавший положение dLχχ .
			Определим угол Ε между векто-
			рами dLχ и dLχχ . Косинус этого угла
			найдем как скалярное произведе-
			ние единичных векторов, совпада-
			ющих по направлению с вектора-
			ми dLχ и dLχχ :
					dL			dL
				cos Ε = \|\| dL \|\|				\|\| dLcc\|\|		. (1.2.52)
			В	соответствии					с	(П1.83)

Рис. 13. Схема к вычислению сдвиговой деформации dL	χ	ωLi	dE1ei	и dL	χχ	ωLk	dE2ek .
		ωE1				ωE2

в эйлеровых координатах

1.2. КИНЕМАТИКА

После подстановки этих результатов в (1.2.52) и несложных преобразований, учитывая (1.2.46) и (П1.12), получим

					cosΕ =	C12		.
					cosΕ =	C	C	.
			11				22
Введем угол Θ				Σ	Ε , дополняющий угол Ε до прямого угла. Тогда
Введем угол Θ					Ε , дополняющий угол Ε до прямого угла. Тогда
	12		2
sin Θ12	=	C12	. Обобщая полученный результат, синус угла Θik, дополняю#
sin Θ12	=	C11 C22	. Обобщая полученный результат, синус угла Θik, дополняю#
		C11 C22

щего до прямого угла угол между волокнами, которые к моменту времени t ста# ли параллельными осям Ei и Ek, определяем формулой

sin Θik	=	C12		.	(1.2.53)
		C11
			C22

Ранее (1.2.50) было установлено, что диагональные компоненты тензора (1.2.46) ответственны за изменение линейных размеров окрестности материаль# ной частицы. Из (1.2.53) следует, что при Cik = 0 (i ζ k) изменения угла, ставшего к моменту времени t прямым, не происходит. Следовательно, изменение угло# вых размеров этой окрестности в основном определяется боковыми компонен# тами тензора (1.2.46), которые называются сдвиговыми (угловыми) конечными де

формациями тензора О. Коши.

Рассмотрим движение элементарного непрямоугольного параллелепипеда с объемом d:L (1.2.36), занявшего к моменту времени t положение прямоу# гольного параллелепипеда с объемом d:E (1.2.37), с ребрами dEχ, dEχχ, dEχχχ и параллельными осями E1, E2, E3 соответственно (рис. 14). В этом случае d:E = dE1dE2dE3. Используя (П1.14),

(П1.83), (1.2.19) и (1.2.20), из (1.2.36) и (1.2.30) находим соотношение меж# ду этими объемами:

d:L = JEd:E.

(1.2.54)

Отсюда при d:L = d:E получаем

условие постоянства объема в про странственных координатах:

JE = 1.

(1.2.55)

Рис. 14. Схема к вычислению изменения объема в эйлеровых координатах

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Сравнивая (1.2.54) с аналогичным выражением (1.2.38), устанавливаем безусловную связь якобианов (1.2.14) и (1.2.20):

JLJE = 1.

(1.2.56)

Таким образом, выполненным анализом установлен физический смысл компонент тензора (1.2.46) и якобиана (1.2.20): диагональные компоненты этого тензора характеризуют изменение линейных размеров окрестности движущейся материальной частицы, боковые компоненты определяют изменение угловых размеров этой окрестности, а якобиан преобразования координат равен отношению ее исходного объема к его текущему значению.

Отметим идентичность физического смысла соответствующих компонент тензоров (1.2.28) и (1.2.46), а также якобианов (1.2.14) и (1.2.20). Все эти величины характеризуют состояние одного и того же процесса движения окрестности материальной частицы, отличного от поступательного движения и жесткого вращения. Различие этих характеристик состоит лишь в том, что их вычисление с помощью одних и тех же параметров dL и dE осуществляется в разных множествах отсчета. Несмотря на это, расчет инвариантных параметров движения окрестности материальной частицы приводит к одинаковым результатам. Наиболее наглядно, например, это демонстрируется идентичностью условия постоянства объема в обоих множествах координат.

При анализе движения окрестности частицы удобно вместо тензора (1.2.46) использовать эйлеров тензор конечных деформаций

TE =[[Eij ]] =	1	(Tδ − TC ) .	(1.2.57)
	2

В связи с тем, что в (1.2.57) постоянный сомножитель перед скобками и единичный тензор не вносят дополнительной физической информации, физический смысл компонент Eij и Cij полностью совпадает. По аналогии с компонентами тензора (1.2.46) диагональные компоненты тензора (1.2.57) называются линейными ко нечными деформациями тензора Л. Эйлера, а его боковые компоненты – сдвиговы ми (угловыми) конечными деформациями тензора Л. Эйлера.

Тензор (1.2.57) можно представить в виде функции вектора перемещения. Для этого из (1.2.17) находим

L(Ei , t) = E −U (Ei , t) .

(1.2.58)

Подстановкой (1.2.58) в (1.2.46), учитывая, что в эйлеровых координа-

тах E = E = Tδ, из (1.2.57) получим

				1.2. КИНЕМАТИКА
T	=	1	( U +U − U U ) .	(1.2.59)
T	=		( U +U − U U ) .	(1.2.59)
E	2
	2

Рассмотренные здесь и в пп. 1.2.2 теории называются теориями конечных де

формаций.

В заключение этого подпункта рассмотрим вычисление полной производ-

ной интегральной тензорной величины по времени в эйлеровых координатах.

Пусть некоторая тензорная величина Tb = (Ei, t) определяется соотношением

n	n
Tb =	∫ Ta (Ei , t)dΩE ,	(1.2.60)

ΩE

где ΩE – объем тела M к моменту времени t, который в начальный момент времени t0 имел значение ΩL.

Требуется найти полную производную интегральной тензорной величины

n n

(1.2.60) по времени t с учетом того, что Ta = Ta (Ei , t) и ΩE = ΩE(t).

Используя правило дифференцирования произведения двух функ-

n n
ций Ta = Ta (Ei , t) и dΩE(t), имеем:
n			n				d(dΩ )
d Tb		∫	d Ta		∫	n	d(dΩ )
	=			dΩ +		Ta	E	.	(1.2.61)
	=			dΩ +		Ta		.	(1.2.61)
dt			dt	E			dt
		ΩE			ΩE

Прежде чем раскрыть содержание второго слагаемого в правой части уравнения (1.2.61), установим связь между элементарным объемом dΩL малой окрестности материальной частицы m M в виде прямоугольного параллелепипеда и объемом dΩE окрестности этой же частицы в произвольный момент времени t. Вследствие выполнения закона сохранения материальных частиц (1.2.10) исходный материальный объем dΩL = dL1dL2dL3 не зависит от времени, т. е.

d(dΩL ) = 0. Поэтому после дифференцирования (1.2.38) по времени получим dt

d(dΩE )	=	dJL	dΩ .	(1.2.62)

dt		dt	L

Из (1.2.14) следует, что якобиан JL полностью определяется компонентами градиента (1.2.13) вектора E , полная производная которых по времени t с учетом (1.2.10), (1.2.15) и (П1.90) имеет вид

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

d	∂E j		∂v j	dE
		=		m	.	(1.2.63)

dt	∂Lk		∂Em dLk

Упражнение 1.2.2. Используя (1.2.63), доказать справедливость следующей связи якобиана (1.2.14) и вектора скорости V :

dJL	= JL V	(1.2.64)

dt

Подстановкой (1.2.64) в (1.2.62), с учетом (1.2.38), получим соотношение

d(dΩE )	= VdΩ	,	(1.2.65)

dt	E

которым воспользуемся в формуле (1.2.61) для получения окончательного вида

полной производной интегральной тензорной величины по времени:

n				n
d Tb			d Ta
	=	∫
dt	=	∫		dt
dt		Ω		dt
		E

n
+ V Ta	dΩ .		(1.2.66)
		E

Физический смысл полной производной по времени t тензора Tb , получае!

мого интегрированием по объему ΩE другого тензора Ta , становится более яс! ным после некоторых преобразований подынтегрального выражения в (1.2.66).

Сначала преобразуем формулу (П1.91) с учетом xj = Ej и (1.2.15):

n		n	n
d Ta	=	∂ Ta +	∂ Ta V .	(1.2.67)

dt		∂t	k
			∂Ek

Эта формула позволяет вычислять полную производную тензорного поля по времени в эйлеровых координатах. Затем, учитывая, что

n	n	n
(V Ta ) = V Ta		+ V ( Ta ) ,

применяя формулу М. В. Остроградского–К. Гаусса (П1.103), получим

n		n			n
d Tb =	∫	d Ta	dΩ +	∫	n
d Tb =		d Ta	dΩ +		n (V Ta )dS .	(1.2.68)
dt		dt	E
			E
	ΩE			S

1.2. КИНЕМАТИКА

Теперь ясно, что изменение Tb за время dt в общем случае может происходить

по двум причинам: 1) вследствие изменения во времени тензора Ta ; 2) вслед-

ствие изменения во времени объема dΩE окрестности материальной частицы.

В первом случае за время dt тензор Tb получит приращение в виде первого

слагаемого (1.2.68), умноженного на dt, а во втором случае – за счет прохождения сплошной среды со скоростьюV через поверхность dS с единичной внешней нормалью n за это же время в виде второго слагаемого в (1.2.68), умноженного на dt.

Задачи к пп. 1.2.3

Задача 1.2.3.1. По условиям задачи 1.2.2.1 определить компоненты тензора конечных деформаций О. Коши и тензора конечных деформаций Л. Эйлера и проанализировать их физический смысл.

Решение. Прежде всего необходимо закон движения, заданный в задаче 1.2.2.1, записать в эйлеровых координатах:

L		= E ; L =		3E3 − E2	; L =	3E2 − E3	.
				8		8
	1	1	2		3

Тогда вектор Ж. Лагранжа в координатах Л. Эйлера имеет вид

L = E1e1 + 3E3 8− E2 e2 + 3E28− E3 e3 .

Компоненты Cik тензора конечных деформаций О. Коши TС:

∂Lm∂Lm

Сik = ∂Ei∂Ek .

Подстановкой сюда заданного закона движения находим

∂L1

∂L2

∂L3

=1;

∂E1

= C

∂L1

∂L2

∂L3

= 0;

∂E

= C

∂L1

∂L2 ∂L2

∂L3

= 0;

∂E

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

wL1

·2

wL2

·2

wL3

·2

C22 ¨

¸ ¨

;

C23

C32

wL1

wL2

wL3

;

wE2 wE3

§ wL1

·2

§ wL2

·2

§ wL3

·2

C33 ¨

¸ ¨

Таким образом,

		1	0		0
T		= 0	5			3	.
T	C	= 0					.
	C		32		32
			32		32
		0		3	5
		0
			32		32

Компоненты тензора конечных деформаций О. Коши имеют конкретный физический смысл. Диагональные i-е компоненты характеризуют изменение длины волокна, параллельного к рассматриваемому моменту времени t эйлеровой оси Ei, и с их помощью можно вычислить величину, обратную (1.2.50) коэффициенту (1.2.31) изменения длины такого волокна.

Подставляя в формулу (1.2.50) компоненты полученного тензора О. Коши,

устанавливаем, что волокно dEχ

(рис. 15), параллельное к моменту времени t

оси E1, в процессе движения не изменяет своей

(dE

1 = 1), а волокна, параллель-

длины

dL ;

ные осям E2 и E3, в процессе движения удлиня-

ются

раз

(Φ

= Φ

dLχχ dEχχ

;

ccc

dE ) .

Боковые ik-е (iζk) компоненты тензора конеч-

ных деформаций О. Коши характеризуют измене-

Рис. 15. Изменение волокон в

ние угловых размеров между волокнами, парал-

лельными к произвольному моменту времени t

эйлеровых координатах

1.2. КИНЕМАТИКА

эйлеровым осям Ei и Ek. С помощью компонент Cik вычисляется косинус угла βik между этими волокнами (1.2.52). В связи с тем, что для полученного тензора О. Коши C12 = C21 = 0 и C13 = C31 = 0, отмечаем неизменность прямого угла между волокнами, параллельными осям E1, E2 (β12 = 0) и осям E2, E3 (β23 = 0) соответственно. Прямой к моменту времени t угол между волокнами, параллельными осям E2 и E3, изменился (1.2.53):

cosβ23 =	−3		= −0,6 .
	5	5

Отсюда β23 ≈ 126о52′ (рис. 15).

Если сравнить полученный угол с углом α23 задачи 1.2.2.1, то ясно, что боковые компоненты тензоров конечных деформаций в обоих множествах координат (лагранжевых и эйлеровых) соответствуют одному и тому же изменению угловых размеров, а именно уменьшению исходного угла: в первом случае – от 90о до 53о08′, а во втором – от 126о52′ до 90о.

Компоненты Eik тензора конечных деформаций Л. Эйлера TE связаны с компонентами тензора О. Коши формулой (1.2.57), которая в скалярной форме записи имеет вид

Eik = 12 (δik −Cik ) ,

где δik – компоненты единичного тензора (символ Л. Кронекера). Тогда тензор конечных деформаций Л. Эйлера


			1−1		0			0			0	0			0
T	=	1	0	1−		5	−		3		= 0	27		−		3

E		2			32			32				64			64 .

			0	−	3		1	−		5	0	−	3	1	−		27
					32
								32				64			64

Спомощью компонент тензора конечных деформаций Л. Эйлера так же, как

ипо тензору О. Коши, можно установить физическую картину деформации ок-

рестности материальной частицы. Так, из полученного тензора TE видно, что деформация волокна, параллельного к произвольному моменту времени t оси E1, отсутствует, так как E11 = 0; волокна, параллельные осям E2 и E3, удлиняют-

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

ся (E22 > 0 и E33 > 0). Сдвиговая деформация отлична от нуля только между волокнами, параллельными осям E2 и E3, так как E12 = E21 = 0, E13 = E31 = 0 и

E23 = E32 ≠ 0.

Задача 1.2.3.2. По условиям задачи 1.2.3.1 определить изменение квадрата длины направленного волокна dE .

Решение. В результате движения направленного волокна, занявшего к произвольному моменту времени t положение dE, в начальный момент времени t0

оно занимало положение dL . Для вычисления разности между квадратами модулей || dE ||2 −|| dL ||2 этих векторов воспользуемся формулой (1.2.48) для вы-

числения величины, обратной квадрату коэффициента изменения длины волокна, которая в скалярной форме имеет вид

χ12 = Cik eiek ,

где направляющие косинусы вектора dE

ej =	dE j		.
	\|\| dE	\|\|

Тогда с учетом (1.2.46) и (1.2.57) имеем

|| dE ||2 −|| dL ||2 = 2TE dE dE .

Теперь, используя результаты предыдущей задачи, получим

		1	0		0			dE1
\|\| dE \|\|2 −\|\| dL \|\|2 =[[dE dE dE ]] 0			27				3
					−			dE =

1	2	3	32		32			3
								dE3
		0	−	3		27

			32		32

= (9dE22 − 2dE2dL3 + 9dE32 ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 615 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб19Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб4Механика сплошной среды..pdf
#
12.11.202318.31 Mб2Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов.pdf
#
12.11.20239.02 Mб5Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)..pdf
#
12.11.20233.44 Mб2Механика твердого деформируемого тела..pdf
#
12.11.202311.85 Mб9Механика трещин..pdf
#
12.11.20232.39 Mб0Механика, молекулярная физика и термодинамика. Научно-исследовательская работа структура, содержание, методика выполнения.pdf
#
20.11.20231.11 Mб0Механика.-1.pdf
#
12.11.2023485.48 Кб0Механика..pdf