книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.4. ДИНАМИКА

... в механике, выигрывая время, мы проигрываем в силе.

Ф. Вольтер

1.4.1. Уравнение неразрывности

Фундаментальным законом ньютоновской механики является закон сохранения массы (1.2.1). Следствием этого закона является уравнение неразрывности среды (1.2.143). Действительно, если (1.2.142) представить в виде

и подставить в (1.2.1), то, используя (1.2.65) для произвольного объема Ω, из (1.4.1) получим (1.2.143) в эйлеровых координатах. В лагранжевых координатах уравнение неразрывности (1.2.145) также получается из закона сохранения массы

Воспользуемся соотношением (1.2.38). После преобразования переменных в правом интеграле получим

Отсюда с помощью (1.2.54) и (1.2.65) для произвольного объема Ωполучаем уравнение (1.2.145). Рассмотрим частные виды уравнения неразрывности среды (1.2.143).

Первому виду соответствует уравнение (1.2.144) или (1.2.98). Физически этим уравнениям соответствует постоянство плотности и неизменность объема в ок рестности одной и той же движущейся материальной частицы m.

В отличие от первого частного случая, когда приравнивается к нулю полная производная плотности по времени, во втором частном виде уравнения неразрывности среды рассматривается равенство нулю частной производной плотности по времени

181

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Физический смысл этого уравнения – постоянство плотности окрестностей раз

ных материальных частиц, попадающих при движении в одну и ту же простран ственную точку n. При этом плотность окрестностей самих материальных частиц меняется при переходе из одной пространственной точки в другую. С помощью (1.2.16) и несложного преобразования представим уравнение (1.2.143) в виде

Тогда условие (1.4.4) можно записать, используя (1.4.5), в другом эквивалентном виде:

Условие (1.4.4) называется условием стационарного изменения плотности в

окрестности материальных частиц. При таком движении материальных частиц произведение плотности на скорость должно быть соленоидальным (1.4.6).

При описании движения сплошной среды M = k Mα (1.1.1) в общем виде

α=1

уравнение неразрывности композитной среды либо в эйлеровых координатах

должно быть записано для каждой α-среды. Частный вид (1.2.144) уравнения (1.4.7) может выполняться как для всей композитной среды, так и для отдельных Ωα объемов:

В первом случае все составляющие КМ являются несжимаемыми и для всего движущегося объема Ωполе скоростей должно быть соленоидальным (1.2.98), во втором – лишь в отдельных Ωα объемах:

182

Другому частному виду (1.4.4) уравнения неразрывности среды (1.4.5) соответствует движение материальных частиц композитной среды с направленной по траектории материальных частиц изотропией плотности. Например, такому случаю соответствует стационарное течение многослойной среды, когда изменение плотности каждого слоя связано с изменением его скорости соотношением (1.4.6):

Задачи к пп. 1.4.1

Задача 1.4.1.1. В эйлеровых координатах при осадке прямоугольного параллелепипеда с текущими размерами hi = hi(t) поле скоростей в произвольный момент времени t имеет компоненты

Vi = Ehi hi i′,

где hi′ = ∂∂hti . Найти в области параллелепипеда изменение во времени однород-

ного поля плотности сплошной среды, занимающей объем параллелепипеда. Решение. В уравнении неразрывности (1.4.7) для моносреды

распишем полную производную плотности по времени

Для однородного поля плотности ρ = 0. Поэтому уравнение неразрывности представляется в виде

∂ρ∂t +ρ( V ) = 0

183

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

или после деления всех слагаемых на плотность

∂(ln ρ) = − V. ∂t

Теперь воспользуемся заданным полем скоростей и определим его дивергенцию

V = hi′. hi

Тогда с учетом этого значения уравнение неразрывности принимает вид

∂(ln ρ) = − hi′.

∂t hi

После интегрирования полученного результата по времени t с учетом начальных условий ρ(t0) = ρ0, hi(t0) = h0i, полагая, что текущий объем параллелепипеда

Ω = h1h2h3, имеем ρ = ρ0 ΩΩ0 , где Ω0 = h01 h02 h03 – исходный объем параллелепипеда при t = t0.

Задача 1.4.1.2. По заданному в некоторой области полю скоростей

где a – константа с размерностью потока при плоском течении, используя уравнение неразрывности, найти распределение плотности в этой области.

Решение. Определим дивергенцию заданного поля скоростей, входящую в уравнение неразрывности (1.4.11)

что соответствует выполнению условия несжимаемости (1.2.98) движущейся с заданным полем скоростей сплошной среды. Поэтому из уравнения неразрывности получаем, что в процессе движения плотность окрестностей материальных частиц остается неизменной (1.2.144).

184

1.4. ДИНАМИКА

Задача 1.4.1.3. При движении сплошной среды в некоторой области произведение плотности на скорость имеет вид

где ρ0 – начальная плотность; a – константа с размерностью скорости; b – константа с линейной размерностью. Найти распределение плотности в этой области.

Решение. После преобразования уравнение (1.2.143) приводится к виду

∂ρ∂t + (ρV ) = 0.

Поэтому определим дивергенцию заданного поля произведения плотности и скорости

что соответствует соленоидальности заданного поля произведения плотности и скорости сплошной среды. Поэтому из уравнения неразрывности (1.2.143) получаем, что в процессе движения плотность окрестностей материальных частиц, попадающих в фиксированную пространственную точку, остается неизменной (1.4.4).

1.4.2. Уравнение движения

Рассмотрим движение α-среды в объеме Ωα с замкнутой поверхностью

Sα = β Sαβ , находящейся во взаимодействии с другими β-средами. Механическое движение этого объема определяется действием инерционных (1.3.1), массовых ραFα сил типа (1.3.2), (1.3.3) и поверхностных сил. Равнодействующая всех объемных внешних сил равна

В теории ОМД основную роль обычно играют не массовые и инерционные силы, а поверхностные силы. Если на каждый элемент dS поверхности с норма-

185

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

лью nα действует сила σαn dS, то равнодействующая всех поверхностных сил рав-

на ∫ σαn dS.

Sα

Теперь воспользуемся теоремой теоретической механики о главном векторе всех сил, действующих на объем Ωα:

Упражнение 1.4.1. С помощью формулы О. Коши (1.3.13) и формулы М. В. Ост- роградского–К. Гаусса (П1.103) показать, что (1.4.12) приводится к виду

где Tσα – тензор напряжений, характеризующий напряженное состояние в

α-среде Равенство (1.4.13) справедливо для любого индивидуального объема, поэто-

му на основании леммы об интегрировании по произвольному объему из (1.4.13) следует равенство нулю всего подынтегрального выражения

которое называется уравнением движения сплошного тела Mα.

Уравнение движения для всего композитного тела M = k Mα , аналогич-

α=1

ное уравнению (1.4.14), получается также из теоремы о главном векторе всех действующих на объем Ω внешних сил

186

Таким образом, уравнение движения имеет универсальный вид как для всей композитной среды (1.4.16), так и для каждой ее составляющей (1.4.14). Только в первом случае параметры уравнения (1.4.16) описывают движение всей ком-

позитной среды в общем объеме Ω = Ωα , а во втором – движение отдельной

α

α-среды в индивидуальном объеме Ωα. В дальнейшем все соотношения, имеющие в указанном смысле универсальный вид, будем записывать для всей композитной среды, полагая, что для описания движения в индивидуальном объеме какой-либо компоненты такой среды параметрам этих соотношений достаточно приписать соответствующий рассматриваемой компоненте индекс.

Частный вид уравнения движения, когда инерционные силы (1.3.3) пренебрежимо малы

называется уравнением равновесия с учетом массовых сил. При обработке давлением инерционные силы становятся значимыми лишь в высокоимпульсных процессах (например, при штамповке взрывом). Кроме того, для большинства процессов ОМД массовые силы пренебрежимо малы. Если они не принимаются во внимание, то (1.4.17) принимает вид уравнения равновесия, наиболее часто применяемого в решениях задач теории ОМД:

Воспользуемся тождеством (П1.89). Для этого представим тензор напряжений с помощью тензора TΦ, называемого тензором функций напряжений Э. Бель трами, в виде

Учитывая, что тождество (П1.89) справедливо в любом множестве координат тензора TΦ, этим тождеством целесообразно воспользоваться в главных координатах тензора TΦ. В этом случае тензор TΦ называется тензором функций напряжений Дж. Максвелла. Преимущество применения в (1.4.19) тензора Дж. Максвелла вместо тензора Э. Бельтрами состоит в том, что в первом случае построение тензора напряжений, удовлетворяющего уравнению равновесия (1.4.18), в трехмерном множестве координат сводится к построению лишь трех главных компонент Φi тензора TΦ, а во втором – всех шести Φik. Последнее свя-

187

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

зано с тем, что тензор Э. Бельтрами TΦ должен быть симметричным тензором для обеспечения симметрии (пп. 1.4.3) тензора напряжений Tσ в (1.4.19).

В декартовых координатах скалярная форма записи компонент тензора напряжений через компоненты тензора Э. Бельтрами (1.4.19) имеет вид (П1.82)

Это же соотношение можно записать через компоненты тензора Дж. Максвелла (главные компоненты Φm тензора TΦ):

Упражнение 1.4.2. С помощью (1.4.21) показать, что в двухмерном пространстве, когда все компоненты тензора напряжений зависят только от двух координат x1 и x2, эти компоненты полностью определяются одной функцией Φ = Φ3

по формуле Дж. Эри:

Скалярная функция Φ в (1.4.22) называется функцией напряжения Дж. Эри.

Задачи к пп. 1.4.2

Задача 1.4.2.1. Проверить выполнение уравнения движения (1.4.16) в области, где компоненты тензора напряжений имеют вид

σ13 = σ31 = σ23 = σ32 = σ33 = 0,

а инерционные и массовые силы равны нулю. В заданных напряжениях b, σн – константы с линейной размерностью и размерностью напряжения соответственно.

188

1.4. ДИНАМИКА

Решение. Уравнение движения (1.4.16) при отсутствии массовых и инерционных сил представляется в виде уравнения равновесия (1.4.18), скалярная форма записи которого в декартовых координатах имеет вид

∂σik = 0. ∂Ei

По заданным напряжениям находим необходимые частные производные:

Подстановкой полученных результатов в уравнение равновесия получим тождество.

Задача 1.4.2.2. По заданному тензору функций напряжений Э. Бельтрами в форме Дж. Максвелла

189

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

где b, σн – константы с линейной размерностью в кубе и размерностью напряжения соответственно, определить компоненты тензора напряжений.

Решение. Тензор напряжений Tσ удобно вычислять с помощью тензора функций напряжений Э. Бельтрами TΦ (1.4.19) в связи с тем, что уравнение равновесия (1.4.18) при этом обращается в тождество. В декартовых координатах скалярная форма соотношения (1.4.19) имеет вид формулы Э. Бельтрами (1.4.20).

Самостоятельно. Показать, что подстановка этого соотношения (1.4.19) в уравнение равновесия (1.4.18) приводит последнее в тождество типа (П1.89).

Обращение (1.4.18) в тождество сохраняется, если по предложению Дж. Максвелла тензор функций напряжений TΦ записать в его главных координатах через главные компоненты Φm. Тогда скалярная форма записи соотношения (1.4.20) преобразуется в формулу Дж. Максвелла (1.4.21), которая позволяет найти искомые напряжения:

190