книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

(1.5.3), (1.5.4). Для нелинейных сред связь между напряженным и деформированным состояниями может быть задана либо соотношениями типа (1.5.1)–(1.5.4), в которых тензоры состояния имеют компоненты, зависящие от параметров состояния среды, либо – нелинейными соотношениями. Например, для вязких сред соотношение последнего типа может иметь вид, похожий на (1.5.6):

Так же, как и в предыдущих вариантах, тензоры четвертого ранга в записи (1.5.6) имеют 21 независимую компоненту. Если количество независимых компонент тензоров, описывающих свойства сплошной среды, связать с уровнем анизотропии этих свойств, то такой уровень можно повысить, используя тензоры состояния среды более высокого, чем четвертого, ранга. В частности, для вязких сред это могут быть соотношения типа (1.5.5):

Для полноты изложения следует также отметить, что приведенные виды симметрии тензоров состояния среды могут быть использованы в так называемой безмоментной теории напряжений, когда тензор поворота в (1.2.72) и спин (1.2.152) пренебрежимо малы, а в напряженном состоянии не учитываются напряжения, вызванные моментами действующих сил. В противном случае все тензоры состояния среды должны иметь в общем случае единственный вид симметрии, связанный с инвариантностью энергии внутренних сил. В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, будем использовать соотношения безмоментной теории.

Специальные типы анизотропии, определяемые различными группами преоб разований симметрии, объединяются в так называемые кристаллические классы. Группы преобразований могут быть связаны с осевым, плоскостным видами симметрии и их сочетаниями, когда конфигурация кристалла остается неизменной после преобразований множества координат относительно какой-либо оси и (или) плоскости соответственно. Преобразования такого типа могут быть связаны не только с поворотом координат, но и с инверсией относительно некоторой точки, при которой всякий вектор, исходящий из этой точки, превращается в противоположный вектор. Так же, как и поворот множества координат, инверсию удобно характеризовать матрицей (( αik)) косинусов углов между осями xi′ новых координат и осями xk старых координат (П1.6). В табл. 2 приведены примеры некоторых преобразований симметрии. Возможны сочетания отдельных видов преобразований, которые представляются как произведения их обозначений. Например, матрица косинусов преобразования CT1 имеет вид

211

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Таблица 2. Классификация преобразований симметрии

Упражнение 1.5.1. Используя данные табл. 2, получить матрицы косинусов

преобразований симметрий DiTk, RiTk, CMi, RiMk, DiMk, RiSk, DiSk Естественно предположить, что инвариантность конфигурации рассматри-

ваемого кристалла к какому-либо из перечисленных преобразований должна быть связана с соответствующей инвариантностью свойств кристалла. Наиболее наглядно это можно представить с помощью кристаллографических плоско стей и направлений, лежащих в них, проходящих через узлы кристаллической решетки (рис. 48). В этом случае для обозначения плоскостей применяется ин

на координатных осях от начала координат. Обозначение направления связы-

212

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

вают с прямой линией, проходящей через начало координат и узел кристалли

ческой решетки. В качестве индексов направления [hk ...] берут взаимно про стые числа, пропорциональные координатам рассматриваемого узла. Извест но, что максимальное значение модуля упругости в кристалле с решеткой типа К12 наблюдается в направлении [111], а минимальное – в направлении [100]. В тензорном обозначении это будут векторы a = e1 + e2 + e3 и b = e1 соот ветственно. После преобразования симметрии класса C (табл. 2) получим дру гие направления, характеризуемые векторами a′ = −(e1′ + e2′ +e3′) и b′ = −e1′ . Учитывая, что для кристалла с решеткой типа К12 соответствующие получен

ным векторам кристаллографические направления [1 1 1] [ 100] идентичны (в

смысле упругих свойств) исходным направлениям, устанавливаем, что кристал лы с этой решеткой инвариантны к преобразованиям симметрии класса С.

Упражнение 1.5.2. Показать, что кристаллы с решеткой типа К12 инвариантны к группе преобразований симметрии классов Ri, Di и не обладают инвариантностью по отношению к группе преобразований симметрии классов Ti, Mi (табл. 2)

Различные классы преобразований симметрии и их сочетания объединяют ся в так называемые кристаллические множества, характеризующие определен ные виды анизотропии свойств (табл. 3).

Отметим, что тензоры состояния среды имеют компоненты, преобразуемые при повороте множества координат по закону (П1.26). Поэтому количество не зависимых компонент тензоров состояния определяется не только указанными ранее причинами, но и типом кристаллического множества, которому соответ ствует анизотропия свойств рассматриваемой среды. Например, среды моно клинного множества биэдрического безосного класса должны иметь свойства, инвариантные к преобразованиям симметрии R1. В частности, для сред с опре деляющим уравнением (1.5.1) использование матрицы косинусов этого класса (табл. 2 и 3) приводит к следующим преобразованиям компонент:

Таблица 3. Кристаллические множества некоторых преобразований

213

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Примечание: буквенные индексы принимают все цифровые значения, соответствующие индексам преобразований симметрии в табл. 2.

214

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

тензора деформации

тензора напряжений

и тензора состояния среды

c2323′

Вследствие симметрии всех тензоров относительно главной диагонали, их компоненты, расположенные ниже этой диагонали, не записаны. Из анализа компонент тензоров следует, что преобразования компонент двух тензоров совместимы

215

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

лишь тогда, когда компоненты тензоров состояния среды, имеющие нечетное количество индексов «1», равны нулю. Поэтому среды, относящиеся к рассматриваемому кристаллическому классу, характеризуются не 21, как среды триклинного множества, а 13 независимыми компонентами тензора состояния:

Точно так же можно показать, что среды любого класса моноклинного множества характеризуются таким же количеством независимых компонент тензора состояния в соотношении (1.5.1).

Упражнение 1.5.3. Показать, что определяющие уравнения типа (1.5.1)…(1.5.4) для сред ромбического, тетрагонального, гексагонального и кубического множеств характеризуются тензорами состояния четвертого ранга с 9, 6, 5 и 3 независимыми компонентами соответственно

Приведенный пример и промежуточные результаты упражнения 1.5.3 показывают, что анизотропия свойств зависит не только от компонент тензоров состояния среды, но и от характеристик напряженно-деформированного состояния. Это обстоятельство необходимо учитывать как при математической постановке краевых задач о движении анизотропных сред, так и при ее реализации. Однако тензорное представление характеристик движения сплошных сред в свою очередь накладывает определенные ограничения на вид анизотропии их свойств, так как любое множество преобразований, отражающее эту анизотропию, не должно нарушать тензорность характеристик движения.

При решении задач ОМД обычно используют тот факт, что в макрообъемах металла кристаллиты ориентированы в пространстве стохастически. Этим объясняется частое использование в таких задачах апостериорной гипотезы об изотропности деформируемой среды. Свойства изотропных сред, естественно, могут быть описаны с помощью изотропных тензоров. Примерами таких тензоров являются скаляры, единичные тензоры (П1.30) и их любые комбинации, сохраняющие тензорность величин, получаемых в результате таких комбинаций. Так, единичный изотропный тензор ранга 2n получается путем тензорного произведения n единичных тензоров второго ранга:

216

Упражнение 1.5.4. Показать, что в общем случае изотропный тензор состоя-

4

ния Tc в соотношении (1.5.1) имеет компоненты следующего вида:

Если теперь тензор состояния с компонентами (1.5.9) подставить в (1.5.1), то получим обобщенный закон Р. Гука для изотропных сред:

где для линейно-упругих сред величины λи μназываются упругими константами Г. Ламе. Легко показать, что соотношению (1.5.10) эквивалентны два соотношения: пропорциональность сферических частей тензоров напряжений и деформаций Sσ = (3λ + 2μ)Sε и пропорциональность девиаторов напряжений и деформаций Dσ = 2μDε. Оба соотношения составляют суть теории упругопластического деформирования (УПД).

Для вязких изотропных сред аналогичные соотношения получаются с помо-

4

щью изотропного тензора состояния Tc с компонентами

где λ*, μ* – функции состояния изотропной вязкой среды. Подстановкой (1.5.11) в (1.5.3) получаем

Легко показать, что соотношению (1.5.12) эквивалентны два соотношения: пропорциональность сферических частей тензоров напряжений и скоростей деформаций Sσ = (3λ* + 2μ*)Sξ и пропорциональность девиаторов напряжений и скоростей деформаций Dσ = 2μ*Dξ. Оба соотношения составляют суть теории вязкопластического течения (ВПТ).

Некоторые материалы обладают направленной изотропией свойств. Так, материалы, свойства которых инвариантны к повороту на произвольный угол вокруг некоторой оси и к любому отражению относительно плоскости, содержащей эту ось, называются трансверсально изотропными. Материалы, свойства которых инвариантны к отражению относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, называются ортотропными.

Упражнение 1.5.5. Показать, что среды ромбического множества (табл. 3) являются ортотропными материалами

217

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Отметим, что преобразование симметрии Di представляет повороты координат на 180о вокруг осей xi, преобразования Mi – повороты на 120о и 240о относительно кристаллографического направления [111], а преобразования Si – повороты на 120о и 240о относительно оси x3. Поэтому трансверсально изотропные материалы являются обобщениями тех сред, свойства которых инвариантны к перечисленным преобразованиям.

Упражнение 1.5.6. Показать, что для трансверсально изотропного материала, не изменяющего своих свойств при преобразовании координат с помощью матрицы косинусов

4

тензор Tc в уравнении (1.5.1) имеет следующий вид:

где c1133 = c2233; c1313 = c2323

1.5.2.Определяющие уравнения

Впредыдущем подпункте примеры соотношений между параметрами напряженного и деформированного состояний показаны с помощью тензоров малых деформаций и скоростей деформаций.

Учитывая связь всех параметров движения сплошных сред с лагранжевыми координатами, в эйлеровых координатах отсчета уравнения типа (1.5.1)–(1.5.4), (1.5.6), (1.5.7) можно представить в более общем виде:

218

1.5. РЕОЛОГИЯ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Соотношения такого типа называются определяющими уравнениями. Для сред, свойства которых описываются определяющими уравнениями, в МСС предполагается выполнение трех основных принципов: детерминизма, локального действия

иматериальной независимости от множества координат (аксиомы У. Нолла).

Всоответствии с принципом детерминизма напряженное состояние в сплош-

ной среде M с конфигурацией L− ≤ L ≤ L+ определяется предысторией движения среды вплоть до рассматриваемого момента t. В общем случае использование принципов детерминизма позволяет создавать модели материалов, обладающих памятью, когда реакция на изменение формы и размеров тела проявляется не сразу, а некоторое время спустя. Этот принцип может быть распространен на неизотермические процессы, когда в определяющем уравнении дополнительно учитывается температура θ:

Такое уравнение позволяет описывать свойства, присущие материалам с тер

момеханической памятью.

Общность принципа детерминизма позволяет учитывать влияние на напряженное состояние в окрестности рассматриваемой частицы процессов, происходящих на конечном расстоянии от этой частицы. Однако в ньютоновской механике эффектом действия на расстоянии обычно пренебрегают и используют принцип локального действия, который, по существу, означает зависимость свойств среды в окрестности рассматриваемой в момент времени t частицы от координат этой частицы. В соответствии с предложениями А. А. Ильюшина в окрестности материальной частицы с радиус-вектором L = const задан про цесс деформации (процесс нагружения), если тензор деформаций (тензор напряжений) для этой частицы задан в виде непрерывно дифференцируемой функции времени в рассматриваемом интервале изменения времени.

Для окрестности одной и той же материальной частицы L = const оба процесса (деформации и нагружения) взаимосвязаны в силу физических свойств среды в окрестности этой точки. Естественно, что при таком определении процесса деформации (нагружения) можно отметить аналогию процесса с его изображением в пространстве деформаций (напряжений), которые, например, могут быть представлены в виде (1.2.86) или (1.3.24) соответственно. При этом образ процесса представляется в виде кривой в этих пространствах. В частности, в пятимерном пространстве (1.2.86) такая кривая называется траекторией дефор

219

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

С помощью вектора (1.5.15) с компонентами (1.2.86) определяются направ ляющий девиатор деформации D0ε = Dε /Γ и единичный вектор деформации

Г0 = Г/ Г, где модуль Γ вектора (1.5.15) рассчитывается по формуле (1.2.87). Кривизна и кручение траектории деформаций вместе с длиной ее дуги представляют полное множество внутренних геометрических параметров процесса. Например, в окрестности материальной частицы m рассматривается простое

происходит только за счет изменения во времени объемной деформации (1.2.83) и модуля (1.2.87) вектора деформации (1.5.15). При простом нагружении единичный вектор деформации остается постоянным, что соответствует представлению образа процесса в пятимерном пространстве (1.2.86) в виде прямого луча, исходящего из начала координат. Ясно, что длина дуги траектории деформации простого процесса нагружения равна модулю (1.2.87) вектора деформации (1.5.15). Аналогичным образом процесс нагружения может быть задан в пространстве напряжений (1.3.24) или связан с пространством деформаций и временем в пространстве скоростей деформаций (пп. 1.2.7). В общем случае, по А. А. Ильюшину, принцип локального действия содержится в постулате мак роскопической определимости: термомеханическое состояние рассматриваемого вещества в окрестности точки L = const в момент времени t однозначно определяется параметрами процессов деформаций, нагружения и температурой, с учетом значений этих параметров в начальный момент времени.

В соответствии с третьим принципом материальной независимости от множества координат предполагается инвариантность определяющих уравнений по отношению к преобразованиям координат.

Кроме сформулированных трех основных аксиом, можно сформулировать еще ряд других правил, которые следует соблюдать при назначении определяющих уравнений. В частности, ниже будет показано, что в математической постановке краевых задач должен выполняться принцип физической допустимости, который требует согласования всех определяющих уравнений с уравнениями, составляющими замкнутое множество без нарушения физических законов динамики деформируемого тела. Сами подобные требования и их выполнение настолько очевидны, что они обычно интуитивно подразумеваются, но не оговариваются.

Например, интуиция подсказывает, что для определяющих уравнений всегда должна выполняться аксиома размерности величин, входящих в эти уравнения, и

220