книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.3. СТАТИКА

Покажем, что компоненты σik образуют тензор второго ранга, т. е. при повороте множества координат с помощью матрицы косинусов ((αpk)) (П1.17) эти компоненты изменяются по закону (П1.26) при ранге n = 2.

Точно так же, как была получена формула (1.3.10) в базисе ek , для нового базиса e′j , повернутого относительно старого базиса ek с помощью матрицы косинусов ((αjk)) (П1.17), получим

мание (П1.24), перепишем формулу (1.3.10): αkmσnm′ = αij n′jσik . Теперь умножим

обе части этого равенства на αpk: αpsαmsσnm′ = αijαpk n′jσik . При этом в левой ча-

сти вследствие (П1.20) имеем δpmσnm′ = σnp′. Поэтому σnp′ = αjiαpk n′jσik . Сравнивая последнее выражение с (1.3.11), устанавливаем

что соответствует закону (П1.26) преобразования компонент тензора второго ранга

Tσ = σik ,

который называется тензором напряжений.

Окончательно формулу О. Коши (1.3.10) можно представить в тензорной форме записи:

В математической постановке задач ОМД наряду с полным поверхностным напряжением σn используются проекции pn и τn этого напряжения на направ-

ление нормали n к площадке S и на саму площадку соответственно (рис. 40).

Первая проекция pn называется нормальным поверхностным напряжением. Модуль этой проекции, как известно из векторной алгебры, находится путем скалярного умножения σn на n :

151

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Сам вектор pn получается умножением (1.3.14) на нормаль n. Тогда с уче-

том формулы О. Коши (1.3.13) получим

где использована символика p-скалярного умножения (П1.33) тензора напря-

3

жений Tσ на тензор третьего ранга Tn (1.2.172).

Вторая проекция τn называется касательным поверхностным напряжением. Такое напряжение можно найти векторным вычитанием (1.3.15) из (1.3.13):

На основании (1.2.174) получается другая, эквивалентная (1.3.16), формула

для определения τn без промежуточного вычисления нормального напряжения:

С помощью (1.3.13) и (1.3.15) формулу (1.3.16) можно представить в виде, в котором τn полностью определяется тензором напряжения Tσ и единичной

внешней нормалью n. К аналогичному виду с помощью формулы О. Коши (1.3.13) приводится формула (1.3.17). Однако эти виды записи касательного на-

пряжения τn здесь не приводятся, так как в следующем подпункте будет пока-

зано, что для расчета поверхностного касательного напряжения τn достаточно использовать не весь тензор напряжения Tσ, а лишь его девиаторную часть.

1.3.3. Тензор напряжений

Напряженное состояние в окрестности материальной частицы m деформируемого тела M характеризуется тензором напряжений Tσ. В зависимости от размерности N пространства N, где нагружается тело M, различают объемное (N = 3),

плоское (N = 2) и линейное (N = 1) напряженные состояния.

Из рис. 40 следует, что боковые компоненты σik (i ≠ k) тензора Tσ являются касательными напряжениями на координатных площадках Si, а его диагональные компоненты (i = k) – нормальными напряжениями, действующими на этих площадках.

152

1.3. СТАТИКА

Тензор напряжений поворотом множества координат можно привести к диагональному виду:

где главные напряжения σi определяются по стандартной процедуре (П1.58)–(П1.61) и удовлетворяют соотношению (П1.62)

вычисляемую по формуле типа (П1.55), называют средним напряжением. С точностью до знака эта величина совпадает с гидростатическим давлением p = – σ0 в окрестности материальной частицы. Из (П1.54) следует, что среднее напряжение σ0 тензора Tσ определяет сферическую часть тензора напряжений

Оставшаяся часть (П1.56) называется девиатором напряжений:

Сферическая часть Sσ тензора напряжения Tσ характеризует ту часть напряженного состояния, которая вызывает изменение объема в окрестности материальной частицы m. Девиаторная часть Dσ тензора напряжения характеризует ту часть напряженного состояния, которая вызывает изменение формы в этой окрестности.

Среди трех инвариантов

девиатора напряжений в теории ОМД чаще всего используют второй, с помощью которого вычисляют интенсивность касательных напряжений

153

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

равную модулю T вектора T в пятимерном пространствеTi, получаемом преобразованием пространства sik по аналогии с (1.2.86):

T3 = s12 ; T4 = s23; T5 = s31.

Упражнение 1.3.1. С помощью формул (1.3.22) и (1.3.23), используя (П1.58)– (П1.61), показать, что главные компоненты тензора напряжений при переходе от произвольного к главному множеству координат определяются по формулам

ϕσ = arccos 3 3sIII 2T3

с соблюдением соотношения (1.3.19).

Упражнение 1.3.2. Используя (1.3.22) в формуле О. Коши (1.3.13), показать, что полное поверхностное напряжение σn определяется девиаторной и сферической частями тензора напряжений с помощью соотношения

Упражнение 1.3.3. Используя (1.3.22) и (1.3.13) в формуле (1.3.15), показать, что нормальное поверхностное напряжение вычисляется по девиаторной и сферической частям тензора напряжения с помощью соотношения

154

1.3. СТАТИКА

Теорема. Касательное напряжение не зависит от среднего напряжения σ0 и полностью определяется девиаторной частью Dσ тензора напряжения.

Доказательство. Эту теорему можно доказать двумя способами.

Первый способ основан на подстановке (1.3.25) и (1.3.26) в (1.3.16). Отсюда получаем подтверждение теоремы:

Второй способ сводится к подстановке (1.3.25) в (1.3.17). В этом случае, учитывая, что векторное произведение вектора n самого на себя равно нулю, получаем формулу Б. В. Кучеряева в статике:

Упражнение 1.3.4. Доказать идентичность формул (1.3.27) и (1.3.28).

С помощью формулы (1.3.28) легко записать модуль вектора касательного напряжения. Действительно, в связи с совпадением модулей вектора поверхностного касательного напряжения, вычисляемого по формуле (1.3.28), и вспомогательного вектора τn′ = (Dσ n) × n типа (1.2.173) для последнего имеем

Упражнение 1.3.5. Показать, что при плоском напряженном состоянии длина вектора касательного поверхностного напряжения (1.3.29) имеет вид

τn = 2s11n1n2 − s12 (n12 − n22 )

Задачи к пп. 1.3.3

Задача 1.3.3.1. По заданному тензору напряжений

определить главные напряжения.

Решение. Для определения компонент заданного тензора напряжений в главных координатах необходимо решить характеристическое уравнение матрицы тензора (П1.58)–(П1.61)

155

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

|σik – λδik| = 0

или

– λ3 + σI λ2 – σIIλ + σIII = 0,

где инварианты тензора напряжений определяются соотношениями типа (П1.60):

σI = σii = σ11 + σ22 + σ33;

Для заданного тензора

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид

– λ3 + 3λ2 + 20λ – 43 = 0.

Полученное полное кубическое уравнение с помощью подстановки

λ = y + σI

3

приводится к неполному кубическому уравнению y3 + ay + b = 0,

где

a = 13 (3σII − σI2 ); b = 271 (−2σI3 + 9σIσII − 27σIII ).

156

1.3. СТАТИКА

Подстановкой сюда инвариантов σI, σII, σIII найдем a = –23; b = 21. Заданный тензор напряжений имеет симметричную матрицу, поэтому его характеристическое уравнение имеет действительные корни, что можно проверить по неравенству (П1.63), которое для симметричных тензоров всегда выполняется. По

условиям задачи сумма в этом неравенстве равна −34010841 .

Если неравенство выполняется, то для отыскания корней кубического уравнения применяется тригонометрическое решение (П1.66). Для условия задачи θ = 119о40′, а корни неполного кубического уравнения y1 = 4,25; y2 = –5,2; y3 = 0,95. Используя соотношение (П1.62) или (1.3.19) σ1 ≥σ2 ≥σ3, возвращаясь к исходным переменным (П1.65), найдем главные значения заданного тензора напряжений

Проверка. В правильности решения можно убедиться по совпадению инвариантов тензора до и после диагонализации его матрицы. Первые были получены ранее, а для вторых имеем

σI = 5,25 + 1,95 – 4,2 = 3; σII = 5,25 × 1,95 – 1,95 × 4,2 – 4,2 × 5,25 = –20;

σIII = –5,25 × 1,95 × 4,2 = –43.

Задача 1.3.3.2. Разложить тензор напряжений

1 2 3

Tσ = 2 4 5 1 5 7

на сферическую часть Sσ, девиатор Dσ и определить интенсивность касательных напряжений T.

Решение. Найдем среднее напряжение (1.3.20) для заданного в трехмерном пространстве (N = 3) тензора напряжений

σ0 = σkk = 1+ 4 + 7 = 4.

N 3

157

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Сферическая часть тензора напряжений (1.3.21)

4 0 0

Sσ = σ0Tδ = 0 4 0 , 0 0 4

где Tδ = [[δik]] – единичный тензор (П1.30). Тогда девиатор напряжений (1.3.22)

Проверка. Как и следовало ожидать, сумма диагональных компонент sjj девиатора напряжений равна нулю.

Интенсивность касательных напряжений найдем по формуле (1.3.24):

Задача 1.3.3.3. По заданному тензору напряжений

4 6 2

Tσ = 6 8 10 . 2 10 12

найти главные напряжения, используя формулы упражнения 1.3.1.

Решение. Сначала по заданному тензору определим среднее напряжение (1.3.20)

σ0 = 4 +8 +12 = 8. 3

Затем по формуле (1.3.21) находим сферическую часть тензора напряжений, а по формуле (1.3.22) – его девиаторную часть

158

1.3. СТАТИКА

Далее вычисляем третий инвариант (П1.60) девиатора напряжений sIII = 496,

σ3 = –2,409.

Самостоятельно. Выполнить проверку правильности вычислений. Задача 1.3.3.4. По заданному тензору напряжений

10 0 20

Тσ = 0 30 0 20 0 5

определить полное σn , нормальное pn и касательное τn напряжения на на-

клонной площадке с единичной внешней нормалью n = niei = 53 e1 + 54 e2 .

Решение. По формуле О. Коши (1.3.13)

σn = Tσ n

определим проекции σnk полного напряжения на координатные оси:

σ1n = σ1i ni = 6; σn2 = σ2i ni = 24; σ3n = σ3i ni =12.

Таким образом, полное напряжение на площадке с заданной нормалью n

σn = σnk ek = 6e1 + 24e2 +12e3.

Модуль нормального напряжения pn можно определить как проекцию σn

на n (1.3.14):

159

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

pn = σn n = σknnk = σik nink

или

pn = σ11n12 + 2σ12n1n2 + 2σ13n1n3 + σ22n22 + 2σ23n2n3 + σ33n32 .

После подстановки значений σnk и nk имеем

pn = 6× 53 + 24× 54 +12×0 = 22,8.

В векторной форме нормальное напряжение на площадке с заданной нормалью n имеет вид

pn = pnn

или

pn = pknek =13,68e1 +18, 24e2 .

Касательное напряжение на площадке с нормалью n определим по формуле (1.3.16)

τn = σn − pn

или

τn = τkneik = −7, 68e1 + 5,76e2 +12e3.

Теперь можно найти модуль касательного напряжения

τn = τknτkn = 7,682 +5,762 +122 ≈15,3.

Этот же результат можно получить по формуле

τn = || σn ||2 −pn2

или

τn = 756 −519,84 ≈15,3.

160