книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения

о 1 г J t

Рис. 1.4. Кривая плотности экспо­ ненциального закона распреде­ ления при Х = \

Плотность распределения описывают соотношением вида

Графическое изображение плотности экспоненциального распределения приведено на рис. 1.4.

функция распределения выражается зависимостью

Математическое ожидание и среднее квадратическое от­ клонение для экспоненциального закона соответственно равны

Таким образом, [Л4(^)= сг(/)] для экспоненциального закона распределения, что является существенным при проверке соот­ ветствия экспериментального распределения выбранному тео­ ретическому экспоненциальному распределению.

Пример 1.3. Наработка на отказ сложной технической си­

21

Среднее значение наработки на отказ найдем по формуле

1.10. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Логарифмически нормальное распределение явля­ ется двухпараметрическим распределением случайной величины, логарифм которой распределен по нормальному закону. Как распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное. В теориинадежности такое распределение исполь­ зуют для описания наработки до отказа деталей в период на­ ступления усталости материала, а также процессов восстанов­ ления, износовых отказов, наработки на отказ подшипников кача­ ния и электронных ламп или наработки между отказами сложных технических систем типа подвижных установок на базе шасси МАЗ-543 и ЗИЛ-135.

Плотность распределения описывается зависимостью

Параметры а и а оценивают по результатам испытаний с помощью формул:

22

Вероятность безотказной работы можно определить по таб-, лицам для нормального распределения (см. табл. 1 приложения) в зависимости от значения квантили:

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклоне­

Кривые логарифмически нормального распределения изо­ бражены на рис. 1.5.

Пример 1.4. Оценить вероятность безотказной работы колен­ чатого вала двигателя в течение /= 1 0 3 ч, если его наработка распределена по логарифмически нормальному закону с пара­ метрами 1п/о= 11,51, а —2,0.

Р е ш е н и е:

Рис. 1.5. Кривые логарифмически нормального распределения при различных параметрах а и а:

а _ плотность вероятности /(/); б — вероятность безотказной работы P(t)

23

1.11.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА

Среди непрерывных распределений закон Вейбулла занимает одно из наиболее часто применяемых в технических задачах. Это распределение Вейбулл использовал при описании разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости, размеров частиц копоти и др. В последнее время закон распре­ деления Вейбулла нашел применение при описании надежности сложных технических систем, а также для изучения разбросов в сроках службы радиоэлектронной аппаратуры и других про­ цессов в технике.

Распределение Вейбулла является двухпараметрическим уни­ версальным, так как при изменении параметров оно в пределе может описывать процессы: нормального распределения, лога­ рифмически нормального, экспоненциального и др.

Плотность распределения выражается зависимостью вида

где а — параметр формы кривой распределения; А, — параметр масштаба.

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла при а = 1 .

Функция распределения описывается соотношением

Функция надежности — величина, обратная функции распре­ деления:

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклоне­ ние соответственно равны

24

Рис. 1.6. Кривые распределения Вейбулла при различных значениях параметров

аи X:

а— плотность распределения; б — вероятность безотказной работы

Кривые распределения Вейбулла для различных значений параметров а и X изображены на рис. 1.6.

Пример 1.5. Определить вероятность безотказной работы генератора в течение /= 1 0 3 ч, если наработка на отказ описы­ вается распределением Вейбулла с параметрами: а = 2,0 и

То= -I =1,5.10® ч. Ре ше н и е:

P(t) = е ~1'"1= e _l°3'2/(l'6’ie6) = 0,52.

1.12.ГАММА-РАС ПРЕДЕЛЕН l i t

Гамма-распределение занимает важное место в ма­ тематической статистике и теории надежности. Это распределе­ ние имеет ограничение с одной стороны Если пара­ метр формы кривой распределения а — целое число, то гамма-

25

распределение описывает время, необходимое для появления а событий (отказов), при условии, что они независимы и появля­ ются с постоянной интенсивностью К. В большинстве случаев это распределение описывает наработку системы с резервирова­ нием, время восстановления, а также распределение износовых отказов и т. д. При различных параметрах гамма-распределение принимает самые разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.

Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенствами, если А,>0 и а > 0 :

Вид кривых свидетельствует об универсальности закона гаммараспределения. Так, при значениях параметра формы а < 1 плот­ ности распределения наработки до отказа имеют убывающий ха­ рактер, при а = 1 и X= const распределение превращается в экспо­ ненциальное, при а > 3 кривая распределения гамма-распределе­ ния приближается к нормальному.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

(1.60)

При а < 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует ситуации, когда происходит быстрое выгорание ненадежных элементов в период приработки изделия. При а > 1 интенсивность отказов возрастает, что характеризует период из­ нашивания и старения элементов.

При а = 1 гамма-распределение совпадает с экспоненциаль­ ным распределением; при а > 1 0 гамма-распределение прибли­ жается к нормальному закону. Если а принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-рас­ пределение называют распределением Эрланга. Если значение а

кратно 1/2, а А, = 1/2, то гамма-распределение совпадает с рас­ пределением хи-квадрат (х2) .

26

S)

Рис. 1.7. Кривые гамма-распределения при различных значениях параметров а и А.:

а — плотность распределения; б — вероятность безотказной работы

Кривые гамма-распределения для различных значений а и X приведены на рис. 1.7.

1.13.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Втеории надежности распределение Пуассона нашло широкое применение. Так, например, с помощью закона опи­ сывают такие процессы, как появление внезапных отказов в слож­ ных системах и распределение времени восстановления. К при­ мерам распределения случайной величины, подчиненной закону Пуассона, можно отнести число разговоров, регистрируемых на автоматической телефонной станции за некоторое фиксированное

время, число распадающихся за некоторый промежуток времени атомов радиоактивного вещества, число отказов однотипного оборудования за данный интервал времени и т. п.

27

Плотность вероятности дискретного распределения для цело­

Рис. 1.8. Кривые распределения Пуассона для различных значений параметра к:

а — при Л.= 0,5; б — при А.= 5,0

28

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуас­ сона соответственно равны

1.14.БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Вкачестве биноминального распределения можно рас­ сматривать последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с одной и той же вероятностью. Причем событие представляет собой случайную величину, которая может быть только целым неотрицательным числом (например, один отказ или некоторое число дефектных деталей в партии). Из последовательности п испытаний нас ин­

тересуют только те из них, в которых появилось событие. На­ пример, из взятой наугад партии деталей нас интересует, каково в ней число дефектных деталей. Биномиальное распределение нашло широкое применение в теории надежности при оценке вероятности безотказной работы технических систем, работаю­ щих в циклическом режиме. Так, например, биномиальное распределение используется при оценке вероятности безотказной работы артиллерийского орудия, пуска ракет, наземного обо­ рудования, обеспечивающего пуск ракеты, и т. п.

Плотность вероятности описывается выражением

Суммирование в формуле (1.66) распространяется на все целочисленные значения m = 0, 1, 2, я, которые меньше /, причем

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

29