книги / Основы научных исследований

и n*+/=idem, то nRitA+z^idem; я/г/я«+;= 1бет; 1/я#= =idem; #яи=1бет, где R — любая постоянная вели­ чина.

Если уравнения процесса характеризуют его проте­ кание во времени и пространстве с доступной и необхо­ димой для данного исследования полнотой, то в этом слу­ чае условия (7.2) — критерии полного подобия. Если уравнения характеризуют протекание процесса или толь­ ко во времени, или только в пространстве, то (7.2) — критерии неполного подобия. Наконец, если исходные уравнения перед определением критериев будут упроще­ ны, в них будут отброшены какие-то заведомо влияющие факторы и т. д., то найденные из них критерии (7.2) бу­ дут называться критериями приближенного подобия.

Втабл. 7.1...7.4 приведены критерии подобия для не­ которых наиболее характерных процессов.

Вслучае подобных процессов, описываемых уравне­ ниями с неоднородными функциями (трансцендентные, сложные и т. д.), аргументы неоднородных функций дол­

жны быть равны, так как они в этом случае являются критериями подобия1. Так, например, если в функциях yi=R sin аху\ <p=/?.§in Аху выполняется условие у/фу/, то подобие процессов характеризуется равенством аху— =Аху. Возможны у с л о в н о п о д о б н ы е п р о ц е с с ы , подобие которых выполняется при введении переменных масштабов (квазиподобие).

Первая теорема о подобии справедлива и в более сложных случаях, когда уравнения процессов на первый взгляд неодинаковы, но введение переменных масштабов параметров времени или пространства дает возмож­ ность установить соответствие между оригиналом и мо­ делью. Возможны, например, два случая подобия: обыч­ ное геометрическое, когда куб преобразуется в подобный куб (другого размера), и так называемое афинное, когда куб преобразуется в параллелепипед. Могут реализовы­ ваться и более сложные преобразования, например, ког­ да шар (глобус) представляется в виде плоскостной мо­ дели (карты); это — конформное преобразование.

Вторая теорема подобия. Всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной систе­ ме единиц, может быть представлено в виде зависимо­ сти между безразмерными соотношениями из входящих

1 Если аргумент неоднородной функции — сумма, то каждый из членов этой суммы представляет собой критерий подобия.

19!

Т а б л и ц а 7.1

Критерии механического и гидродинамического подобия

в уравнение параметров, которые и есть критерии подо­ бия.

Теорема указывает на возможность своего рода заме­ ны переменных и сокращения их числа с т размерных до п безразмерных величин, с переходом к критериаль­ ному уравнению. Таким образом, упрощается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как связь между безразмерными критериями подобия л чаще всего проще. Но не только этим определяется зна-

192

Т а б л и ц а 7.2

Критерии электрического подобия

Ц — коэффициент магнитной проницаемости; Y — проводимость, удельная среда;

I — геометрический размер; t — время;

е —диэлектрическая постоянная; о — угловая скорость: со = 2я/;

f — частота;

#к — напряженность поля в точке К\ L — индуктивность цепи;

R— омическое сопротивление;

С— емкость;

О — проводимость на единицу длины электрической линии;

М— взаимоиндуктивность;

Т—постоянная времени.

чение теоремы. Весьма существенно, что переход к без­ размерным соотношениям позволяет распространить ре­ зультаты исследования, проведенного применительно к конкретному явлению, на ряд подобных явлений.

Пусть, например, какой-то процесс описывается ли­ нейным дифференциальным уравнением третьего по­ рядка

193

Х = (Л2М з )1 /В Д и t = (Al/A3)*V(A0/A3)*

— безразмерные коэффициенты (критерии подобия) функциональных зависимостей <р=/(т).

Третья теорема подобия. Необходимыми и достаточ­ ными условиями подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однознач­ ности, и равенство критериев подобия изучаемого явле­ ния.

Три общие теоремы о подобии дополняются положе­ ниями, оказавшимися весьма существенными при реше­ нии многих практических задач.

Однако к теоремам подобия имеется ряд дополни­ тельных положений, которыми необходимо руководство­

соответственно подобных в отдельности, обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющихся об­ щими для подсистем. Как следствие этого положения утверждается, что подобные сложные системы остаются подобными после любых упрощений,' если только эти упрощения были проведены в системах соответственно одинаково.

2. Все теоремы и условия подобия, справедливые для систем различной сложности, могут быть распределены на нелинейные системы, или системы с переменными па­ раметрами, если выполняются условия совпадения отно­ сительных характеристик, сходственных параметров, яв­ ляющихся нелинейными или переменными1.

3. Условия подобия, справедливые для изотропных систем, которые характеризуются одинаковостью физиче­ ских свойств (электропроводность, теплопроводность, упругость и т. п.) по всем координатам внутри данной

1 Возможны нелинейные пространственные преобразования, в ча­ стности переход от одной области пространства у ь ограниченной по­ верхностью пи к другой области у& ограниченной поверхностью я*. Эти области нелинейно подобны, если каждой точке xi поверхности Л| можно с помощью преобразования найти соответствующую точ­ ку х2 поверхности пг.

195

р изучаемым объектом или какой-либо из его сторон. В процессе изучения модель служит относительно само­ стоятельным «квазиобъектом», позволяющим получить при его исследовании некоторые знания о самом изучае­ мом объекте. Модели всех видов постепенно приобрета­ ют все большее значение, позволяя проводить научные исследования различных процессов, уточнять теорию ра­ боты различных установок, проверять выводы и получать более полное и наглядное представление, чем это можно было бы сделать только на основании расчета. Модели имеют большое значение с точки зрения обучения, поз­ воляя неоднократно воспроизводить аварийные режимы машин, аппаратов и систем, изучая при этом их в уско­ ренном времени, необходимом для получения нужного опыта. Модели обеспечивают обработку психологической совместимости новых машин, аппаратов и систем, и че­ ловека.

мя его функционирования. Модели позволяют оценивать значимость свойств целостности, выявлять свойства си­ стемы и приходить в некоторое состояние, определяемое ее собственной структурой. Иногда выделяют логические модели, которые строятся с помощью аппарата матема­ тической логики, а формальное построение используется далее для содержательной их интерпретации.

Кибернетические модели основываются на получении соотношений между входными и выходными функциями для некоего черного или серого ящика, представляюще­ го изучаемое явление, без раскрытия его внутренней структуры.

Квазианалоговые модели и электронные модели за­ нимаются синтезом цепей, являющихся моделями раз­ личных объектов, имеют особенно большое значение в настоящее время при решении задач, возникающих при проектировании и эксплуатации больших систем техни­ ческого назначении.

Э л е к т р о н н о е м о д е л и р о в а н и е позволяет успешно решать задачи объектов и явлений путем созда­ ния модели из комбинированных операционных блоков и проведения синтеза моделей. Набор универсальных комбинационных операционных блоков позволяет созда­ вать универсальные и специализированные аналоговые

197

Роль эксперимента, а вместе с этим и моделирования, увеличивается с развитием и совершенствованием циф­ ровых вычислительных машин. Эксперимент является не только путем непосредственного решения тех или иных научно-технических задач, но и помогает находить наи­ лучшее средство аналитического решения.

Модели различных видов и различного рода (физи­ ческие, аналоговые и математические) должны приме­ няться совместно и одновременно с цифровыми вычисли­ тельными машинами при исследовании работы различ­ ных технических систем, анализе развития и управления

чивающих единый многоаспектный подход к исследова­ нию. Оценку достоверности любого исследования, в том числе и с применением моделирования, дает эксперимент, проведенный по специальной программе. К р и т е р и ­ а л ь на я п р о г р а м м а проведения экспериментов (мысленных, математических или физических) дает оцен­ ку результата, распространяющуюся на класс явлений (а не только на единичные явления) в виде обобщенной критериальной зависимости, и позволяет отсеять влия­ ние посторонних, случайных факторов. Особенно удачно решаются задачи, возникающие при изучении различ­ ных сложных систем и связанные с нахождением сово­ купности варьируемых факторов, при которых целевая функция экстремальна. Методы планирования экспери­ мента позволяют решить эту задачу с минимальным чис­ лом опытов при надежной статистической интерпретации на каждом этапе. Преимущества направленного экспе­ римента, обрабатываемого в критериальной форме, вооб­ ще велики и существенны также при квазианалоговом электронном моделировании, при всех разновидностях математического моделирования.

Следует обращать внимание на возможность отыска­ ния функций правдоподобия, т. е. определенной матема­ тической формы, помогающей характеризовать резуль­ таты эксперимента, проводимого как в натуре, так и на любых, в том числе квазианалоговых, моделях. Сочета­ ние теории планирования эксперимента и теории подо­ бия позволяет ввести понятие «критериальная функция отклика». Здесь, однако, в отличие от теории планирова­ ния эксперимента вариации выполняются не в отдель­ ных величинах, а в критериальных соотношениях, Тако­

199

го рода соотношения позволяют сразу получать области целесообразных параметров. Эти области, представлен­ ные в виде пространств, будут особенно важны при ис­ следованиях сложных систем, проводимых на квазианалотовых электронных и других моделях. Решая задачи оптимизации, находят области, где имеются тенденции к определенному минимуму изменения целевой функции. При изучении больших систем моделирование выступа­ ет как мощное средство непосредственной связи теории и опыта, как инструмент проверки практикой создавае­ мых теорий и расчетов метода, как средство ускорения испытания надежности, проверки вновь конструируемой аппаратуры.

Для использования моделирования в технических, ин­ женерных задачах существенное значение имеет автома­ тизация получения критериев подобия с помощью вычис­ лительных машин. Далее моделирование должно разви­ ваться при сочетании методов теории подобия, планирования эксперимента, регрессионного анализа, ис­ следований при вероятностной и неполной информации. Критериальные зависимости в сочетании с методами планирования эксперимента и статическими методами облегчают задачи оптимизации сложных систем.

Увеличение сложности и размеров систем требует по­ стоянного совершенствования моделирования и провер­ ки полученных результатов путем эксперимента.

Четко провести любой (физический или вычислитель­ ный) эксперимент, объективно оценить сведения об изу­ чаемом процессе и распространить материал, получен­ ный в одном исследовании, на серию других исследова­

за счет уменьшения числа варьируемых факторов, рас­ пространить результаты каждого из этих экспериментов на неограниченно большой класс подобных процессов. Критериальную обработку экспериментальных данных при неизвестном математическом описании процесса можно показать на одном из примеров. Пусть изучается процесс в электрической цепи с активным сопротивле­ нием R, индуктивностью L и емкостью С при включении на источник постоянного напряжения U. Следует оце­ нить влияние вариаций параметров /?, L, С и 0 в задан­ ных диапазонах на максимальное значение тока в цепи,

200