книги / Основы научных исследований

стно-детерминированных) объектов может использовать­ ся теория дифференциальных уравнений с коэффициен­ тами, подчиняющимися определенным законам.

Цель и задачи, которые ставятся при математиче­ ском моделировании, играют немаловажную роль при выборе типа (класса) модели. Практические задачи требуют простого математического аппарата, а фунда­ ментальные— более сложного, допускают прохождение иерархии математических моделей, начиная от чисто функциональных и кончая моделями, использующими твердо установленные закономерности и структурные параметры.

Не меньшее значение на выбор модели оказывает анализ информационного массива, полученного как ре­ зультат аналитического обзора результатов исследований других авторов или поискового эксперимента. Деление массива на зависимые и независимые факторы, на вход­ ные и выходные переменные, предварительный поиск взаимосвязи между различными данными выборки по­ зволяет определить адекватный математический аппа­ рат.

Анализ информационного массива позволяет устано­ вить непрерывность или дискретность исследуемого по­ казателя и объекта в целом.

В непрерывных объектах все сигналы представля­ ют собой непрерывные функции времени. В дискретных объектах все сигналы квантуются по времени и ампли­ туде. Если сигналы квантуются только по времени, т. е. представляются в виде импульсов с равной амплиту­ дой, то такие объекты называют дискретно-непрерыв­ ными.

Установление непрерывности объекта позволяет ис­ пользовать для его моделирования дифференциальные уравнения. В свою очередь, дискретность объекта пред­ определяет использование для математического модели­ рования аппарата теории автоматов.

Кроме вышеизложенного на установление типа (класса) математической модели может оказать су­ щественное влияние необходимость определенного ото­ бражения гипотезы.

Учет целей и задач математического моделирования, характера гипотезы и анализа информационного масси­ ва позволяет конкретизировать модель, т. е. в выбран­ ном типе (классе) моделей определить их вид. Выбор вида математической модели в данном их классе явля­

141

ется третьим этапом математического моделирования.

которые являются допустимыми, и установлением зави­ симостей между ними. Для количественных (числовых) параметров зависимости задаются в виде систем урав­ нений (алгебраических или дифференциальных), для качественных — используются табличные способы зада­ ний функций.

Если параметры описываются противоречивыми за­ висимостями, то определяются их весовые коэффициен­ ты, выраженные в долях единицы, баллах. Тем самым противоречивые зависимости переводятся в вероятно­ стные.

Для описания сложных объектов с большим количе­ ством параметров возможно разбиение объекта на эле­ менты (подсистемы), установление иерархии элементов и описание связей между ними на различных уровнях иерархии.

Особое место на этапе выбора вида математической модели занимает описание преобразования входных си­ гналов в выходные характеристики объекта.

Если на предыдущем этапе было установлено, что объект является статическим, то построение функцио­ нальной модели осуществляется при помощи алгебраи­ ческих уравнений. При этом кроме простейших алгебра­ ических зависимостей используются регрессионные мо­ дели и системы алгебраических уравнений.

Если заранее известен характер изменения исследу­ емого показателя, то число возможных структур алгеб­ раических моделей резко сокращается и предпочтение отдается той структуре, которая выражает наиболее об­ щую закономерность или общеизвестный закон. Если характер изменения исследуемого показателя заранее неизвестен, то ставится поисковый эксперимент. Пред­ почтение отдается той математической формуле, кото­ рая дает наилучшее совпадение с данными поискового эксперимента.

Результаты поискового эксперимента и априорный информационный массив позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотно­ шению входных и выходных величин. В принципе воз­ можно установление четырех схем взаимодействия:

о д н о м е р н о - о д н о м е р н а я с х е м а (рис. 6.3, о) — на объект воздействует только один фактор, а его

142

торов (nh = Clm\ П12 = Ст).

При одномерно-многомерной схеме статический ста­ ционарный и нестационарный объект описывается ана­ логично одномерно-одномерной схеме взаимодействия статического стационарного объекта с внешней средой. При этом определяются отдельно математические моде­ ли входного воздействия с каждым выходным сигналом. Выходные сигналы считаются независимыми.

Многомерно-многомерное взаимодействие сводится к многомерно-одномерному и математическая модель объекта принимается аналогичной изложенной выше. Для нестационарного одномерно-одномерного (много­ мерного) взаимодействия алгебраические функции мо­ гут представлять собой решение дифференциальных уравнений. При этом необходимо рассматривать произ­ водные математического ожидания по переменному фактору. Например, экспоненциальная зависимость мо­ жет являться решением следующего дифференциально­ го уравнения:

J k . + a y = aym {у = 0 при х = О),-

где у — максимальное значение математического ожи­ дания.

Выбор вида модели динамического объекта сводит­ ся к составлению диффенциальных уравнений. Модель динамического объекта может быть построена и в клас­ се алгебраических функций. Однако такой подход явля­ ется ограниченным, так как не позволяет в математиче­ ском описании учесть влияния входных воздействий на динамику выхода без существенной перестройки самих алгебраических функций (структуры и коэффициентов).

144

Поэтому по полноте модели отдается предпочтение математическим моделям, построенным в классе диф­ ференциальных уравнений.

Если интересующие исследователя переменные явля­ ются только функциями времени, то для моделирования используются обыкновенные дифференциальные урав­ нения. Если же эти переменные являются также функ­ циями пространственных координат, то для описания та­ ких объектов недостаточно обыкновенных и следует пользоваться более сложными дифференциальными уравнениям в частных Ъроизводных.

Методология моделирования динамических систем в классе дифференциальных уравнений существенно за­ висит от схемы взаимодействия объекта со средой и сте­ пени знания входа.и выхода объекта.

Рассмотрим случай, когда вход и выход объекта из­ вестны.

При одномерно-одномерном и одномерно-многомер­ ном взаимодейстрии детерминированного объекта со средой структура дифференциального уравнения опре­ деляется по виду выходной характеристики объекта для типового входного воздействия (например, ступенчато­ го).

Одной из наиболее простых выходных характеристик объекта является линейная (рис. 6.4,а). Такое измене­ ние выхода определяется решением дифференцального

Рис, 6.4. Выходные характеристики детерминированно­ го объекта при ступенчатом внешнем воздействии

145

уравнения

^ - = kx, у0 = О,

at

где k>0 — коэффициент размерности и пропорциональ­ ности; уо — начальное значение выходного сигнала; t—

время.

Если i/o¥=0, то выходная характеристика объекта со­ ответствует рис. 6.4,6. Однако дифференциальное урав­ нение остается неизменным.

где ао — коэффициент дифференциального уравнения. Реакция объекта, соответствующая,рис. 6.4,г, позво­ ляет использовать в качестве математической модели объекта дифференциальное уравнение второго порядка:

=const). Если входные воздействия являются некото­ рыми функциями времени, в частности алгебраически­ ми, то в приведенных дифференциальных уравнениях изменяются правые части x = f(t) .

При многомерно-одномерном взаимодействии (в слу­ чае детерминированного объекта) динамические модели также ищут в классе дифференциальных уравнений. При этом допускается, что входные факторы являются независимыми по их действию на объект. Все факторы приводятся к сумме коэффициентами чувствительности в правой части дифференциального уравнения. Диф­ ференциальное уравнение подбирается по виду выход­ ной характеристики объекта.

Если допущение о независимости действия факторов неправомочно, то предварительно устанавливается влия­ ние каждого из факторов на выходной показатель объек­ та и по виду выходных характеристик подбираются со­ ответствующие дифференциальные уравнения. При од­ новременном действии факторов полагается, что выход­

и в

ная характеристика объекта представляет собой сумму решений независимых дифференциальных уравнений, соответствующих каждому фактору.

Для многомерно-многомерного взаимодействия по­ строение динамических моделей может быть сведено к многомерно-одномерной схеме взаимодействия.

При отсутствии априорной информации о входе и вы­ ходе объекта дифференциальные уравнения, моделиру­ ющие динамику объекта, составляются на основе предпо­ ложений или знаний о свойствах и структуре объекта.

Универсального метода составления дифференциаль­ ных уравнений нет, можно лишь использовать некоторые общие подходы к составлению уравнений первого по­ рядка.

Геометрические или физические задачи обычно при­ водят к одному из следующих трех видов уравнений:

1)дифференциальные уравнения в дифференциалах;

2)дифференциальные уравнения в производных;

3)простейшие интегральные уравнения с последую­ щим преобразованием их в дифференциальные уравне­ ния.

Рассмотрим, как составляются уравнения каждого из приведенных видов в отдельности.

1. У р а в н е н и я в д и ф ф е р е н ц и а л а х . При со­ ставлении дифференциальных уравнений первого поряд­ ка удобно применять «метод дифференциалов». Сущ­ ность его заключается в том, что из условия задач составляются приближенные соотношения между диф­ ференциалами. Для этого малые приращения величин заменяются их дифференциалами, неравномерно проте­ кающие физические процессы в течение малого проме­ жутка времени d/ рассматриваются как равномерные.

Эти допущения и замены не отражаются на оконча­ тельных результатах вследствие того, что замена прира­ щений дифференциалами сводится к отбрасыванию бес­ конечно малых высших порядков малости. Так как от­ ношение дифференциалов функции и аргумента является пределом отношения их приращений, то по мере того, как приращения стремятся к нулю, принятые допуще­ ния выполняются с большой точностью. Получающиеся при этом дифференциальные уравнения оказываются точными, если они однородны и линейны относительно дифференциалов.

Рассмотрим геометрический пример на применение метода дифференциалов.

147

Пусть перед исследователем стоит задача определе­ ния поверхности вращения, по которой нужно отшлифо­ вать зеркало рефлектора, чтобы выходящие из одной точки световые лучи после отражения в зеркале пересе­ кались в другой точке.

По сути, данная задача сводится к нахождению урав­ нения сечения искомой поверхности меридианной пло­ скостью, проходящей через точку F 2, в которой помещается источ­ ник света, и точку Fu в которой пересекаются отраженные лучи

(рис. 6.5).

Пусть MQ — малая дуга этого сечения. Будем ее считать прямо­ линейным отрезком. Опишем из точек Fi и F2, как из центров, ду­ ги MN и МР окружностей ради­ усами FtM = ri и F2M — r2. Эти дуги также будем считать прямо­ линейными отрезками.

Треугольники MQN и MQP — прямоугольные (гLMNQ и /LMPQ — прямые) с общей ги­ потенузой MQ.

Пользуясь известным законом оптики о равенстве углов падения и отражения, а также свойством равенст­ ва вертикальных углов, находим, что Z.MQN = ZMQP и AMQN=AMQP, Отсюда следует, что QN— QP. Так как QN=Aru a Q P= Ar2, то, заменяя приращения ра­ диусов-векторов г1 и г2 их дифференциалами, имеем

dП + dr2 = 0.

Дифференциальное уравнение составлено. Оно легко интегрируется. Для этого перепишем его следующим об­ разом:

d (г, + г2) = 0,

откуда находим общий интеграл

Ti -Ь г2 — С.

Итак, сечение искомой поверхности меридианной плоскостью является эллипсом. Следовательно, зеркало рефлектора надо отшлифовать по поверхности эллипсо­ ида вращения.

2. У р а в н е н и я в п р о и з в о д н ы х . Для составле­ ния дифференциальных уравнений используется видо­

148

измененный метод дифференциалов, который именуют методом производных.

Сущность метода производных заключается в том, что из условия задачи составляются приближенные соотно­ шения между скоростями изменения функции и аргумен­ та. При этом часто используется геометрическая интер­ претация скорости — угловой коэффициент касательной. Отсутствие бесконечно малых в методе производных ка­ жущееся, поскольку скорость изменения исследуемой величины сама появилась из рассмотрения бесконечно малых элементов.

При исследовании роста числа публикаций в науке

<iy пропорци­

ональна достигнутому уровню у числа публикаций. Это тождественно утверждению, что относительная скорость

роста — = const.

уdt

Указанное допущение позволяет составить дифферен­ циальное уравнение в форме

ИЛИ

—= к ( k > 0 ) ,

Уdt

где k = const, характеризующая в среднем отклики на публикации в той или иной области знания.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид"

у = аем,

где а — постоянная, характеризующая некоторое на­ чальное число публикаций.

3. П р о с т е й ш и е и н т е г р а л ь н ы е у р а в н е н и я . При рассмотрении работы сил, объемов тел, площадей криволинейных поверхностей их можно описать при по­ мощи определенного интеграла или интегральных фор­ мул. В случае если при таком описании неизвестные функции попадают под знак интеграла, то получаемая формальная запись называется интегральным уравне­

нием.

Последующее дифференцирование интегрального уравнения преобразует его в дифференциальное.

149

Для иллюстрации метода построения интегральных уравнений с последующим преобразованием их в диф­ ференциальные рассмотрим следующую задачу.

Пусть нужно найти закон прямолинейного движения материальной точки массы т , еслй известно, что работа действующей на точку силы пропорциональна времени t, прошедшему от начала движения. Начальный путь и начальная скорость равны соответственно So и оо.

Из курса механики известно, что в случае прямоли­ нейного перемещения точки, когда направления силы

S

и скорости совпадают, работа А = § F(u)du, где F(u) —

so

действующая на точку сила. По условию задачи

А = Ы.

Сравнивая оба выражения для А, находим

S

j" F (и) dи = kt.

Дифференцированием по s получаем

F(s) = k - g - ,

as

ds

а так как = v — скорость движения и

С другой стороны, из второго закона Ньютона сле­ дует, что

7

Сравнивая оба выражения для F(s), составляем дифференциальное уравнение

Общее решение этого уравнения представляется в виде

^ - = k (+ C t.

150