книги / Основы научных исследований

мо поддерживать постоянный уровень, условием стати­ ческого равновесия является уравнение

Упр ^Расх = О»

где Fnp — приход жидкости в резервуар; VpaCx —_расход жидкости.

Аналогично выглядит уравнение статического равно­ весия регулятора ресивера с газом или паром

Если регулируемым объектом является объем, в ко­ тором должна поддерживаться постоянная температура, то условие статического равновесия получает вид

QnP Qpacx =

где Qnp — количество теплоты, поступающей в объем за

появиться только в том случае, если будет нарушено ста­ тическое равновесие. Появление приращения одного из членов уравнения статического равновесия неминуемо повлечет приращения и второго члена уравнения, причем такие приращения, как правило, не равны между собой. В результате условие статического равновесия наруша­ ется и тогда при поступательном движении

Ед + ДЕд Ф F0 + AFc;

при вращательном движении.

Мд + ДМд Ф Мс + ДМС;

при заполнении резервуара жидкостью

^ПР 4- AV'np ф ^расх “Ь А^раех»

при заполнении ресивера газом

Полученные неравенства могут быть упрощены, если учесть в них условие статического равновесия:

А ^д Ф A F C; АЛ4Д ДУИС; Д^пр Д^расх»

AGnP =т^ AGpacx; AQnp ¥=AQpacx‘

152

Таким образом, при нарушении условий статического равновесия в исследуемом объекте возникает избыток или недостаток движущих сил (или моментов), поступ­ ления жидкости, газа, избыток или недостаток теплоты. Этот избыток или недостаток вызывает изменение ха­ рактера работы объекта.

Дальнейшее преобразование полученных неравенств осуществляется путем привлечения общеизвестных зави­ симостей, принципов, законов или анализа выходных ха­ рактеристик объекта, полученных в поисковом экспери­ менте. При этом могут использоваться феноменологиче­ ские законы (такие, как законы Гука, Фурье), полуэмпирические соотношения (например, дополнитель­ ное соотношение Ньютона в теории удара) и чисто эмпи­ рические соотношения.

Нарушение статического равновесия исследуемого объекта, имеющего поступательное движение, приведет к ускоренному или замедленному движению. Так как движущийся объект обладает массой т и ускорением а, то на основании принципа Даламбера уравнение дина­ мического равновесия (уравнение движения) может быть записано в виде

та — АГд — ДFc,

или, так как

где v — скорость движения; t — время, то

т ~т~ = д г д — д гс.

Ш

Для объекта, имеющего вращательное движение, уравнение динамического равновесия записывается так­ же на основании принципа Даламбера. Если J — приве­ денный к оси вала двигателя момент инерции вращаю­ щихся или возвратно-поступательно движущихся дета­ лей и ш — угловая скорость вращения вала, то уравне­ ние движения получает вид

При нарушении статического равновесия работы ре­ зервуара в нем происходит накапливание (в алгебраи­ ческом смысле) жидкости и, как следствие, изменение ее уровня.

153

Если dV — изменение объема жидкости в резервуаре за время dt, то

бК = (Д1/пР- Д У расх) dt,

или

- ^ = A V nP- A V pacx.

При нарушении равновесия в работе ресивера коли­ чество газа в нем изменяется на величину dG за элемен­ тарный интервал времени dl, поэтому

dG = (AGnp— ДСраС1) dt,

откуда

do

Д^пр AGpacx.

dt

Нарушение теплового режима некоторого объема приводит к изменению количества теплоты, сосредото­ ченной в выбранном объеме, на dQ за интервал времени dt, поэтому

dQ = (AQnP— AQpacX) dt,

ИЛИ

- ^ = A Q np- A Q mci.

Сравнение полученных дифференциальных уравне­ ний для различных регулируемых объектов показывает их идентичность.

Их дальнейшее преобразование возможно на основе знания физики общих свойств газа, теплопередачи и т. п. Например, известно, что состояние идеальных газов опи­ сывается уравнением Клапейрона

солютная температура газа; R — газовая постоянная. Из уравнения состояния следует

о — еЯ.

RT

Тогда уравнение динамического равновесия ресивера преобразуется к виду

V

RT dt = AGUP • AG-расх*

154

сти замену действительной функции Ma= f(iв, К) ее ка­ сательной в точке равновесного режима (такая замена обычно называется линеаризацией). После линеаризации приращение крутящего момента принимает вид

Пусть момент сопротивления является лишь функци­ ей угловой скорости

MD= f(u).

Тогда после разложения этой функции в ряд Маклорена и линеаризации получим

ш п Шсdo Дсо.

После подстановки преобразованных приращений в уравнение динамического равновесия объекта получаем

ровании уравнений получают большое количество реше­ ний, удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению. Чтобы получить из множества возможных решений одно, удовлетворяющее только рассматривае­ мому процессу, необходимо задать дополнительные ус­ ловия дифференциальному уравнению. Они должны чет­ ко выделить изучаемое явление из всего класса явлений.

Условия, которые раскрывают все особенности дан­ ного уравнения, называются у с л о в и я м и о д н о ­ з н а ч н о с т и и характеризуются следующими призна­ ками: геометрией системы (форма и размеры тела); физическими свойствами тела (теплопроводность, влагопроводность, упругость и т. д.); начальными условиями, т. е. состоянием системы в начальный момент; граничны­ ми условиями, т. е. условиями взаимодействия системы на границах с окружающей средой. Начальные и гранич­ ные условия называют краевыми.

Рассмотренные примеры выбора вида модели объек­ та имеют отношение лишь к таким объектам, которые могут рассматриваться как детерминированные.

Рассмотрим способы выбора вида математических моделей для вероятностных объектов. Как и ранее, для

156

где

N

здесь т,- — число появлений г/, значения выходной харак­ теристики; N — полное число наблюдений выходных ха­ рактеристик.

При многомерно-одномерной схеме взаимодействия статического вероятностного объекта с внешней средой задача математического моделирования сводится к од­ номерно-одномерной схеме для каждого сочетания по­ стоянных входных воздействий.

Нестационарный случай отличается тем, что каждое входное воздействие может принимать несколько значе­ ний. При этом для каждого конкретного сочетания зада­ ча анализа связи между входами и выходом может ре­ шаться аналогично задаче для многомерно-одномерной стационарной схемы.

Оценка степени связи выхода с входами проводится путем сопЪставления статических параметров и вычисле­ ния коэффициентов взаимной корреляции.

Моделирование объекта при одномерно-многомерной и многомерно-многомерной схемах взаимодействия про­ изводится аналогично вышеизложенному.

Рассмотрим далее моделирование динамических ре­ жимов вероятностных объектов.

При одномерно-одномерной схеме взаимодействия объекта с внешней средой и многократном поступлении на его вход одной и той же функции времени x{t) воз­ можны два случая:

на выходе объекта наблюдается стационарный слу­ чайный процесс;

на выходе объекта наблюдается нестационарный случайный процесс.

В первом случае в качестве математической модели выходной величины объекта принимается закон распре­

по времени принимаются с интервалом kt. Модель до­ полняется зависимостями

Hm(i,At) = f(xy, R(i,At)=--f(x), £ = 1 , 2 , 3 ......

Эти зависимости могут быть представлены алгебраи­

158

ческой функцией или дифференциальными уравнениями. Во втором случае (нестационарный выход объекта)

в качестве математической модели объекта принимают­ ся функциональные связи

my (i, At) = /(*);

ау (i, At) = / (х), { = 1 ,2 ,3 ,...,

где mv(i, At) — математическое ожидание распределе­ ния выходных величин у по дискретным отрезкам време­ ни с шагом At; a (t, At) — среднеквадратическое откло­ нение.

Эти связи также описываются с помощью алгебраи­ ческих или дифференциальных уравнений.

Если на вход объекта многократно поступают раз­ личные функции времени x,(t), то их рассматривают как случайные реализации случайного процесса. Для каждого сечения во времени (i, At) определяются ин­ формационные и вероятностные характеристики Я*, Rx,

тх, Ох. Аналогично, для каждой совокупности выхода для тех же сечений по времени (t, At) определяются ин­

формационные и вероятностные характеристики Я^*,

^Vl ' m Vi >aff(

Вкачестве математической модели объекта прини­

маются функциональные связи

H^{i, At) = fu [Я* (t, AQ];

Rut(i, At) = f2l [Rx (i, At)]; myi (i, At) = fAi [mx (i. At)];

в качестве математической модели объекта принимают­ ся функциональные связи между обобщенными парамет­ рами выхода и параметрами входа.

При многомерно-одномерной схеме взаимодействия вероятностного объекта со средой в нестационарном ре­ жиме в качестве его математической модели принима­ ются функциональные зависимости:

169

R y — f u ( R x & , a y — h i (a xi);

Ry fzmiRxm)> <*y fzm^Pxn)1

При одномерио-многомерной схеме взаимодействия объекта в нестационарном режиме в качестве математи­ ческой модели объекта принимаются функциональные зависимости

- M»i);

Myi = h i (m x ) \

Oyi-fu(°*) ( t = l » 2 .....n).

При многомерно-многомерной схеме взаимодействия в нестационарном режиме устанавливаются функциональ­ ные зависимости информационных и вероятностных ха­ рактеристик для каждого входа и выхода. При этом можно считать, что любой выход зависит от всех входов, и соответственно выбрать вид математических моделей.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем. При этом осуществляются следующие виды контроля: раз­ мерностей; порядков; характера зависимостей; экстре­ мальных ситуаций; граничных условий; математической

ваться и складываться могут только величины одинако­ вой размерности.

К о н т р о л ь п о р я д к о в направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин .и явно малозначительные слагаемые отбрасы­ ваются.

К о н т р о л ь х а р а к т е р а з а в и с и м о с т е й сво­ дится к проверке направления и скорости изменения од­ них величин при изменении других. Направления и ско­ рость, вытекающие из математической модели, должны соответствовать физическому смыслу задачи.

Ко н т р о л ь э к с т р е м а л ь н ы х с и т у а ц и й сво­ дится к проверке наглядного смысла решения при при­ ближении параметров модели к нулю или бесконечно­ сти.

160