книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы
.pdf3.1 КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ЕЕ ДЕФЕКТЫ 171
Напомним, что направления в кристалле обозначаются индексами Миллера: тремя целыми числами, представляющими собой координаты ближайшего узла, лежащего на прямой данного направления, проходящей через узел, принятый за начало координат. При этом в качестве единиц измерения длины по каждому из направлений приняты постоянные решетки.
Индексы Миллера плоскости определяются тремя отсекаемыми ею на осях кристалла отрезками, также измеренными в единицах, соответствующих
постоянным решетки в каждом направлении. Ве |
|
|
личины, обратные отсекаемым отрезкам, необходи |
|
|
мо привести к общему знаменателю и затем отбро |
|
|
сить его. Оставшиеся числа и есть индексы Мил |
|
|
лера данной плоскости. Очевидно, что если плос |
|
|
кость параллельна какой-либо из осей кристалла, |
|
|
то соответствующий индекс Миллера равен нулю. |
|
|
Индексы Миллера направлений и осей в кристалле |
|
|
заключают в прямоугольные скобки, плоскостей — |
|
|
в круглые. |
|
|
На рис. 3.1.2 представлена модель решетки цин |
|
|
ковой обманки вдоль оси [110 ] перпендикулярно к |
|
|
оси [111]. Прежде всего, видно, что атомы груп |
Рис. 3.1.2. Вид |
решетки |
пируются в виде двойных плоскостей (1 1 1 ), причем |
||
число связей между близко расположенным плоско |
цинковой обманки |
вдоль |
оси [ПО] перпендикулярно к |
||
стями в три раза больше, чем между этими двойны |
оси [111] |
|
ми плоскостями. Поэтому при обработке кристаллов по плоскости (111) атомы удаляются двойными плоскостями.
Для кремния и германия именно плоскости (1 1 1 ) являются плоскостями наиболее легкого разрушения или скола (спайности).
Всоединениях А3В5 и А2В6 имеет место полярность плоскостей (1 1 1 ): одна сторона пластины, ориентированной по направлению [1 1 1 ], оказывается состоя щей из атомов только одного элемента, а противоположная — другого. Поэтому электрохимические свойства обеих сторон пластины несколько отличаются, как
иих внешний вид после селективного травления: на стороне АЦП) в местах дислокаций проявляются ямки травления.
Вполярной решетке цинковой обманки плоскость (110), состоящая из оди накового количества атомов элементов А и В, является плоскостью скола — небольшой сдвиг приводит к сближению отталкивающихся атомов.
172 |
ПОЛУПРОВОДНИКИ |
Гл. 3 |
|
Нитриды Al, Ga и In кристаллизуются в решетке вюрцита. Структура вюр- |
|
цита сходна со структурой цинковой обманки, только чередующиеся плоскости (1 1 1 ) повернуты на 180° вокруг оси [111] (рис. 3.1.3). Однако это, казалось бы, небольшое отличие приводит к тому, что решетка вюрцита представляет собой две вставленные друг в дру га плотно упакованные гексагональ ные решетки, состоящие из атомов различных элементов (например, А1
и N).
CdS также обычно кристаллизу
Рис. 3.1.3. Расположение атомов в вюрците ется в структуре вюрцита, но мо
(а) и цинковой обманке (б) |
жет кристаллизоваться и в структуре |
|
цинковой обманки, если его эпитаксиально осаждать из паровой фазы на под ложку GaAs.
Халькогениды свинца PbS, PbSe, РЬТе кристаллизуются в гранецентриро ванную кубическую решетку каменной соли. В этой структуре каждый атом окружен шестью ближайшими соседями.
Физические свойства реальных кристаллов в значительной степени зави сят от дефектов кристаллической структуры, представляющих собой либо отклонения от правильного расположения атомов либо включения инородных атомов в кристаллическую решетку.
Наиболее распространены точечные дефекты: решеточные вакансии (пу стые узлы решетки, называемые дефектами по Шоттки), атомы внедрения (лишние атомы, расположенные в междоузлиях решетки), примесные атомы, размещенные как в междоузлиях (атомы внедрения), так и узлах решетки (атомы замещения). К точечным дефектам относят также сочетание вакансии и междоузельного атома, получившее название дефекта по Френкелю: атом как бы нарушил порядок и сдвинулся в сторону от своего узла.
Беспримесные точечные дефекты возникают в основном в результате теп ловых колебаний кристаллической решетки. При каждой температуре в кри сталле в тепловом равновесии находятся определенные концентрации вакансий и междоузельных атомов, определяемые соотношениями вида
yVD = N exp |
<SD |
1 |
|
kT |
|||
|
где N — число узлов решетки в единице объема, No — концентрация дефектов, &о — энергия образования дефекта.
Энергия образования дефекта по Френкелю (вакансия плюс атом в междо узлии) соответствует энергии отрыва атома от равновесного положения. Для образования вакансии по Шоттки необходимо затратить добавочную энергию
3.1 КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ЕЕ ДЕФЕКТЫ 173
на перемещение междоузельного атома к стокам. Энергия дефектообразования (1 ч-2 эВ) много больше величины кТ при комнатной температуре.
Если кристалл долго выдерживать при высокой температуре, а затем быстро охладить, то повышенная концентрация дефектов в нем не успевает релаксировать (дефекты как бы «заморозятся»). Поэтому концентрация дефектов в кристалле, как правило, определяется предшествующими термообработками.
Дополнительные дефекты образуются при бомбардировке кристалла тяже лыми ядерными частицами-нуклонами. Дефекты такого происхождения назы ваются радиационными. Радиационные точечные дефекты всегда парные (де фекты по Френкелю).
Если радиус атома примеси отличается от радиуса атомов полупроводнико вого материала не более чем на ~ 15% и электроотрицательности примесного и матричного атомов близки, то такие примеси замещают атомы решетки, обра зуя с полупроводником раствор замещения. Для образования твердых раство ров внедрения радиус внедряющегося в междоузлие атома должен быть меньше (например, менее ~59% от радиуса атомов германия и кремния).
Важными для микроэлектроники особенностями примесных атомов явля ются их предельная растворимость в полупроводнике и микронеоднородность распределения, ограничивающая минимальные размеры интегральных схем.
Линейные дефекты или дислокации возникают при пластическом сдви ге (скольжении) одной части кристалла относительно другой и делятся на краевые (результат частичного сдвига решетки с появлением незаконченной полуплоскости атомов; линия этой дислокации — край лишней полуплоско-
а |
б |
Рис. 3.1.4. Схемы кристаллов с краевой (а) и винтовой (б) линейными дислокациями (AD — линия дислокаций). Стрелками указаны силы, вызывающие такие дислокации
сти) (рис. 3.1.4а) и винтовые (возникают при сдвиге части кристалла; ее линия превращает кристаллическую плоскость в наклонный спуск) — рис. 3.1.46.
Вобщем случае любые линейные дефекты могут быть представлены как результат суперпозиции краевых и винтовых дислокаций. Вдоль дислокаций облегчается диффузия примесей.
Вместах выхода линейных дислокаций на поверхность при травлении воз никают ямки. Дислокации могут быть источниками носителей заряда, а также центров рекомбинации и рассеяния носителей. Важным свойством дислокаций
174 ПОЛУПРОВОДНИКИ Гл. 3
является их способность к движению под действием механических напряже ний. В отличие от точечных дефектов, дислокации могут быть полностью уда лены из кристалла.
Предельным случаем беспорядочных дислокаций считают поликристалл, со стоящий из множества монокристаллических зерен (микрокристаллов), тесно примыкающих друг к другу. В поликристалле отсутствует макрорегулярность структуры и присущая ей регулярность свойств. Поликристаллы могут иметь мелко- и крупнокристаллическую структуру. Чем крупнее зерна, тем меньше роль границ между ними.
Так как структура поликристаллов слабо контролируема, повторяемость (воспроизводимость) их электрических и особенно фотоэлектрических свойств хуже, чем у монокристаллов. Однако, поскольку поликристалл уже содержит множество дефектов, то он имеет повышенную радиационную стойкость.
У атомов, расположенных на поверхности кристалла, часть связей неиз бежно нарушается из-за отсутствия соседей. Количество нарушенных связей зависит от кристаллической ориентации поверхности: у кремния на плоскости (1 1 1 ) нарушается одна связь из четырех, на плоскости (100) — две. Наруше ние связи влечет за собой нарушение равновесия на поверхности, приводящее либо к искажению кристаллической решетки в приповерхностном слое, либо к адсорбции чужеродных атомов из окружающей среды.
К поверхностным дефектам относятся не только внешние поверхности кристалла, но и плоскости двойникования, границы зерен, малоугловые дисло кационные границы.
Наконец, причиной объемных дефектов является нестехиометричность, скопления вакансий, нерегулярные образования в виде трещин, пустот, вклю чений второй фазы и др.
3.2. Движение электрона при наличии потенциальных барьеров и в периодическом потенциальном поле
В этом разделе приведены решения стационарного уравнения Шредингера для нескольких простых в математическом отношении модельных задач, позволяющие получить представление о физических механизмах, приводящих к дискретности энергетических уровней электрона в атоме, квантовой яме или осцилляторе и к зонной структуре полупроводников.
3.2.1.Движение электрона в области потенциальной ступеньки. Пусть
потенциальная энергия в области |
II (рис. 3.2.1) составляет £п, а в области |
|
I (.т < 0) равна нулю. Стационарное одномерное уравнение Шредингера для |
||
обеих областей имеет вид |
|
|
dx2 |
+ т т (<£ —<£п) у3(®) —0. |
|
|
К2 |
|
3.2 |
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ |
175 |
|
Предположим также, что электрон с кинетической энергией S = £к > <§„ |
|
подлетает к ступеньке слева (случай 1). Введя, как это было сделано в разделе 2.1 , для областей I и II волновые векторы к\ =
y/2m£/fr и к2 = у/2тп(§ - £ n)/h (после пересечения тормо |
(1) |
Sl |
|
зящего барьера кинетическая энергия электрона и его вол |
© - |
_£п |
|
новой вектор уменьшаются, следовательно, длина волны де |
|
||
|
|
||
Бройля растет), общее решение для волновой функции в |
(2) |
|
|
обеих областях записывается в виде |
|
|
|
|
© - |
|
|
|
|
|
|
<Pi (ж) = Aiexp(jkix) + B ie x p (-jk ix ). |
(3.2.1) |
|
I н |
Как и ранее, первый член соответствует движению электро |
|
||
|
|
||
на вправо, второй — влево. Однако в области II отраженной |
|
х |
|
волны нет, и В2 = 0. Коэффициенты В\ и А2 легко выра |
Рис. |
3.2.1. Потен |
|
жаются через амплитуду падающей волны А\ |
при учете |
циальная ступенька |
|
непрерывности функции <р(х) и ее производной dtp{x)/dx на границе областей. Преодоление потенциальной ступеньки приводит к частичному отражению потока электронов. Коэффициент отражения R определяется как отношение плотности потока отраженных частиц к плотности потока падающих. При оди наковых скоростях распространения отраженной и падающей волн он равен
отношению квадратов модулей их амплитуд и составляет
2
Я(£) = I* I2
Ы 2
Так, при £ = 2£п коэффициент отражения близок к 2%: из движущихся слева электронов с такой энергией ~ 2% отражается. Очевидно, что при клас сическом рассмотрении все частицы с £ > £„ барьер бы преодолели.
Интересно, что коэффициент отражения остается таким же и для частиц, подлетающих к ступеньке справа.
При £ = £К< <§п (случай 2) к2 становится мнимой величиной
/ |
■\ / 2т (£п £) |
. а |
|
«2 = 3 - ------- д ---------- = |
J P |
|
|
и решение уравнения Шредингера для области II приобретает вид |
|||
у>2(я) = А2ехр (-/?.г-) = 2 — Aiexp |
\ j 2 i n (<Sn |
<£) |
|
|
|
||
|
©П |
|
|
Легко проверить, что в этом случае при любом |
коэффициент отра |
||
жения получается равным единице, и слева от ступеньки волновая функция приобретает форму стоячих волн. Однако, в отличие от предсказаний доквантовой механики, появляется конечная вероятность обнаружения электрона в
176 |
ПОЛУПРОВОДНИКИ |
Гл. 3 |
области II, причем тем большая, чем меньше х и (<§п - |
<£)'• |
|
Ч>2(ж) |
2 у / 2 т ( ё п - |
<g) |
(®) = 4~ А 1ехР - |
|
|
С волновой точки зрения этот эффект аналогичен полному внутреннему отражению в оптике, когда излучение проникает на небольшую глубину в оп тически более плотную среду и отражение происходит не только от границы раздела двух сред.
После просачивания электрона в барьер его кинетическая энергия стано вится отрицательной, так как здесь полная энергия меньше потенциальной. Вместе с тем в соответствии с принципом неопределенности обнаружение ча стицы в малом интервале координат 8х « 1//3 приводит к неопределенности ее импульса 8р ^ h/Sx = h/З и энергии Si ^ (Sp)2/2т. « (<gn - <£) — неопреде ленность в кинетической энергии у электрона, оказавшегося за ступенькой, равна энергии, которой ему не хватало для классического преодоления потен циальной ступеньки. Таким образом, просачивание электрона в барьер можно рассматривать и как его виртуальный переход на вершину барьера.
В заключение отметим, что решение уравнения Шредингера при наличии потенциальной ступеньки возможно при любых значениях энергии <§, то есть спектр собственных значений энергии сплошной, как и для свободного элек трона.
3.2.2. |
Прохождение электрона через прямоугольный потенциальный |
|
барьер. В областях I и III (рис. 3.2.2) потенциальная энергия электрона равна |
||
нулю, а в области II шириной 6 она составляет £„• Волновая функция электрона |
||
во всех трех |
областях по-прежнему определяется соотношением |
(3.2 .1), где |
k i= k z = л/2rni/h и /г2 = ^/2т(£ - £„)/h (Л2 > Ах = А3), причем |
отраженной |
|
волны нет только в области III. |
|
|
Сшивать значения <р(х) и dip(x)/dx необходимо уже не только на границе I и II , но также II и III областей.
Пусть электрон с энергией £ = SK> <gn приближается к барьеру слева. Ко эффициент отражения барьера выражается теперь как
т |
= |
\Bi\2 |
= |
2к\к2 |
<1 + |
||||
|
|
K I 2 |
|
(*? - к%) sin &2& |
< з 2 - 2 >
где R(S) есть периодическая функция /г2 и 6: квадрат выражения в прямо угольных скобках представляет собой положительную величину, обращающую коэффициент отражения в нуль при sinfc26 -> 0, то есть при А;26 = пп, или
л /2 m(<g - (Sn) |
я- |
(3.2.3) |
—--------г---------- |
= —П |
|
h |
6 |
|
3.2 |
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ |
177 |
Соотношение (3.2.3) можно записать также в виде Ь = п (А2/ 2), где А2 — длина волны де Бройля в области потенциального барьера. Это есть брегговское условие интерференции при нормальном падении, когда на ширине барьера 6 укладывается целое число полуволн де Бройля. Таким образом, квазиклассическое толкование эффекта — интерференция падающей и отраженных от скачков потенциала на границах барьера волн.
Возведя в квадрат левую и правую части уравнения (3.2.3), получим
|
тг2Я2п2 |
+ &»• |
(3.2.4) |
|
<£ = <вп Н— 2тЬ2 = |
||
Это |
означает, что коэффициент отражения R{£) обращается в |
нуль вся |
|
кий |
раз, когда £п пробегает бесконечный ряд дискретных |
значений. |
|
При промежуточных значениях энергии коэффициент отражения проходит через максимальные значения, определяемые из соотноше
ния (3.2.2). |
(1) |
|
|
|
Интересно, что рассеяние на барьере любой формы ока |
© - |
|
|
|
зывается минимальным, если кинетическая энергия сво |
|
|
|
|
бодной частицы в области барьера совпадает с одним из |
(2) |
|
|
|
собственных резонансов £п барьера. Аналогичные эффек |
|
|
||
ты получаются и при <ВП< 0, то есть в случае потенциаль |
© -* |
|
|
|
|
|
|
||
ной ямы конечной ширины. |
I |
II |
III |
|
В случае 2, когда кинетическая энергия электрона |
||||
меньше высоты барьера (<£к = £ < <£„)> волновой вектор к2 = |
О |
Ъ |
х |
|
jfi — опять мнимая величина, и </>2 (2 ) в области барье |
||||
Р и с . 3.2.2. Потенци |
||||
ра представляет собой сумму двух экспонент. При этом, |
||||
несмотря на классический запрет для частиц с кинетиче |
альный барьер |
|
||
ской энергией £К< d>n проникать в области II и III, квантовые микрочастицы можно обнаружить в любой точке справа от барьера. Проникновение электро нов сквозь потенциальный барьер при £К< £„ называют туннельным эффектом.
Так как кинетическая энергия и скорость электрона до падения на барьер и после тунелирования одинаковы, то коэффициент прохождения или прозрач ность барьера D (<В) выражается формулой
D(£) = 1 - R{£) = {^ {2 |
= ------------— |
---------------- . |
|Ai| |
(/J2 —fc2) sh2j3b + 4&2/32ch2/J6 |
|
Обычно 0b > 1 (интенсивность отраженной от границы х = 6 волны мала по сравнению с интенсивностью волны, проходящей в область II из области I) и
D{£) |
е х р ( —2/36) = 16— f 1 - |
—) ехр - 2 |
^/2m(<Sn - £ ) |
(3.2.5) |
|||
к\ + /?2 |
<1>п \ |
£ п / |
|
178 |
ПОЛУПРОВОДНИКИ |
Гл. 3 |
|
Проницаемость барьера имеет заметную величину лишь в случае |
|
|
2/96 = 2 y/2m (<§n — <§)^ |
^ |
Туннельный эффект является чисто квантовым явлением: при переходе к
макрообъектам ( т —>• оо) |
туннелирование исчезает. Так, при <§„ = 2£ = 10 эВ и |
6 = 0,1 нм для электрона |
D « 15%, а для протона D w 2-100 -*■ 0. |
3.2.3. Электрон в прямоугольной потенциальной яме. Одномерная пря моугольная потенциальная яма является наиболее простой моделью связанного состояния микрочастицы (рис. 3.2.3). Наличие такой ямы эквивалентно двум силам, сосредоточенным при ж = 0 и ж = 6 и направленным навстречу друг другу. Эти силы стремятся удержать микрочастицу в ограниченной области пространства.
При бесконечном возрастании высоты потенциальных барьеров (<£„ -)• оо), ipi(x) и у?]ц(ж) неограниченно уменьшаются. Непрерывность волновой функ ции на барьерах приводит в этом случае к граничным условиям для волновой функции электрона в области II в виде (р\\ (ж = 0) =
£, |
|
|
= <^н (ж = 6) = 0. В результате электроны в бесконеч |
|||
|
|
|
но глубокой потенциальной яме могут существовать |
|||
|
|
|
только при резонансных значениях волнового векто |
|||
|
|
|
ра, когда ширине ямы соответствует целое число по |
|||
|
|
|
луволн волновой функции |
|
|
|
|
|
|
Ч>\\ (*) = 2 jA 2s\nknx, |
|
||
I |
II |
III |
где кп = П7г/6 и квантовое число п = 1,2,3... Соответ |
|||
|
|
|
||||
I |
|
ib X |
ствующие собственные значения импульса электрона |
|||
|
рп = hkn = тшН/Ь и его кинетической энергии |
|
||||
t |
0 |
i____ |
|
|||
Р и с . 3.2.3. |
Прямоуголь |
_ р£_ _ |
n2h2n2 |
(3.2.6) |
||
2т |
2тЬ2 |
|||||
|
||||||
ная потенциальная яма
Формула (3.2.6) в грубом приближении описывает спектры разрешенных значений энергии электронов в изолированных атомах, а также сильно связанных с атомами электронов в кристалле.
Таким образом, ограничение движения электрона стенками потенциальной ямы приводит к появлению дискретных разрешенных значений его кинетиче ской энергии Sn. Вероятность нахождения в такой яме электрона с энергиями, отличными от дозволенных значений £п, равна нулю. При этом число уровней в бесконечно глубокой яме также бесконечно, а их энергия обратно пропорци ональна квадрату ширины ямы 62
Положение низшего (его часто называют основным или невозбужденным) уровня энергии с п = 1 и импульс электрона на этом уровне при локализа
3.2 |
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ |
179 |
ции электрона в бесконечно глубокой потенциальной яме можно оценить и из соотношений неопределенности Гейзенберга 8рх 5х ^ Я, где 8х = Ь.
На рис. 3.2.4 слева показаны электронные уровни, соответствующие наи меньшим значениям п, и нормированые волновые функции для электронов на этих уровнях
<Рп(а)
С ростом &п пространственная частота и соответственно максимальная кру тизна изменения волновых функций d<p(x)/dx увеличиваются. Видно также, что волновые функции состояний с га= 1,3,... симметричны относительно се редины ямы (четные состояния), а волновые функции состояний с п = 2,4 ... — антисимметричны (нечетные).
!, мэВ
*»,<*>
Р и с . 3.2.4. Собственные значения энергии &п и собственные волновые функции <^>(п) для электрона в прямоугольной потенциальной яме шириной 6 = 1 нм (а), 5 нм (б) и 10 нм (в) бесконечной (рисунки слева) и конечной глубины [47]
180 |
ПОЛУПРОВОДНИКИ |
Гл. 3 |
Если <gn не меняется со временем, то зависящие от времени волновые функ ции электрона на дискретных уровнях имеют вид
Фп (x,t) = y | sin |
еХР |
Квантово-механическая задача о поведении электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками аналогична задачам о колебаниях закреплен ной на обоих концах натянутой струны (основной тон и обертоны) и о модах колебаний электромагнитного поля в короткозамкнутых участках волновода или коаксиальной линии.
Так как при наличии одномерной квантовой ямы в направлении х движение электронов в у- и 2-направлениях не квантуется, то полная волновая функция электрона комбинируется из функции у>п (я) в направлении х и плоских волн в у- и 2-направлениях:
Ч?п (*, У, 2) = exp {jkyy) exp {jkzz).
При этом энергия свободных в двух направлениях электронов равна
Р2D _ |
* 2 (*2 + *2) |
— &п +
2т
За счет непрерывных компонент энергия электронов, принадлежащих к одному и тому же уровню <§п, мо жет иметь величину, боль шую &п (рис. 3.2.5). Та кая совокупность состоя ний для квантового числа
|
п называется подзоной раз |
||||
|
мерного квантования. |
||||
|
Если |
движение |
элек |
||
|
трона |
свободно |
только |
||
|
вдоль |
оси |
г, а |
по |
осям х |
Р и с . 3.2.5. Подзоны размерного квантования в двумер |
и у ограничено |
двумерной |
|||
ном электронном газе |
квантовой |
ямой с размера |
|||
|
ми Ьх |
и Ьу соответственно, |
|||
то его волновая функция и энергия выражаются как
<Рп,т(х , У, 2) = |
b%by ( n V x) sin ( т *Гу) ехр(^2^ ’ |
|
|
||
pi D жЧ2 / V |
№ |
|
m*' |
||
°n,m |
2m U |
+ 4 , |
|
||