книги / Микрополосковые излучающие и резонансные устройства
..pdfгде h — постоянная распространения волны в структуре; Y0 — вол новая проводимость МПЛ [59]
у 0= V&* (120яГ! \{w/d) + 1,393 4 |
0,667 In [(w/d) 4-1,444]}, |
w / d ^ l , |
(3.9) |
значение AL можно аппроксимировать, например, формулой для разомкнутого конца МПЛ [25]
AL |
’ |
еэф + °-3 |
4 |
0,264d |
* |
(3.10) |
d |
еэф — 0,258 |
iw + |
O.Sd |
|
здесь еэф — эффективная относительная диэлектрическая проницае мость МПЛ линии 159]
еэф = 0,5 [е -f 1 + (е — 1) (1 4 12d/w)~v’], |
(3.11) |
постоянная распространения квази-Г-волны регулярной МПЛ |
|
h = 2 n \ f l l K |
(3-12) |
Величины AL и h используются для определения резонансной час тоты ЭИ.
На рис. 55 показана эквивалентная схема прямоугольного ЭИ, возбуждаемого со стороны одного из его концов. ЭИ представляется
Рис. 55. Эквивалентная схема для питания ЭИ в прямоугольном полоа»
.новом излучателе:
аао второцы одной нэ излучающих граней; б — в произвольной точке
комплексными проводимостями 0*4 № двух щелей, соединенных отрезком низкоомной ЛП длиной L с волновой проводимостью Y0. Полная входная проводимость ЭИ определяется трансформацией проводимости правой щели ко входу ЭИ:
У, = о + iB + К. (О + IB + iV0tg (hL)) [К. - В tg(AZ-) + Ю р ’.
(3.13)
ЭИ становится резонансным, когда реактивная составляющая его полной входной проводимости обращается в нуль. Приравнивая мнимую часть соотношения (3.13) нулю, получаем условие резо нанса
tg(AL) = 2K.fi (О1 + В» - К .Г 1. |
(3.14) |
составляющую их полного взаимного сопротивления
|
я |
|
?12 |
Ul (240л2)-1 J J0 (k0L sin 0 ) X |
|
|
о |
|
X |
sin2 (/г0и)cos 0/2) tg2 0 sin BdB; |
(3.20) |
J0(KI) — функция Бесселя.
Полная проводимость излучения прямоугольного ЭИ с учетом
взаимной связи щелей |
|
Увх (*0) » 2 (G + G12) C O S - 2 hx0> |
(3.21) |
где G12 = 2PlzVa — взаимная проводимость щелей при резонансе. Простая резонаторная модель прямоугольного ЭИ (модель с «магнитными» стенками). Основой резонаторного метода анализа
плоских элементов является классическая идея (широко применяе мая в общей теории антенн) о разделении полной задачи об излуче нии на две отдельные: внутреннюю и внешнюю. Если известно по ведение электромагнитного поля на границах ЭИ, то соответствую щие решения внутренней и внешней задач по теореме единственности для каждой из них дадут точное решение всей задачи. При этом на границах ЭИ условия непрерывности полей выполняются автома тически. Знание истинных граничных условий существенно упрости ло бы анализ. Однако их определение является непростой задачей, и различие резонаторных методов фактически сводится к различию в подходе к заданию или (и) нахождению этих условий. Задание граничных условий теми или иными способами позволяет рассчи тать внутренние поля в резонансной полости и вычислить его харак теристики — резонансную частоту, ширину полосы рабочих частот, полное входное сопротивление и др. Зная структуру поля в полости, можно перейти к анализу характеристик излучения ЭИ.
Аппроксимация истинных граничных условий для формулиров ки внутренней задачи для ЭИ, очевидно, должна использовать осо бенности рассматриваемой структуры. В резонаторные методы ана лиза дополнительно вводят два предположения относительно структуры полей в резонансной полости ЭИ: 1) в области между полосковым проводником и металлическим основанием существуют ортогональная к ним составляющая Едэлектрического поля и парал
лельные плоскости хОz, составляющие Hft Нг |
магнитного поля; |
2) структура электромагнитного поля в полости |
не зависит от у на |
всех (представляющих интерес) частотах, т. е. поле в полости не изменяется по толщине d подложки. Для антенных приложений и резонансных структур предполагается малость толщины подлож
ки но сразнению |
с длиной волны в диэлектрике: d |
X. |
Строго |
говоря, структура |
электромагнитного поля и его изменение |
по тол |
|
щине подложки точно неизвестны и с повышением частоты, напри мер, на миллиметровых волнах (или с увеличением толщины
__ f 1, |
m = л = 0; |
|
|
|
|] / 2 , |
/п = |
0, л=5^0 или |
тФО, п — 0; |
|
(2, |
тфО, пфО, |
|
|
|
к — К (в,,)1/*= |
Iе (1 — * tg б)]/г |л = 1; |
(3.24) |
||
fim = (mn/Lf -f (nn/w)2, т]0 = |
(H0/e0)v% |
(3.25) |
||
w — частота сторонних |
источников; &' = |
е и в" — вещественная |
||
и комплексная относительные диэлектрические проницаемости мате риала подложки соответственно; етп (х, z) — электрические ортонормированные собственные функции с нулевой вариацией поля
по оси у |
идеального |
(tg б == 0) прямоугольного ЭИ с магнитными |
|
боковыми |
стенками |
|
|
|
L |
w |
(3.26) |
|
|
1пп'• |
|
|
ОО |
|
|
Функции етп (х, г) являются решением однородного двухмерного уравнения Гельмгольца с нулевыми граничными условиями для их нормальных производных по периметру прямоугольного ЭИ.
Магнитное поле в резонансной полости ЭИ
Н (х, г) = ieVl £ |
U. «»») — й п Г ‘ W »™ (*• *). (3.27) |
flt=0 |
|
где «магнитные» ортонормированные собственные функции прямо угольного резонатора
hmn (х, z) = — iqmn (k?Lwd) Vs {(nn/w) cos (mnx/L) sin (nnz/w) ex —
— (mn/L) sin (mnx/L) cos (nnz/w) ez\ |
(3.28) |
|
с нормировкой |
|
|
L |
w |
(3.29) |
d ^ |
^ h t n n h n i ' n ' d x d z ’ — $ m r n ' $ n n ' * |
|
0 |
0 |
|
Рассмотрим возбуждение резонатора расположенным в точке (x0, z0) цилиндрическим возбудителем радиуса а с равномерно рас пределенным по его сечению полным током / 0. В предположении а <£ L, а <£ w заменим круговое сечение тока эффективным прямо угольным сечением ахаг (например, исходя из равенства площадей сечений или считая ах =■= аг = 2а). Тогда
/(* , z) |
I |
|Z z01<C aJ2, ^3 |
|
(x, |
z). |
||
О, для остальных |
10n
Например, граничные условия вблизи угловых точек прямоуголь ного ЭИ отличны от условий на его боковых сторонах. В описанных выше моделях распределение полной проводимости стенок вдоль границы структуры фактически сводится к приближенному вы числению электродинамических характеристик на основе инте гральной оценки излучения отдельными участками границы из априорных распределений поля на краях ЭИ. Это позволяет весьма надежно вычислять (для ПА на сравнительно тонких подложках) такие важные характеристики, как резонансную частоту, полное входное сопротивление, ДН и т. д. С повышением частоты точность приближений уменьшается. В рассмотренных элементарных моде лях затенено понимание физики функционирования ЭИ. Физическая интерпретация различий в работе ПА и МП резонаторов и переход одних из них в другие при обраще нии к данным моделям остаются затрудненными.
Поэтому при использовании обобщенной резонаторной модели более адекватным представляется подход, основанный на решении ключевой задачи об отражении плоской Г-волны от прямолиней ной границы полубесконечной структуры. Аппроксимация крае
вых полей реальных конструкций полями, возникающими при паде нии плоской волны на ключевую структуру, позволяет выделить соответствующие граничные условия и свести задачу об излучении к рассмотрению двух раздельных задач: внутренней и внешней. При этом граничные условия из-за единственности решения обеих задач обеспечивают непрерывность внутренних и внешних полей.
Рассмотрим в такой постановке задачу о собственных колебаниях прямоугольного ЭИ (рис. 56). Исходным моментом является пред положение о существовании в центральной части резонансной полос ти элемента z — поляризованного (не зависящего от г) электромаг нитного поля. Электрическое поле Е(х, у) = Е (х, у) ег в резона торе должно удовлетворять уравнению Гельмгольца
д*Е/дх2+ д2Е/ду* + k2E = 0 |
(3.37) |
и соответствующим граничным условиям. При наличии внутренних потерь в подложке и вследствие излучения волновое число к комп лексно и связано с комплексной угловой частотой <о = ю' -f /со" соотношением
к2= (kf + ik 'f = kl + ki = <oa&|x = (©' + tV )2 ep, |
(3.38) |
Ф — угол падения плоских парциальных волн на края | //j =» = ш/2 элемента. Тогда условия (3.43) эквивалентны записи
где k' = h = (hi + К)ч\
Условия (3.44) имеют следующий смысл. Набеги фаз волн в ор тогональных направлениях по длине и ширине ЭИ с учетом скачков фаз при отражении должны равняться нулю или целому числу п и учитывают влияние радиационных потерь на резонансную частоту элемента (через мнимые части компонент волнового вектора). Вве дение угла Ф позволяет воспользоваться (q = х, у) из строгого
решения |
ключевой задачи для коэффициента отражения Г плоской |
|||
Т-волны |
от края соответствующей |
полубесконечной |
структуры |
|
|
Г = Г(Ы , |
Ф, |
е, р). |
(3.45) |
Поскольку |
|
|
|
|
|
& = (k')z — а 2 = |
(fe')a — аi — ocj, |
(3.46) |
|
то равенство k! — k в формулах (3.44) и (3.45) справедливо только при отсутствии потерь на излучение, которые приводят к сдвигу резонансной частоты в комплексную область.
Уравнения (3.44) — (3.46) совместно образуют замкнутую транс цендентную систему уравнений поперечного резонанса относительно комплексных резонансных частот прямоугольного ЭИ. Ее решение позволяет выяснить структуру поля в резонансной полости и полу чить все важнейшие электродинамические характеристики ЭИ. Зна чения т и п определяют число вариаций поля в х и у направлениях соответственно н описывают собственное ТМтп колебание «резона тора». Комплексная резонансная угловая частота ow, свободных ТМтп колебаний находится из формулы (3.38)
to'L = {V~g + |
k2)/2ер; |
(о“тп = |
(V~g — 62)/2S |A; |
(3.47) |
g = (k y + a 4 + |
2 [(axhx + |
a yhyf |
— (axhy— ayhxf\. |
(3.48) |
Для колебаний TMmо типа, включающих основную ТМ10 моду (ниже будет показано, что ТМ00 колебания для МПА непосредствен ного интереса не представляют), величина ау = 0, и вместо условия (3.48) имеем
Япл = (k y -f а 2 (2hi — 2tiy + а 2), а = a „ m = 0, 1, 2, |
(3.49) |
При а* = ау = 0, что соответствует режиму идеального (неизлу чающего) резонатора, частота свободных ТМтп колебаний ЭИ
ю = <»' = (ер)"17, {[(тя -I- %Х)/Ц* + [{пп + t y)lw\%'h |
(3.50) |
Возбуждение широкой МПЛ коаксиальным фидером. Рассмот рим задачу о возбуждении широкой регулярной МПЛ коаксиальным фидером. Полосковый проводник МПЛ шириной до (w^> d), ориен тированный в направлении оси Ох и расположенный в плоскости г = 0 на подложке, запитывается в точке х0, у0. Коаксиальное воз буждение моделируется возбуждением структуры цилиндрическим штырем небольшого радиуса а с полным сторонним током /„ = = const, текущим по поверхности штыря. Размеры штыря удовлет воряют условию k0d <£ 1.
Полное электрическое поле Е (х, у) = Егег в области | у | -< w/2 под полосковым проводником удовлетворяет неоднородному двух мерному уравнению Гельмгольца с правой частью шр.0/ 06 (х —
— *о) б (У— Уо), где /0 б (х — х0) б {у — у0) — плотность стороннего электрического тока возбудителя. Представим поле Е в виде сум мы падающего (первичного) и отраженного (вторичного) полей, воз никающих вследствие возможных переотражений волн от границ
структуры при \ у\ = до/2. |
|
|
|
|
|
Падающее поле, являющееся частным решением уравнения |
|||||
Гельмгольца для |
бесконечной |
области в виде |
соответствующего |
||
плоскопараллельного волновода (до -> 00) имеет вид |
|
|
|||
оо |
|
|
|
|
|
Е’г = л 0 j |
ехр {— ik0 [а {х — х0) -f £ \ у — у01]) da, |
(3.51) |
|||
где |
|
|
|
|
|
А0 = — (O^ I Q/Ащ |
£2 = е — а 2; |
£ = — i V а 2 — е |
при | а | > |
|/ е. |
|
|
|
|
|
|
(3.52) |
Выражение (3.51) можно интерпретировать как суперпозицию |
|||||
неоднородных плоских волн, распространяющихся |
(при | а | < е) |
||||
или экспоненциально затухающих (при | a J < |
е) в направлении |
||||
оси Оу по обе стороны от точки возбуждения (х0, у0). Неоднород ность волн выражается в наклоне их фазовых фронтов, определя емом углом arctg (а/£) относительно границ у = const полоскового проводника. Падая под этими углами на края структуры, плоская
волна ехр |
(—ik0 [а (х — х0) + |
£| У— Уо И) |
отражается с |
коэф |
фициентом |
отражения Г (а). |
Электрическое |
поле, определяемое |
|
последовательными переотражателями волн от границ \ у \ |
— ш/2, |
|||
можно получить введением в рассмотрение двух дополнительных волн с амплитудами Л и В, имеющих ту же зависимость от х, что и падающая волна, и распространяющихся (или затухающих) в от рицательном и положительном направлениях оси Оу соответственно. В результате полное, поле можно представить в виде
ехр {— ik0а (х — *„)} [ехр {— ik& \ у — у01} +
А ехр [ik0l (у — до/2)} + В ехр {— ik& (у + ш/2)}]. (3.53)
л о