книги / Микрополосковые излучающие и резонансные устройства
..pdfСоставляющие |
тока, на полоске |
|
|||
L (*) = |
«о И — ((Мз + |
92)/2) Т2(и)] (1 — и2)-'и; |
|||
jx(*) = |
(a0a/4n)q3u (1 — H2)v\ |
(2.60) |
|||
|
|||||
где |
|
ри = cos (nx/a); |
ml = 9p2/64; |
||
[ |
|
|
|
M |
|
^12 0 |
“b |
(^/Л д/Л )) |
SfUi |
|
1 Ц (2/71 — 1) |
|
|
M |
|
rtt=l |
|
|
|
|
-1 |
||
|
J6+ 2я/Ц1 5] |
A2m-1.11(2m — l)-1 {(и/я) + |
|||
|
|
m=1 |
|
J |
|
+ n~[In [(4/Л) — (s/4)l P2}; |
|
|
(2.61) |
||
PQ— — ^2p2 |
(2m —• 1) A2m—1,11 ~Ь |
(^x^i2 — ^22) |
Таким образом, решение краевой задачи дает соотношения (2.59) и (2.60). Четные волны структуры определяются с точ ностью р (ра). Параметром малости задачи является величина р = = cos (nAwl2a).
2. СИММЕТРИЧНАЯ ЩЕЛЕВАЯ ЛИНИЯ
Волноводная модель СЩЛ. Симметричная щелевая линия (С1ДЛ) представляет собой узкую щель, вырезанную в бесконечной метал лической плоскости, расположенной на одной из сторон плоско параллельного магнитодиэлектрического слоя, образующего подлож ку СЩЛ (рис. -25, а). Линии электрического поля (при е >- 1) кон
центрируются в подложке, а магнитного поля |
имеют вид эллипсов, |
|
переходящих в кривые типа «седло» (рис. 25, |
б), |
образуя основ |
ную волну СЩЛ, аналогичную волне типа |
Я10 |
прямоугольного |
волновода. Распределение тока в слое на металлических полуплос костях (рис. 25, в) экспоненциальное.
Необходимо отметить, что к настоящему времени не существу ет достаточно точной теории открытой СЩЛ [25], как например, для НПЛ. Рассмотрим приближенные соотношения, поясняющие физи ку работы СЩЛ и пригодные для использования в САПР ПА и резонансных устройствах на ее основе.
Для расчета параметров СЩЛ необходимо знать основные компо ненты электрического и магнитного полей. При wlk 1 напряжение между кромками бесконечно протяженной регулярной щели можно ‘заменить эквивалентным линейным магнитным током. При этом продольную составляющую магнитного поля для любой точки про странства вне щели можно записать в виде уходящей волны [7]:
Нг(г) = АН^ (kr), k? = Л2 + k l
6t
здесь бд — реактивная проводимость в плоскости диафрагмы (х = = 0) со стороны подложки толщины d; Вв — со стороны воздуха.
Для решения уравнения (2.64) введем независимую перемен
ную р = |
\J2ci. При этом необходимо выполнить условия а = Х/2 |
|||||||
и р |
= Х0/А, |
позволяющие определить длину волны в СЩЛ в зави |
||||||
симости |
от |
её параметров. |
|
|
|
|
||
Формула суммарной проводимости в плоскости диафрагмы для |
||||||||
электрической стенки |
(х = ± |
Ь/2) имеет вид [81 |
|
|||||
|
|
y]6v = (а/2Ь) {— v 4- и tg [ndu/Qp — ctg {u/v)\\ 4- |
|
|||||
|
4* P—i |
« е + 1 ) /2 - р г)|п(2/п6) + |
-|- £ |
l o * ( l - / ^ ‘) + |
||||
|
|
|
|
|
|
л=1,2Д.. |
|
|
|
|
|
4 |
М„] sin2 (ябл)/я (ппд)2 |
; |
(2.65) |
||
для |
магнитной стенки |
(х = rfc 6/2) |
|
|
|
|||
|
|
|
r\Bz = p~l |((е - |
1)/2 - |
р2) In (2/зтб) + |
|
||
|
+ |
4 - |
S |
[t)a(l — F~') 4- мп]sin2 (лбп)/п (яяб)3), (2.66) |
||||
|
|
г |
n=v..*/t.v.... |
|
|
|
|
J |
где |
г) = |
120л; 6 = ' w/b; и = |
(е — р2)‘/*; v = (р2— l)v*; |
/%* = II — |
—(bv/2anp)2]4i\ /**rri == [1 — {bu/2anp)2]ifl.
Для действитетьных Fn\ имеем
М„ ={[8 tg rft — p*Fh cth ga] [1 + |
{btanfrXFuX) — и2, |
||
где |
|
|
|
= 2nndFni b |
cth (Fni/eFn) 1 |
||
1+ |
|
J |
|
|
th (FjFni) |
||
Для мнимых Fn| имеем |
|
|
|
Mn = {[«tg r'n— p2 J Fni l2 ctg gn\ 11 + |
(6/2ял)2] |
11Fn\ | l) — u2, |
|
где |
|
|
|
t |
|
ctg (| Fni l/eF„)| |
|
Гп |
4* |
||
2ntid | Fni | 6 |
tg(Fn/l Fni |) j |
||
gn |
|
Волновое сопротивление СЩЛ определим из уравнения энергети
ческого баланса следующим образом [81: |
|
z = Л (Оф/Огр) (л/р) Ар/[— Д (лЛе)], |
(2.67} |
V * r P « 1 + f (ЯД0) Д (%Jb) Д Г 1* |
(2.68) |
где Уф, угр — фазовая и групповая скорости; А (г)£г) 5=5 (пОДрар, —
— (11^ 2)р=р, можно найти из формулы (2.65) при фиксированных значениях е, d, w, b, а и для двух значений р>взятых в окрестности р = А(Д, при котором fjBz = 0.
Результаты расчета зависимости (2.65) и (2.67) для эффективной диэлектрической проницаемости и волнового сопротивления откры той СЩЛ аппроксимированы с точностью до 2 % в работе [7] сле
дующими выражениями при е £ [9,6; 201: |
|
||
для wld £ [0,2; |
1,0] |
|
|
%/Х0= |
0,987 - |
0,483 lg е 4- (w/d) (0,111 — 0,0022е) — |
|
— (0,121 + |
0,094 (w/d) — 0,0032е) lg(100dA0); |
(2.69) |
|
2 = 113,19 — 53,55 lg e + l,25(®/d)(114,59 — 51,88 lge) + |
|
-f 20 (w/d — 0,2)(1 — wjd) —[10,25 — 5 lge 4- (w/d) (2,1 — 1,42 lge) —
— 100dA0]2[0,15 4- 0,23 lge 4- (w/d)(2,07 lge — 0,79)]; (2.70) для w/d £ [0,02; 0, 21:
ЯД0 = 0,923 — 0,448 Ig e + 0,2 w/d — (0,29ш/^4- 0,017) lg(100rfAo); (2.71)
Z = 72,62 — 35,19lg s 4- 50(d/w)(w/d — Q,02)(w/d — 0,1) -|-
4- lg(100ay/d)(44,28 — 19,58 lge) — [0,32 lge — 0,11 4-
4- (w/d) (1,07 lg e 4-1,44)] [11,4 — 6,07.1gs — lOOdAJ2. (2.72)
Следует отметить, что волновое сопротивление СЩЛ определя ется неоднозначно, аналогично определению в теории закрытых волноводов. При выводе формулы (2.67) использовано «энергетичес кое» определение сопротивления. Структура же поля СЩЛ такова, что волновое сопротивление можно определить как' отношение мак симального напряжения в щели к току, текущему в продольном направлении по металлическим полуплоскостям:
Z = U/I. |
(2.73) |
Аналитическое выражение для волнового сопротивления СЩЛ в соответствии с формулой (2.73) приведено в работе [7]:
Z = 296,1 V H ((1 - ей,) [1п(МТ"е,ф — V.) + In vl)- ' , (2.74)
где In у = 0,5772 — постоянная Эйлера.
Определение по формуле (2.74) дает заниженные результаты по сравнению с формулами (2.70) и (2.72) (примерно на 30 %) и лучше соответствует действительности в коротковолновой части санти метрового и миллиметрового диапазонов волн. В дециметровом и длинноволновой части сантиметрового диапазонов методика Кона дает более точное совпадение с экспериментом 17].
Существует более точный и достаточно хорошо разработанный метод частичных областей для расчета параметров экранированной СЩЛ с учетом толщины токонесущих проводников, а также других полосковых линий. Недостатком метода частичных областей явля ется большое время счета на ЭВМ, увеличивающееся с усложнением структуры линии передачи. Поэтому этот метод более пригоден для исследования физических свойств и изучения 1ДЛ сложных попереч ных сечений.
Анализ СЩЛ с проводниками конечной толщины, помещенной
симметрично в экране |
прямоугольного сечения а X Ь, проведен |
в работе [71. Волновое |
сопротивление при этом рассчитывалось по |
формуле (2.73). |
|
Метод ортогонализирующей подстановки (МОП). Рассмотрим обобщенную щелевую структуру, регулярную вдоль оси г. В осно ву анализа положим ИУ первого рода, к которому применим МОП.
Сущность |
МОП состоит в получении тензорной функции Грина |
G (х, х') в |
виде разложения по функциям, образующим полную ор- |
тонормированную систему на отрезке [wlt w%1. Использование МОП позволяет в аналитическом виде получить ДУ и распределение поля на щели (wlt w2).
Краевая задача для |
собственных волн экранированной |
щелевой |
структуры сводится к |
решению векторного ИУ первого рода от |
|
носительно тангенциального электрического поля Et |
на щели |
|
х £ lwit w21 |
|
|
где элементы функции Грина
о о
фт1 (х) = sin (тпх/а)\ <ртг(х) = cos (тпх/а);
Ymij, Ymii — элементы тензоров входных поверхностных адмитансов соответственно областей у ;> 0 и у < 0. Эти области могут содержать как изотропные, так и анизотропные слои.
ИУ (2.75) обладает важной особенностью: интервал интегриро вания и интервал определения уравнения меньше полной ширины
линии передачи. Представление ядра G (х, х') в формуле (2.16) в виде разложения по волноводным модам не позволяет использовать свойство ортогональности тригонометрических функций на от резке [0, а] при решении ИУ (2.75). Введение новых переменных и, v (см. соотношения (2.33), (2.34)) дает возможность получить
разложение G (х, х') по полиномам Чебышева, ортогональным на отрезке [—1, Несовпадающем с областью определения преобразован
н о г о И У . Д л я б о л е е у д о б н о го п р и м е н е н и я |
з а в и с и м о с т е й (2 .3 3 ), |
(2 .3 4 ) и с х о д н о И У п р е о б р а з о в а н о с л е д у ю щ и м о б р а з о м : у л у ч ш е н а |
с х о д и м о с т ь р я д о в в |
G |
(х, |
х ’ ) п у тем |
в ы ч и т а н и я |
и з |
н и х с о о т в е т с т в у ю |
|||
щ и х а с и м п т о т и ч е с к и х |
р я д о в |
и п |
е р е х о д а о т |
ф у н к ц и и |
Е г (х) к |
ее |
|||
п р о и зв о д н о й Ё г (дг). |
Т а к |
к а к |
п р е |
о б р а з о в а н н ы е |
р я д ы |
с х о д я т с я , |
т о |
с у м м и р о в а н и е по т м о ж н о о г р а н и ч и т ь н е к о т о р ы м ч и с л о м М . Т о г д а
|
|
р е ш е н и е у р а в н е н и я (2 .7 5 ) |
|
|
||||||
|
|
Е . <*) -J5- = |
м |
атТ т(и ) (1 |
|
и Г ' 1'; |
||||
- 2.0 |
|
Е , |
- |
|||||||
|
|
|
|
П=1 |
|
|
|
(2.77) |
||
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
||
-2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Е |
М |
|
№ 1Ь,„Т,„(и) (1 - |
« г ,Л. |
|||||
|
|
где Т т |
(и) — |
п о л и н о м ы |
Ч е б ы ш е в а п ер - |
|||||
|
|
в о г о р о д а ; |
а. |
Ьт — н е к о т о р ы е по - |
||||||
a/?iu |
vjiw х/йы |
с т о я н н ы е . |
V I* |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
а |
|
|
В з а в и с и м о с т и о т ч и с л а М с л а - |
|||||||
|
|
га е м ы х в с у м м а х я д р а G (х , х ‘ ) И У |
||||||||
|
|
(2 .7 5 ), к о т о р ы е о п р е д е л я ю т р а з н о с т ь |
||||||||
|
|
м е ж д у д е й с т в и т е л ь н ы м и и а с и м п т о т и |
||||||||
|
|
ч е с к и м и ( п р и /п =*- о о ) ч л е н а м и , м о ж н о |
||||||||
|
|
п о л у ч и т ь р а з л и ч н ы е п о т о ч н о с т и р е |
||||||||
|
|
ш е н и я . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Р а с с м о т р и м П Л с с и м м е т р и ч н ы м |
|||||||
|
|
р а с п о л о ж е н и е м |
щ е л и |
о т н о с и т е л ь н о |
||||||
Рис. 26. Распределение |
состав |
п л о с к о с т и х = а! 2 М О П (р и с . 2 6 , б ). |
||||||||
В э то м с л у ч а е с = 0 и с о б с т в е н н ы е |
||||||||||
ляющих токов в С1ДЛ: |
||||||||||
в о л н ы |
в П Л |
р а с п а д а ю т с я |
н а |
ч е т н ы е |
||||||
а — поперечим*; 0 — продольных |
||||||||||
|
|
и |
н е ч етн ы е . |
Д л я о с н о в н о й |
(ч е т н о й ) |
в о л н ы П Л п о л у ч е н о в т о р о е п р и б л и ж е н и е , т . е . м о ж н о п р е н е б р е ч ь
р а з н о с т ь ю в с у м м а х я д р а G (Зс, х ') м е ж д у д е й с т в и т е л ь н ы м и и а с и м п т о т и ч е с к и м и ч л е н а м и д л я m > 2 (М = 2 ). Д У в э т о м с л у ч а е
|
|
|
2 i (Y022 *+■ У 022) — it3In s -f- (1 — s2)2 Д222 — |
|
|||||||||||
|
|
|
|
- |
s* (1 |
|
- s2)2 (Д222р г + |
Д221p . ) |
= |
0 . |
(2 .7 8 ) |
||||
З д е с ь |
P i |
— |
{ it3 Д221 |
|
t iД222) Д |
; |
p% = |
( ^ з Д г г ! —* ^2^222) ^ |
* |
||||||
|
|
Д221 = |
i КУ221 — |
У 221) tn 1 — |
tfj; |
Д212 = |
Д221 = У ^ 2 . + |
|
|||||||
+ |
У212 — |
t2 * |
Д222 = i [(У ?22 + |
Y222)m — |
|
^ |
= li m { (У т и |
H- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дк><» |
|
-f- |
У ;п п )/Н |
}j |
^2 = |
Jim |
|
{У/я12"|“ |
У/п12}» |
ty |
— lim |
|
{ (У т2 2 ”Ь У/я2?) tri\* |
||||
|
|
|
|
|
mz^oo |
|
|
|
|
як>оо |
|
|
Е х (х) = (а0п/а) I1 — 2s2 (1 — s2) рх — 4 (1 — s2)] р, X
|
X c o s 3 (зтх/а) [s2 — |
c o s 2 { n x fa ) \ ~ '! |
(2.79) |
||
Ег (x) = /2 (а 0п / а ) (1 — |
s2) р.гc o s ( я х /а ) Is2 — |
c o s2 (я х :/а ) 1,/\ (2.80) |
|||
Составляющая |
Ег при |
Дву => 0 |
пропорциональна s, |
т. е. имеет |
|
первый порядок |
малости |
(| Ег | » |
Дw). |
|
|
С о о т н о ш е н и я (2.78) — |
(2.79) д а ю т р е ш е н и е |
к р а е в о й |
з а д а ч и д л я |
ч е т н ы х с о б с т в е н н ы х в о л н Щ Л . Ф о р м у л ы с п р а в е д л и в ы д л я л ю б о й Щ Л с о д н о й щ е л ь ю . Н е о б х о д и м о л и ш ь з н а т ь в ы р а ж е н и я д л я т е н з о р о з п о в е р х н о с т н о г о а д м и т а н с а о б л а с т е й н а д и п о д щ е л ь ю .
Д л я о ц е н к и т о ч н о с т и п о л у ч е н н ы х с о о т н о ш е н и й с р а в н и м ч и с л е н н ы е з н а ч е н и я , п о л у ч е н н ы е с п о м о щ ь ю ф о р м у л ы (2.78), д л я п о с т о я н
н о й р а с п р о с т р а н е н и я h о с н о в н о й в о л н ы |
д в у с т о р о н н е й э к р а н и р о в а н |
|
н ой Щ Л , с р е з у л ь т а т а м и , п о л у ч е н н ы м и , |
н а п р и м е р м е то д о м Б у б |
|
н о в а — Г а л е р к и н а . С р а в н е н и е п о к а з а л о , |
ч то л у ч ш е е с о в п а д е н и е |
|
п о л у ч а е т с я д л я ш и р о к и х щ е л е й . Э то |
с в я з а н о с т ем , ч т о , к о г д а |
Ди> = | ю , — ш 2 1 « а, р а с п р е д е л е н и е п о л я в щ е л и (р и с . 26) б л и з к о
к р а с п р е д е л е н и ю п о л я в с л о и с т о м в о л н о в о д е . Д л я у з к и х щ е л е й д о с т и ж е н и е б о л ь ш е й т о ч н о с т и т р е б у е т б о л ь ш и х М (и н о гд а д о 50).
О д н а к о п р и эт о м п а р а м е т р , по к о т о р о м у м о ж е т б ы т ь р а з л о ж е н о я д р о
G, и м ее т м а л у ю в е л и ч и н у |
Д w/a <£ |
1 и р е ш е н и е |
И У |
м о ж н о |
п р е д с т а |
||||
в и т ь в а н а л и т и ч е с к о м |
в и д е . Р а с ч е т ы |
п о к а з а л и , |
ч т о |
п р и |
Д w/a — О Д |
||||
о т л и ч и е с о с т а в л я е т |
0,5 % . |
(2.78) |
|
|
|
|
|
||
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е |
м о ж н о |
п р и м е н я т ь |
к э к с п о |
||||||
н е н ц и а л ь н о у з к о й щ е л и , |
к о г д а |
К2 |
— |
р, (е + |
l)/(j.i |
+ |
1) |
(Щ Л н а |
|
м л г н и т о д и э л е к т р и ч е с к о й |
п о д л о ж к е ), а т а к ж е к п р я м о у г о л ь н о м у |
||||||||
в о л н о з о д у [321. Э ти м |
м е то д о м м о ж н о |
п о л у ч и т ь |
р а с п р е д е л е н и е т о к о в |
н а э к р а н а х Щ Л .
'Т а к и м о б р а з о м , о п и с а н н ы й в р а б о т е [ I 9 J м е то д , о п и р а ю щ и й с я н а М О П , п о з в о л и л п о с т р о и т ь т е о р и ю ш и р о к о г о к л а с с а э к р а н и р о в а н н ы х Щ Л , с о с т а в л я ю щ и х о с н о в у О И С С В Ч , а т а к ж е э к р а н и р о в а н н ы х П Л д л я О И С . О с о б о е з н а ч е н и е р а з в и т а я т е о р и я и м ее т д л я а н а л и з а с л о ж н ы х м н о г о с л о й н ы х с т р у к т у р с а к т и в н ы м и с л о я м и и а к т и в н ы х э л е м е н т о в с р а с п р е д е л е н н ы м и п а р а м е т р а м и .
С л е д у е т о б р а т и т ь в н и м а н и е н а о с о б е н н о с т и п о л я н а р е б р а х Щ Л , т а к к а к о н о с в я з а н о с. п р и м е н е н и е м п о л и н о м о в Ч е б ы ш е в а д л я р а з л о ж е н и я п о л я и с в и д е т е л ь с т в у е т о н е о б х о д и м о с т и п р е д в а р и т е л ь н о го в ы д е л е н и я о с о б е н н о с т е й п о л я и о б о п т и м а л ь н о с т и п о л и н о м о в Ч е б ы ш ев а д л я э т о й ц е л и . Р е з у л ь т а т ы и с с л е д о в а н и я р е г у л я р н ы х С Щ Л б у д у т и с п о л ь з о в а н ы в д а л ь н е й ш е м п р и а н а л и з е и п р о е к т и р о в а н и и щ е л е в ы х а н т е н н ы х и р е з о н а н с н ы х с т р у к т у р .
Общая методика получения интегральных уравнений относи тельно магнитных или электрических токов содержит два этапа:
1)выражение неизвестных коэффициентов в Фурье-представлении;
2)разложение полей в слоях в ряды по Фурье-трансформантам токов на их границах и подстановка этих коэффициентов в неис
пользованные на первом этапе уравнения граничных условий. Для ОИС первый этап целесообразно проводить отдельно для каждого слоя (поблочно удовлетворяя системе граничных условий [25]), однако и это не гарантирует простоту записи искомых коэффициен тов, С целью дальнейшего упрощения формы записи интегральных уравнений представим каждый слой диэлектрика с нанесенными на его поверхность слоями металла в виде волноводного трансфор матора. Решение задачи о возбуждении такого трансформатора за ключается в поочередном наложении условий короткого замыкания или холостого хода на его входы и нахождении неизвестных коэфициентов через соответствующие электрические или магнитные токи на границах. Повторив эту операцию для каждого слоя и под ставив найденные коэффициенты в граничные условия, не исполь зованные на первом этапе, получим интегральные уравнения отно сительно магнитных и электрических токов:
|
|
|
|
|
(2.81) |
где ЦК (£, 11) I, || Z (С, л) II |
— тензорные |
функции Грина; / |
(х) — |
||
вектор |
магнитных |
токов; |
i — вектор |
электрических токов; |
а —- |
размер |
основания |
экрана. |
|
|
|
Эквивалентная функциональная форма интегральных уравне |
|||||
ний относительно магнитных токов имеет вид |
|
||||
|
|
m i * i H i = i f / |
|
(2.82) |
|
здесь |
| J ||, | / || — векторы-столбцы |
Фурье-трансформанта |
маг |
||
нитных и электрических токов соответственно: |
|
||||
|
|
|
|
(2.83) |
|
|
|
|
|
|
(2.84) |
п = 1, |
2, ..., N — 1; I К | — клеточно-диагональная матрица |
про |
водимостей [25].
Дисперсионное уравнение. Из системы ИУ (2.81) можно непо средственно получить систему ИУ четвертого порядка для НЩЛ. В этом случае матрицей проводимости будет одна клетка | Y || при подстановке в нее размеров слоев и их проницаемостей. Для алгебраизации системы ИУ используют метод Галеркина. Существен ным моментом этого метода является выбор системы базисных функ ций. Как уже отмечалось выше, поверхностные токи в НЩЛ из-за