книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

ρ (Ω(i)) / diam (Ω(i)) ≥ с0 > 0, i = 1, 2, …, Nэл,

равномерно по всем элементам.

На практике удобно вычислять эквивалентные им величины

2mes(Ω(i)) / aibi или 2 mes(Ω(i)) / bici,

где ai ≤bi ≤ci – длины сторон треугольника, а mes (Ω(i)) – его площадь, подсчитанная с помощью определителя, составленного из координат узлов элемента. Идеальным элементом для такого критерия является правильный треугольник. Следует избегать сильно вытянутых треугольных элементов с углом менее 30°.

В трехмерном случае описанные критерии преобразуются к следующему виду:

6mes(Ω(i)) / abc,

где mes(Ω(i)) – объем тетраэдра, а величина abc – наименьшее из произведений длин ребер, исходящих из одной вершины. Идеальным элементом с точки зрания такого критерия является правильный тетраэдр.

Продолжая разговор о разбиении четырехугольной подобласти, заметим, что число узлов на смежных сторонах четырехугольника может быть различным, но на противоположных сторонах узлов должно быть поровну (если только сеть разбиения не измельчается или не укрупняется). В четырехугольной подобласти будет 2 (п – 1) (т – 1) элементов, если на смежных сторонах его фиксировано п и т узлов.

Треугольная и четырехугольная подобласти могут иметь общую границу. Число узлов на этой границе для обеих подобластей должно быть одинаковым и относительное положение узлов должно совпадать. Это требование необходимо для сохранения непрерывности рассматриваемых решений вдоль общей границы элементов.

Применение изложенных идей дискретизации проиллюстрировано на рис. 4.16. Расстояния между узлами вдоль границ четырехугольной зоны изменяются так, чтобы элементы вблизи криволинейной границы были малыми.

Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинаковую форму и размеры, обычно не проводится, потому что существуют концентраторы напряжений, температурные градиенты и т.п. Возможность варьирования размеров конечных элементов – важное достоинство МКЭ. Наиболее простой способ существенного изменения размеров элементов

232

довательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера тела.

Два разных способа нумерации узлов показаны на рис. 4.20.

Ширина полосы

Рис. 4.19. Ширина полосы матрицы системы уравнений. С – ненулевые элементы [9]

Рис. 4.20. Два примера нумерации узлов при разбиении на элементы двумерного тела [9]

Для разбиения, представленного на рис. 4.20, а, величина R – максимальная по элементам величина наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе, равна 3. Тогда ширина полосы для задачи теплопроводности (где в каждом узле отыскивается одна неизвестная величина – одна степень свободы) равна 4, а для задачи упругости (две степени свободы в каждом узле) – 8.

Для разбиения, представленного на рис. 4.20, б, величина R равна 6. Тогда ширина полосы для задачи с одной степенью свободы в узле равна 7, а для задачи упругости (две степени свободы в каждом узле) – 14. Правильная нумерация узлов в этом примере сокращает машинную память почти на 50 %.

235

Прямое построение глобальной матрицы жесткости. Примене-

ние МКЭ приводит к системе линейных алгебраических уравнений, порядок системы совпадает с общим числом неизвестных (число узлов, умноженное на число степеней свободы в каждом узле). Рассмотрим процедуру построения глобальной матрицы жесткости из локальных матриц, полученных для отдельных элементов.

Построение глобальной матрицы из набора локальных называется ансамблированием (конденсацией, сборкой). Рассмотрим метод прямой жесткости [9] на примере двумерной задачи теории упругости. Предположим, что область разбита на 4 линейных треугольных конечных элемента, глобальные номера узлов обозначены арабскими цифрами, локальные номера – i, j, k, арабскими цифрами в кружках обозначены номера элементов (рис. 4.21). В каждом узле определяется вектор перемещений, состоящий из двух компонент, то есть по две степени свободы в каждом узле. Таким образом, необходимо найти 12 неизвестных узловых перемещений, и глобальная матрица будет содержать 12 строк и столбцов. Покажем, как включить локальные матрицы для элементов 1 и 2 в глобальную матрицу.

Рис. 4.21. Область, разбитая на треугольные КЭ (а); матрица соответствие между локальными и глобальными номерами узлов (б)

Пусть локальные матрицы жесткости для элементов 1 и 2 (заметим, что они симметричные, суммы элементов по строкам и по столбцам равны нулю) имеют вид

236

Здесь цифрами сверху и слева обозначены номера глобальных степеней свободы: в первом узле глобальные неизвестные с номерами 1 и 2, во втором – 3 и 4, в третьем – 5 и 6, в четвертом – 7 и 8 и т.д., в п-м узле –

(2п – 1) и 2п.

Глобальная матрица жесткости для четырех треугольных элементов имеет размер 12×12. И компоненты локальной матрицы жесткости разместятся следующим образом: элементы, обведенные овалом в локальной матрице, располагаются на пересечении первой, второй строк и первого, второго столбца в глобальной матрице (блок размером 2× 2 локальной матрицы перемещается в глобальную); элементы, обведенные трапецией в локальной матрице, располагаются на пересечении третьей, четвертой строк и пятого, шестого столбца в глобальной матрице (и на пересечении пятой, шестой строк и третьего, четвертого столбца, так как матрица симметричная) и т.д.:

237

Далее, по аналогичному принципу (блоками 2× 2) размещаем элементы второй локальной матрицы, при этом поскольку узлы 2 и 3 общие для обоих элементов, то есть общие степени свободы 3,4 и 5,6 и соответствующие компоненты (4 блока 2× 2) первой и второй локальных матриц суммируются (выделено пунктиром):

Метод прямой жесткости построения глобальной матрицы значительно сокращает загрузку запоминающих устройств. В частности он исключает необходимость хранения в памяти больших матриц элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов (локальных матриц, «растянутых» до размеров глобальной для простоты их суммирования). Напомним, что число строк и столбцов локальной матрицы равно числу степеней свободы элемента.

Задачи:

1.Найти базисные функции элемента для а) квадратичных и кубических трехмерных серендиповых элементов, б) квадратичных и кубических тетраэдрических элементов.

2.Вычислить локальные разрешающие соотношения для трехмерной стационарной теплопроводности для а) квадратичных и кубических трехмерных серендиповых элементов, б) квадратичных и кубических тетраэдрических элементов.

3.Найти базисные функции элемента для иеррархических а) квадратичных и кубических трехмерных серендиповых элементов, б) квадратичных и кубических тетраэдрических элементов.

4.Вычислить локальные разрешающие соотношения для трехмерной стационарной теплопроводности для иеррархических а) квадратичных

238

и кубических трехмерных серендиповых элементов, б) квадратичных

икубических тетраэдрических элементов.

5.Разбить треугольную область на 16 элементов, пронумеровать узлы и вычислить ширину полосы глобальной матрицы, предполагая наличие двух степеней свободы в каждом узле.

6.Разбить четырехугольник на 24 конечных элемента, используя пять узлов вдоль одной пары сторон и четыре узла вдоль другой пары. Пронумеровать узлы так, чтобы получить минимальное значение величины R.

7.Разбить прямоугольный треугольник примерно на 60 элементов, предварительно выделив две треугольные и одну четырехугольную подобласти. Поместить наименьшие по размеру элементы вблизи прямого угла.

Вопросы для самопроверки

1.КчемуприводиткусочнаяопределенностьбазисныхфункцийвМКЭ?

2.Перечислите основные типы конечных элементов. В чем их различия, где они применяются?

3.Запишите вид функций формы для одномерных линейных, квадратичных кубических элементов, изобразите их графики. Какой смысл коэффициентов в приближенном решении, разложенном по этим функциям?

4.Запишите вид функций формы для иерархических многочленов. Какой смысл коэффициентов в приближенном решении, разложенном по этим функциям? В чем их преимущества перед аппроксимацией полиномами Лагранжа?

5.Для чего используется аппроксимация решения с помощью полиномов Эрмита?

6.Как построить функцию формы второго порядка для прямоугольного элемента лагранжева типа? Запишите функцию формы второго порядка для углового узла; для узла, расположенного в середине стороны; для узла, расположенного в центре элемента.

7.В чем принципиальная разница между функциями формы для элементов лагранжева и серендипова типов?

8.Как построить функцию формы второго порядка для прямоугольного элемента серендипова типа? Запишите функцию формы второго порядка для углового узла; для узла, расположенного в середине стороны.

9.Что такое L-координаты для треугольного конечного элемента?

10.Как построить квадратичные и кубические функции формы на треугольнике с помощью L-координат?

11.Как построить иерархические функции формы для треугольного конечного элемента с помощью L-координат?

239

12.Как построить функции формы лагранжева типа для четырехугольного элемента?

13.Как построить функции формы серендипова типа для четырехугольного элемента?

14.Как вводятся трехмерные L-координаты? Как с их помощью записать функции формы на тетраэдре?

15.Каким образом разбить треугольную или четырехугольную форму на треугольные конечные элементы?

16.Каким критериям должна удовлетворять форма треугольного конечного элемента для обеспечения хорошей обусловленности глобальной матрицы жесткости?

17.Как размер ширины ленты глобальной матрицы жесткости зависит от нумерации узлов конечных элементов в расчетной области?

18.Как на схеме обозначаются закрепленные узлы, узлы на границах симметрии?

19.Опишите процедуру построения глобальной матрицы жесткости

спомощью метода прямой жесткости.

4.3.ОТОБРАЖЕНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

4.3.1. Параметрическое отображение

Высокая степень точности, которая может быть достигнута с помощью элементов высокого порядка, означает, что приемлемая для практических целей точность может быть достигнута при использовании небольшого числа таких элементов. Однако простота форм рассмотренных элементов ограничивает их применение при анализе практических задач, где часто требуется моделировать границы весьма сложного вида. Это ограничение может быть снято, если «отобразить» простой элемент типа прямоугольника в локальной системе координат (ξ , η ) в более сложную область в глобальной системе координат (х, у). Под отображением будем понимать единственное взаимно однозначное соответствие между координатами (ξ , η ) и (х, у).

При вычислении матриц элементов для различных дифференциальных уравнений необходимо найти производные от базисных функций по координатам (х, у). Поскольку базисные функции определены в локальных координатах (ξ , η ), то согласно правилу дифференцирования сложной функции, можно записать [7]

240