книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

при условии, что матрица преобразования Якоби J не вырождена. Кроме того, компоненты матрицы элементов выражаются через ин-

тегралы в координатах (х, у), поэтому полезно перейти к интегралам по локальным координатам (ξ , η ). Для этого элемент площади в глобальных координатах заменяется элементом площади в локальных координатах:

Тогда любой интеграл по четырехугольному элементу

может быть преобразован в интеграл по квадрату:

Весьма удобной формой отображения элемента является его параметрическое отображение, когда зависимость между локальными координатами элемента (ξ , η ) и глобальными координатами (х, у) записывается с использованием интерполяции того же вида, что и применяемая для аппроксимации неизвестной функции θ . Если φle (ξ, η) – базисная функция

для элемента с М + 1 узлами в локальной области, то функции отображения из локальных координат в глобальные можно записать как

x = φe0 (ξ, η)x0 + φ1e (ξ, η)x1 +K+ φeM (ξ, η)xM ,

(4.32)

y = φe0 (ξ, η) y0 + φ1e (ξ, η) y1 +K+ φeM (ξ, η) yM .

241

Здесь (xl, yl) – глобальные координаты точки, в которую требуется отобразить узел l в плоскости (ξ , η ).

Если отображение элемента и аппроксимация функции θ на элементе определяются одними и теми же базисными функциями, то отображение называется изопараметрическим. В общем случае отображение может производиться с использованием только специально выбранных базисных функций элемента. В общем случае при отображении квадратного элемента достаточно использовать только четыре или восемь узлов. В первом случае получается элемент с прямолинейными сторонами, во втором – со сторонами в виде произвольных парабол.

Следует следить, чтобы параметрическое отображение не вырождалось, т.е. J ≠ 0, что происходит, если внутренний угол четырехугольника больше 180° или если при использовании квадратичного отображения расстояние между центральным и угловыми узлами меньше трети длины стороны четырехугольника.

Параметрическое отображение применяется также и для треугольных элементов, а также для трехмерных элементов.

Коротко отметим здесь принципиальные различия при дифференцировании базисных функций треугольных элементов, записанных в L-коорди- натах, по сравнению с четырехугольными элементами.

При дифференцировании по L-координатам следует учесть, что только две из них являются независимыми (см. (4.213)). Пусть L1, L2 – независимые координаты, тогда

242

Учтем, что L3 =1− L2 − L1 , тогда

Пример [9]. Для базисной функции φ4 = 4L2 L3 треугольного элемента, координаты вершин которого в системе (х, у): (0, 0), (3, 2), (1, 6), вы-

числить ∂ φ4 .

∂ x

Связь между координатами (х, у) и L-координатами выражается через координаты узлов треугольного элемента:

x = L1x1 + L2 x2 + L3 x3 = L1 0 + L2 3 + L3 1 = 3L2 + L3 ,

y = L1 y1 + L2 y2 + L3 y3 = L1 0 + L2 2 + L3 6 = 2L2 + 6L3.

Тогда

Вычислим якобиан преобразования и обратный якобиан:

Производные базисной функции от L-координат согласно (4.36)

Следовательно, производные по глобальным координатам (х, у) вычислим с использованием соотношения (4.35)

243

=3 L − 1 L .

∂y 4 2 4 3

4.3.2.Субпараметрические, изопараметрические

исуперпараметрические элементы

Спонятием параметрического отображения тесно связано деление элементов на субпараметрические, изопараметрические и суперпараметрические [9].

В предыдущем разделе введено понятие параметрического отображения как преобразование глобальных координат в локальные с помощью базисных функций (функций формы), используемых для интерполяции приближенного решения. Таким образом, имеем два независимых множества узлов. Одно множество узлов определяет преобразование координат (геометрическую форму элемента), а второе множество – интерполяционный полином (аппроксимирующий искомую функцию).

Так как функция, описывающая преобразование координат, не должна совпадать по порядку с интерполяционной функцией, то можно описывать геометрию элемента независимо от аппроксимации неизвестной величины. Это позволяет сочетать как интерпояционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрии, так и элементы сложной формы

спростыми интерполяционными полиномами.∂ φ

Возможны три варианта соотношения между числами узлов в этих двух множествах:

1. Число узлов, используемых для определения формы элемента, меньше числа узлов, используемых при определении интерполяционного полинома искомой функции. В этом случае элемент является субпараметрическим (форма элемента простая, а искомая функция аппроксимируется полиномами высокой степени). Субпараметрические элементы преобладают там, где используются комплекс-элементы и нет необходи-

244

мости искажения формы элемента (область с прямыми границами). Примерами субпараметрических элементов могут служить треугольные и четырехугольные конечные элементы с прямолинейными сторонами, на которых строятся квадратичные и кубические функции формы (рис. 4.2, б, в;

4.5, а, б; 4.11, б, в; 4.12, а, б).

2.Число узлов, определяющих форму элемента равно числу узлов, определяющих интерполяционную функцию. Такие элементы называются изопараметрическими. Примерами могут служить треугольные и четырехугольные конечные элементы с прямолинейными сторонами с линейными (билинейными) интерполяционными функциями (рис. 4.2, а, 4.11, а).

3.Число узлов, используемых для задания формы элемента, больше числа узлов, используемых для определения интерполяционной функции. Это суперпараметрические элементы. Суперпараметрические элементы применяются в двумерных и трехмерных задачах, если расчетная область имеет сложные искривленные границы, при этом приближенное решение ищется в виде разложения по линейным базисным функциям.

Однако применение суперпараметрических элементов имеет ряд недостатков. В частности, локальные матрицы в этом случае определяются

спомощью численного интегрирования (компоненты матрицы градиентов зависят от координат). Кроме того, необходимо очень аккуратно вводить обозначения узлов, так как такой элемент может содержать до 30 узлов, их локальные номера неудобно обозначать i, j, k, l,…и поэтому используются числовые значения. В случае двумерных элементов нумерация начинается в произвольной точке и соответствует обходу против часовой стрелки.

Для упрощения ввода данных и повышения эффективности вычислений следует использовать в соотношениях преобразования глобальных координат в локальные возможно простые функции формы. Если элемент ограничен прямолинейными сторонами, то для описания преобразований координат достаточно линейных функций формы.

4.3.3. Численное интегрирование

При получении матриц элементов для элементов высших степеней возрастает сложность подынтегральных выражений, что делает алгебраические выкладки весьма громоздкими. Если, кроме того, используются отображения области, изменяющие ее форму, то для вычисления производных требуется обращение матриц Якоби (4.29) и интегралы становятся очень сложными, вычислить их точно почти невозможно. В таких случаях используют формулы численного интегрирования, при

245

которых стандартный интеграл вида (4.31) заменяется квадратурной суммой [7].

При построении таких квадратурных сумм на одно-, дву- и трехмерных областях используется простое суммирование значений подынтегрального выражения, вычисленного в n + 1 специальных точках области (узлах) и умноженных на соответствующие веса.

Квадратурные формулы Гаусса в случае одной переменной. Идея метода заключается в том, что координаты точек интегрирования и веса находятся таким образом, чтобы аппроксимация давала точное значение интеграла каждый раз, когда подынтегральная функция – полином степени m, где m (≥ n) также подлежит определению.

На заданной сетке Ωn построим точную квадратурную формулу

Эти соотношения можно рассматривать как систему (m + 1) нелинейных алгебраических уравнений относительно (2n + 2) неизвестных C0 , C1, C2 , ...Cn , x0 , x1, x2 , ...xn . Для разрешимости этой системы уравнений

246

число уравнений должно быть равно числу неизвестных m + 1 = 2n + 2, откуда m = 2n + 1.

Таким образом, нужно выбрать такую сетку Ωn, содержащую n + 1

Пример 1. На отрезке [– 1; 1] построить сетку, содержащую один узел x0 и определить коэффициент C0 для интегрирования полинома степени m = 2n + 1 = 1.

Учитывая, что n = 0, а = –1, b = 1, из (4.38) получим систему

Как и следовало ожидать, узловая точка интегрирования попала в центр интервала интегрирования.

Пример 2. На отрезке [– 1; 1] построить сетку, содержащую два узла x0 и x1 определить коэффициенты C0, C1 для интегрирования полинома степени m = 2n + 1 = 3.

Опять учтем, что n = 1, а = –1, b = 1, из (4.38) получим систему

247

Из оставшегося уравнения определяем точки интегрирования:

Окончательно получаем формулу для точного вычисления интеграла от кубического полинома:

Аналогично для n = 2 можно найти узлы сетки и весовые коэффициенты для точного интегрирования полинома степени m = 2n + 1 = 5:

248

Тогда квадратурная формула Гаусса для точного интегрирования полинома пятой степени по трем узлам имеет вид

Значения координат узлов (точек интегрирования) и соответствующих весовых коэффициентов в формулах Гаусса для достаточно больших п приводятся во многих книгах по численному анализу и МКЭ

(табл. 4.1).

Таблица 4 . 1

Координаты узлов и весовые коэффициенты для квадратур Гаусса [9]

В литературе рассматривается много других квадратурных формул, но в МКЭ особенно удобны квадратурные формулы Гаусса, так как для их реализации требуется наименьшее число вычислений для точного нахождения интегралов от многочленов.

Квадратурные формулы Гаусса в случае двух и трех переменных.

В случае двух переменных приходится вычислять двойной интеграл:

1 1

I = ∫ ∫ f (ξ, η) dξdη.

−1 −1

Так как интегрирование проводится по квадрату, то простейшим подходом будет осуществление численного интегрирования независимо от ξ и η . Таким образом, начиная с вычисления внутреннего интеграла и используя формулу(4.37), получим

249

И окончательно получаем аппроксимацию

в которой координаты узлов (ξk , ηj ) определяются аналогично табл. 1.

Если формулы интегрирования точны отдельно по ξ и η для полинома степени m, то выражение (4.39) будет давать точные значения для всех выражений вида ξm1 ηm2 , m1, m2 ≤m . Стандартные квадратурные правила иллюстрируются на рис. 4.22.

Рис. 4.22. Схема узлов квадратур Гаусса для четырехугольника [8]

Очевидное обобщение этих формул на трехмерный случай:

Координаты узлов и весовые коэффициенты для треугольных элементов приведены в табл. 4.2 [3, 8, 9].

Возможно обобщение на трехмерный случай. Правила для интегрирования по тетраэдрам приведены в табл. 4.3 [3, 8, 9].

250