книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

Теоретически рассчитано, что для сдвига одной части кристалла относительно другой в бездефектном кристалле необходимо приложить касательное усилие, большее µ / 2π, где µ– модуль сдвига. При наличии же краевой дислокации достаточно приложения существенно меньшего напряжения (Пайерлса) τ * = 10–5…10–4 µ для незначительного смещения

атомов в ядре дислокации, в результате которого «перекидываются» атомные связи и происходит скольжение краевой дислокации, реализующее пластический сдвиг одного блока кристалла относительно другого. Эта схема объясняет исключительную роль именно краевых дислокаций в процессе неупругого деформирования твердых тел. Поскольку существует силовой порог (аналог «сухого трения»), который необходимо преодолеть, для того чтобы «сдвинуть» дислокацию, движение дислокаций диссипативно и деформирование вследствие движения даже одной дислокации является необратимым.

При пластическом деформировании за счет аннигиляции и образования новых дислокаций меняется собственная энергия ансамбля дислокаций, за счет движения дислокаций меняется энергия их взаимодействия. То есть интенсивно деформируемый кристалл с ансамблем взаимодействующих дислокаций представляет собой довольно сложную термодинамическую систему, которая содержит различные каналы диссипации подводимой энергии деформирования. В результате сложных внутренних процессов в пластически деформируемом кристалле образуются дислокационные структуры, которые в зависимости от условий нагружения проходят несколько стадий – от хаотической равномерно распределенной, затем – структуры хаотических скоплений дислокаций разных знаков (клубков, жгутов, кос) до трехмерной ячеистой структуры. Примером дислокационной структуры, возникшей при циклическом деформировании, является устойчивая полоса скольжения, содержащая двумерные структуры – мультипольные дислокационные стенки (рис. 3.5).

В реальных металлах с гранецентрированной кубической решеткой краевые дислокации, как правило, наблюдаются в сочетании с поверхностными дефектами упаковки. Длина вектора Бюргерса краевой дислокации не может быть меньше межатомного расстояния, иначе после скольжения дислокации не будет восстановлена правильная структура кристалла. Если же вдоль части АА′ плоскости скольжения совершить сдвиг на вектор b′, меньший вектора b решетки, то линия А (рис. 3.6, а) будет границей области, по которой прошел сдвиг b, а линия А′ – границей сдвига b′. На линии А получается скачок вектора сдвига b′′ = b – b′ и дислокация с вектором Бюргерса b расщепляется на две частичные дис-

181

локации с векторами Бюргерса b′ и b′′. В кристалле на полосе АА′ нарушается правильная укладка структуры. Укладка атомов при этом может и отличаться от равновесной, но существуют величины сдвигов b′ и b′′, обеспечивающие минимум энергии в кристалле с локальным нарушением укладки. Такие поверхностные дефекты называются дефектами упаковки. Энергия дефекта упаковки является фундаментальной характеристикой кристалла, меняющейся от десятков до сотен миллиджоулей на квадратный метр. Соответственно изменяется ширина расщепленных дислокаций, обратно пропорциональная энергии дефекта упаковки, от десятков до долей нанометров.

Рис. 3.5. Геометрическая модель структуры идеальной устойчивой полосы скольжения (а) и микрофотография (просвечивающая электронная микроскопия) структуры с мультипольными стенками (б)

Дислокационными реакциями называются перестройки дефектной структуры кристалла, в результате которых одна или несколько дислокаций с векторами Бюргерса b1, b2, … превращаются в другие дислокации с векторами Бюргерса b1′, b2′, …. Полный вектор Бюргерса в результате реакций сохраняется. Примером реакции является аннигиляция дислокаций противоположных знаков. Другой простейшей реакцией является расщепление полной дислокации на частичные. В кристалле с гранецентрированной кубической решеткой происходят простые реакции дисло-

182

угольник: b1 + b2 → b3. Если же в реакции участвуют расщепленные дислокации, то в результате реакции возникает прочный барьер ЛомераКоттрелла, блокирующий обе пересекающиеся плоскости скольжения (рис. 3.6, в). Эти барьеры играют большую роль в образовании прочных структур при множественном скольжении.

Рис. 3.6. Показаны расщепленная дислокация (а) и реакции между дислокациями из пересекающихся плоскостей (б, в)

Рассмотрим плоскую модель, описывающую самоорганизацию дислокаций с помощью техники клеточных автоматов, построенную для дислокаций трех равнонаклоненных систем скольжения. Область моделирования,

вдальнейшем называемая ячейкой, разбивается на большое количество одинаковых клеток (сторона ячейки содержит несколько сотен клеток). Время идет дискретными шагами. Рассматриваются прямолинейные краевые дислокации, бесконечно протяженные в третьем направлении. Все дислокации могут быть либо расщепленными, либо полными. Если дислокации расщеплены, то в результате дислокационных реакций появляются барьеры,

впротивном случае – другие нерасщепленные дислокации. Переползание расщепленных дислокаций невозможно. На плоскости моделирования дислокации представлены своими следами. Клетка может быть занята дислокацией любой из трех систем скольжения любого знака, источником дислокаций или барьером (рис. 3.7); клетка обладает симметрией 3-го порядка. Для этого идеально подходят равносторонние шестиугольники (рис. 3.8, а).

Рис. 3.7. Возможные состояния клетки: а – пустая клетка; б, в – положительная

иотрицательная полные краевые дислокации; г, д – положительная и отрицательная расщепленные краевые дислокации; е – дислокационный барьер, перекрывающий соответствующие плоскости скольжения; ж – источник дислокаций из некоторой плоскости скольжения

183

скоординатами {x, y} из наклонной плоскости за счет взаимодействия

сдислокацией из начала координат горизонтальной системы скольжения;

α – угол наклона нормали наклонной системы к вертикали. Сила, действующая на выбранную дислокацию, определяется с помощью окрестности дальнодействия.

Рис. 3.9. Окрестность дальнодействия выбранной дислокации, находящейся в центре окрестности, показана толстой черной линией. Выделена дислокация, попадающая в окрестность

Рис. 3.10. Схема движения краевой дислокации произвольной плоскости залегания: а – скольжение; б – переползание

Окрестность дальнодействия имеет форму правильного шестиугольника (рис. 3.9) – в нее попадают все рассматриваемые дислокации или их образы, кроме образов выбранной дислокации. Равнодействующая сила взаимодействия с дислокациями складывается с однородной приложенной внешней нагрузкой. По найденным величинам напряжений и пороговому закону дислокациям приписывается состояние движения. Скольжение и переползание (рис. 3.10, а–б) дислокаций реализуется независимо

185

в отдельных проходах по консервативной схеме, обеспечивающей сохранение субстанции, с использованием локальной окрестности.

Скольжение дислокаций разных систем на каждой итерации происходит одновременно и реализуется с помощью трехклеточной локальной окрестности за четыре прохода (рис. 3.11, а–г). На каждом проходе перебираются поочередно все объекты (дислокации, источники, барьеры) и окружаются, в зависимости от номера прохода, соответствующей окрестностью (темные клетки на рис. 3.11). Видно, что окрестности с разных проходов перекрываются (например, окрестности из первого прохода по полю автомата на рис. 3.11, а и окрестности второго прохода на рис. 3.11, б) – это необходимо для того, чтобы все дислокации со статусом движения (например, рис. 3.12, б) могли сдвинуться после всех четырех проходов.

Рис. 3.11. Пример формирования окрестностей отдельных дислокаций в четырех проходах по полю автомата для реализации скольжения краевых дислокаций

Рис. 3.12. Основные правила для скольжения: а – свободное скольжение дислокации; б – отложенное скольжение; в – аннигиляция; г и д – реакция дислокаций (в случае расщепленных дислокаций образуется барьер соответствующей системы скольжения); е – остановка дислокации при встрече барьера, источника или дислокации, реакция с которой невозможна. Правила инвариантны относительно одновременной смены знаков у объектов в клетках, отражения относительно вертикальной оси (движение в противоположном направлении) и поворота на ±120° (другие системы скольжения)

186

Второй проход отличается от первого смещением окрестностей на одну клетку по горизонтали, то есть ситуация рис. 3.12, б первого прохода на втором будет соответствовать ситуации рис. 3.12, а. Третий и четвертый проходы отличаются от первого и второго соответственно смещением на одну клетку по вертикали. Окрестности в течение каждого прохода не перекрываются, что обеспечивает консервативность субстанции при движении. Полагается, что реакция двух дислокаций разных систем происходит только в том случае, когда сумма векторов Бюргерса реагирующих дислокаций принадлежит третьей системе. При взаимодействии нерасщепленных дислокаций в результате реакции появляется новая нерасщепленная дислокация, расщепленных – дислокационный барьер.

Реализация переползания проводится по очереди для разных систем скольжения с помощью двухклеточной окрестности в два (четный и нечетный) прохода (рис. 3.13, а–б), обеспечивающих консервативность движения. Темным цветом показан способ выбора окрестности для одной и той же дислокации для проходов разной четности. В расчетах перебираются все дислокации и в зависимости от прохода и положения текущей дислокации, выбирается окрестность. Правила для переползания дислокаций приведены на рис. 3.14. Аннигиляции и дислокационных реакций при переползании не происходит.

Рис. 3.13. Два прохода, реализующих переползание дислокаций одной из систем

Рис. 3.14. Правила для переползания дислокаций:

а– свободное движение; б – отложенное движение;

в– остановка

187

После реализации движения всех дислокаций управление передается блоку размножения дислокаций. Последнее происходит в однородно распределенных по области моделирования источниках Франка-Рида в том случае, когда результирующая сила в источнике превышает сумму порога активации источника и сопротивления Пайерлса τ *b. В этом случае

в плоскости залегания источника справа и слева от него выбрасывается пара дислокаций противоположных знаков, принадлежащих той же системе скольжения: положительная дислокация в направлении действия силы, отрицательная – в противоположном направлении. Положение и количество источников в ходе процесса не меняется. При определении дальнодействующих напряжений источники воспринимаются как дислокации соответствующих систем скольжения. В близкодействии по локальным правилам источники являются препятствиями для движения дислокаций.

После размножения перебираются дислокационные барьеры (если дислокации расщеплены) и проверяются усилия в них. Если усилие в барьере достаточно велико (например, от скопления дислокаций, запертых барьером), то частичные дислокации барьера из вторичных систем поджимаются к головной дислокации и барьер схлопывается в нерасщепленную дислокацию, которая может переместиться на следующей итерации движения, после чего она вновь расщепляется.

Скольжение отдельной дислокации из какой-либо клетки в соседнюю вызывает единичное приращение пластической деформации. В силу периодических граничных условий в результате скольжения одиночная дислокация, возвращаясь в свое начальное положение, пересекает прямоугольник, соответствующийееплоскостискольжения(рис. 3.15). Еслирассматриваются

Рис. 3.15. Прямоугольные ячейки периодичности различных систем скольжения (изображены толстыми черными линиями)

188

дислокации только одной системы скольжения, то представление области моделирования шестиугольником эквивалентно представлению области соответствующим этой системе прямоугольником (как было в динамической модели). Шестиугольная форма ячейки дает единое представление области

Сдвиговая деформация от скольжения на одну клетку одной дислокации

где l – расстояние между центрами соседних клеток из одного слоя, N – количество клеток на большей стороне шестиугольника. Тензор осредненных пластических деформаций

где k – номер системы скольжения; mk – единичный вектор, направленный вдоль линии скольжения; nk – единичный вектор нормали к линии скольжения; γ k – суммарный пластический сдвиг по k-й системе. Изменение объема в результате переползания дислокаций не учитывается.

Принимается гипотеза аддитивности однородных упругих и осредненных по области пластических деформаций ε = ε el + ε pl. Это соответствует структурной схеме материала в виде последовательного соединения двумерного упругого и двумерного пластического элементов. В плоском случае это можно представить заключением пластического элемента в упругую матрицу (при параллельном соединении пластический элемент помещается на упругую подложку). Упругий элемент моделирует кристаллическую решетку. Пластические деформации определяются модулем клеточных автоматов.

При мягком нагружении образца изменяются растягивающие и касательное компоненты σ хх(t), σ уу(t) и τ ху(t) тензора внешних напряжений. В соответствии со значениями напряжений на текущей итерации изменяется конфигурация дислокаций и пересчитывается суммарная (упругопластическая) деформация образца. При жестком нагружении наклады-

189

Изменение отклика, то есть напряжения, снимаемого в упругом элементе после изменения пластической составляющей полной деформации за счет движения дислокаций, определяется итерационно из самосогласованного уравнения:

где тензор четвертого ранга C определяет линейно-упругие свойства решетки. Решая итерационно уравнение (3.3), можно построить диаграмму деформирования при нагружении по любой двумерной траектории в пространстве деформаций. Приращение пластической составляющей полной деформации определяется по текущей итерации в модели клеточных автоматов.

Вычислительный эксперимент позволил описать образование и развитие дислокационной структуры (микроуровень) в материале и одновременно построить диаграмму деформирования этого материала (макроуровень). При нагружении по окружности в пространстве деформаций (непропорциональное циклическое деформирование) материала с высокой энергией дефекта упаковки, которой соответствуют нерасщепленные дислокации, после трех циклов была получена дислокационная структура, состоящая из наклонных мультипольных стенок (рис. 3.16, а).

Рис. 3.16. Дислокационные структуры при непропорциональном деформировании в материале (а) с высокой; (б) с низкой энергией дефекта упаковки

Для низкой величины энергии дефекта упаковки структура состоит из множества планарных скоплений дислокаций, запертых дислокационными барьерами (рис. 3.16, б). На диаграммах нагружения моменты образования

190