книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

члены разложения с третьей и выше степенями γ дают пренебрежимо малый вклад в выражения для компонент σ 12 (γ ) и σ 21 (γ ) . Дадим оценку

Для сдвига на величину γ = 0,1 и числа атомов N =12 на ребре исходного куба от слагаемого третьего порядка получим добавку 932,389β / a3 к значению компоненты σ 12 и добавку 932,153β / a3 к значению компоненты σ 21 . Относительное различие в полученных значениях составит примерно 1,72 × 10−3 % . Для величины сдвига γ = 0,05 разли-

чие будет значительно меньшим. Таким образом, отклонение тензора напряжений от симметричного вида для монокристалла с ГЦК-решеткой в условиях малых упругих деформаций мало, определяется членами ряда с более высокими степенями параметра сдвига γ и зависит от величины γ . Упругий закон при этом оказывается нелинейным.

приведены на рис. 2.7. Для C1G12 (N ) и C2G12 (N ) было проверено, что они

не сводятся к таким, не имеющим горизонтальной асимптоты функциям, как логарифмическая и степенная функция с меньшим единицы положительным показателем. Окончательно зависимости искались в классе функций f (x) = a(x − x0 )k + b . Методом наименьших квадратов получены

121

то есть кривые на рис. 2.7 являются ветвями гипербол с центрами в точ-

Рис. 2.7. Зависимость числовых коэффициентов C1G12 (N ) и C2G12 (N ) от количества атомов N

Для модулей более высокого порядка получены аналогичные выражения, причем все числовые коэффициенты, вычисленные для различных значений N, ложатся на ветви подобных гипербол с центрами в точках с абсциссами из интервала (−0.47;−0.40) . Выражения для остальных мо-

дулей не приведены.

В упрощенном случае, когда принимается приближенное равенство периода решетки и параметра потенциала a ≈ α , графики полученных за-

жителей приведены на рис. 2.8, а. Относительное несовпадение этих компонент в зависимости от величины сдвига показано на рис. 2.8, б. Как видно из полученных результатов, относительное различие между недиагональными компонентами тензора напряжений σ 12 (γ ) и σ 21 (γ ) в опыте

122

на простой сдвиг ГЦК-монокристалла при упругом деформировании составляет менее одной сотой процента и им можно пренебречь. Поэтому можно говорить только об одном модуле сдвига ГЦК-материалов G = G12 = G21 . Другие анизотропные модули C1111 и C1122 определяются

в опыте на чистое растяжение-сжатие.

в степенные ряды справедливы только в окрестности ноля. Точное выражение для этих компонент, применимое для произвольных значений параметра сдвига γ , хотя и выведено, но не может быть представлено в полном виде. Использование пакета символьных вычислений позволяет представить зависимость для него в графическом виде (например, на рис. 2.9 приведен график для случая N =12 ).

Отметим еще одну особенность проводимых вычислений. При определении напряжений на гранях исходного недеформированного куба все касательные напряжения оказываются нулевыми, а нормальные совпадают между собой и выражаются через параметры потенциала α, β и параметр решетки a. Можно потребовать, чтобы эти напряжения также были равны нулю, что будет соответствовать получению естественного ненапряженного начального состояния. Из этого требования выводится однозначная связь параметров решетки a и потенциала α (рис. 2.10). То есть

123

То что период ГЦК-решетки a оказался больше, чем параметр по-

тенциала α равновесного расстояния для изолированной пары атомов, объясняется строением ГЦК-кристалла, на гранях элементарных ячеек которого расположены дополнительные атомы, «раздвигающие» атомы, лежащие в вершинах ячеек. Для простой кубической решетки период a

будет меньше, чем параметр α – в аналогичных расчетах получено значение a = 0,9561α , для ОЦК-решетки получена связь a =1,1251α .

Исследуем вопрос об однородности поля напряжений в изучаемом объеме атомов. Рассмотрим начальную конфигурацию монокристаллического куба для случаев с различным числом атомов N на ребре. Период решетки a в зависимости от N берется различным согласно соотношению (2.36), чтобы обеспечить нулевые напряжения на поверхности куба. Для полученной (отсчетной) конфигурации строится набор сечений по атомным плоскостям, параллельным граням куба. Часть атомов, отделенных от тела проведенным сечением, отбрасывается, а ее влияние заменяется эквивалентными ей компенсирующими силами. В каждом таком сечении вычисляется вектор напряжений. Для этого находится сумма всех сил, действовавших на атомы сечения со стороны всех отброшенных атомов тела, и делится на площадь сечения. Показано, что получаемый вектор напряжений в рассматриваемой (отсчетной) конфигурации всегда направлен строго по нормали к сечению. Получена зависимость единственной ненулевой компоненты вектора напряжений от положения сечения в объеме куба. Для примера приводятся результаты для правой боковой

и образовать пленку с большей плотностью, чем у материала в объеме. Максимальное значение найденной компоненты тензора напряжений, достигаемое на второй от поверхности атомной плоскости, зависит от числа атомов N (рис. 2.11, б) и описывается зависимостью

σ max = (− + − −1,001 ) β α −3 Σ

ii (N ) 0, 463 1,004(N 0,179) , .

i

Задача отыскания неоднородного вблизи свободной поверхности распределения атомных слоев и определения энергии поверхностного натяжения не решалась, эти вопросы предлагаются для самостоятельного исследо-

125

вания. Заметим, что поверхностная энергия будет зависеть от размеров тела, что косвенно подтверждается приведенной зависимостью σ iimax (N ) .

а б

Рис. 2.11. Изменение напряжений по длине образца:

а – распределение значений σ 11 по длине образца при N = 50;

б – зависимость пикового значения σ ii= σ 11 , Σ от числа атомов N

i

При реализации простого сдвига распределение значений нормальных компонент σ ii тензора напряжений Коши не меняется. На рис. 2.12 приве-

дена зависимость значений касательных напряжений σ 12 , определяемых на

внешней грани тела в опыте на простой сдвиг на величину γ = 10−5 , от числа атомных слоев k, взаимодействие с которыми учитывается при расчете σ 12 (k откладывается от поверхности в объем тела). Таким образом, получаемое напряженное состояние можно считать однородным.

Рис. 2.12. Касательные напряжения по длине образца ( γ = 10−5 , N = 50 ):

а– зависимость σ 12 от числа слоев k, используемых в расчете;

б– относительное отклонение σ 12 (k ) от значения σ 12 (N− 1)

126

Итак, параметр потенциала α Леннард-Джонса для моноатомных кристаллов с бездефектной ГЦК-решеткой выражается как

При этом модуль сдвига G = 66, 4548β / α 3 согласно (2.35), следова-

тельно, второй параметр потенциала Леннард-Джонса β находится по формуле

Для меди ( aCu = 0,3615 × 10−9 (м), GCu = 4,55 × 1010 (Па)) с использо-

ванием формул (2.37) и (2.38) получим значения параметров потенциала Леннард-Джонса

Приведенные соотношения позволяют найти зависимость упругих модулей кристалла от числа атомов N на ребре исследуемого объема или при известном периоде решетки a от размеров образца L = Na . Графи-

ческое представление зависимости модуля сдвига и периода решетки от числа атомов N для меди приведено на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Зависимость от числа атомов N на ребре куба: а – модуля сдвига меди; б – периода решетки меди

Вычисления с найденными параметрами потенциала показывают, что модуль сдвига для образца меди с размером 1 см равен G1smCu = 4,54× 1010 (Па), для образца с размером 1 мкм – G1Cum = 4,53× 1010 (Па), с размером 100 нм – G100Cu nm = 4,51× 1010 (Па), с размером 10 нм –

127

= 4, 28 × 1010 (Па). Оказалось, что с уменьшением размеров моно-

кристалла его модуль сдвига также уменьшается, и существует такой “переходный” размер образца (рис. 2.13, а), что при дальнейшем сокращении размеров тела падение модуля происходит очень быстро. С уменьшением размеров тела равновесное межатомное расстояние растет, следовательно, уменьшается плотность частиц с ГЦК-решеткой ( ρ (N )= 4ma / (a(N ))3 , где ma – масса атома).

Чистое растяжение-сжатие монокристалла. Далее исследуется поведение материала в опыте на чистое растяжение-сжатие исходного объема с ГЦК-решеткой (рис. 2.14) при сохранении размеров в двух других направлениях (ортогональных оси растяжения-сжатия). Пусть m – единичный вектор, задающий направление оси растяжения-сжатия (для деформации, показанной на рис. 2.14, m = {1,0,0}). Деформационный гра-

диент, описывающий соответствующую деформацию с кратностью удлинения λ , имеет вид F = E + (λ − 1)mm .

Рассмотрим верхнюю, переднюю и правую боковую грани куба, задаваемые соответственно нормалями NUp = {0,1,0}, NFr = {0,0,1}, NR = {1,0,0}

в отсчетной конфигурации. Площадь правой боковой грани при описанном деформировании не меняется и равна N 2a2 . Площади деформируемых (верхней и передней) граней равны между собой и меняются согласно соот-

J = det F = λ ; dS – площадь грани до деформирования, dsˆ – площадь грани после деформирования. Для верхней и передней граней получим одина-

nR = NR = {1,0,0} .

Для нахождения матрицы компонент тензора напряжений Коши σ ij в приведенном на рис. 2.14 базисе кристаллографической системы

координат используется соотношение Коши nˆ σΓ = tnˆ Γ . Записывая это

соотношение для верхней, передней и правой боковой граней, в рассматриваемом случае получим выражения для компонент этого тен-

зора: σ 11(γ ) = (tR )1 , σ 12 (γ ) = (tR )2 , σ 13= (tR )3 , σ 21(γ )= (tUp )1 , σ 22 (γ )= (tUp )2 ,

128

в табл. 2.5–2.9). Для коэффициентов степенного ряда (упругих модулей) рассматриваемых компоненттензоранапряженийвводятсяобозначения вида

130