книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

Определение 3.

Пусть функционал F: Y → R и Φ (t) = F [y0 + t h] – функция вещественной переменной. Если существует производная

то эта производная называется слабой вариацией или просто вариацией функционала F в точке y0 и обозначается δ V(y0, h).

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Пусть y0 Y – точка экстремума функционала F(y) и существует слабая вариация δ F(y0). Тогда δ F(y0) = 0.

Определение 4.

Квадратичный функционал F(u) = (Lu, u) – 2 (u, f) для положительно определенного оператора L называется функционалом энергии.

Теорема 2. Чтобы элемент u0 D(L) из области определения оператора L доставлял минимум функционалу энергии, необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению Эйлера Lu0 = f (причем такой элемент будет единственным).

Таким образом, для определенного класса операторов задача минимизации функционала и задача решения уравнения Lu = f эквивалентны. Для положительно определенного оператора задача о минимуме функционала энергии всегда имеет решение.

Для каждого положительно-определенного оператора можно ввести энергетическое пространство.

Определение 5. Пусть L: H → H положительно определенный оператор, действующий в полном гильбертовом пространстве H. Построим новое пространство с элементами из области определения оператора D (L) и скалярным произведением [u, v]L = (Lu, v). Если оно окажется неполным, то пополним его. Пополнение пространства HL называется энергетическим.

Минимум функционала будем искать в энергетическом пространстве. Определение 6. Элемент из энергетического пространства u0 HL, доставляющий минимум функционала энергии, называется обобщенным

решением уравнения Lu = f.

Метод Ритца минимизации функционала.

Метод Ритца (Релея – Ритца) один из методов приближенного решения задачи минимизации, который состоит в отыскании минимума функционала на конечномерном пространстве Hn. Элементы v Hn называют-

201

ся пробными функциями. Аппроксимацией Ритца называется функция uh Hn, минимизирующая F на пространстве Hn:

Последовательность шагов метода Ритца:

____

1) выбор пространства Hn и базиса φi , i = 1, n ;

2)приближенное решение ищется в виде uh = ∑αiφi ;

i=1

3)коэффициенты α i находятся из условия минимизации функциона-n

ла F(uh) по параметрам α i, которые приводят к СЛАУ относительно коэффициентов α i:

Отметим, что аппроксимации, получаемые методами Ритца и Галеркина, тождественны для симметричных операторов. Однако метод Галеркина может использоваться независимо от того, можно ли найти вариационную формулировку, и, следовательно, имеетболееширокуюобластьприменения.

Матрицы СЛАУ, получаемые в методах Галеркина и Ритца, оказываются заполненными, т.е. большинство элементов этих матриц отличны от нуля. Решение систем с заполненными матрицами делает оба метода затратными. Поэтому необходимо выбрать базисные функции таким образом, чтобы коэффициенты матрицы и правая часть системы легко вычислялись, а сама система была разреженной. Такой выбор базисных функций приводит к методу конечных элементов (МКЭ).

МКЭ – численная процедура решения задач, сформулированных в виде дифференциального уравнения или вариационного принципа. Метод конечных элементов отличается от классических методов Галеркина и Ритца тем, что аппроксимирующая функция является линейной комбинацией непрерывных кусочно-гладких финитных функций. Финитные функции отличны от нуля только в заданном интервале. В МКЭ под такими интервалами подразумеваются конечные элементы, на которые разбивается область Ω.

Процесс реализации МКЭ включает следующую последовательность шагов:

1. Дискретизация области: построение сетки, задание свойств элементов. Область, на которой решается задача, покрывается непересекающими-

202

ся подобластями простого типа, которые называются конечными элементами (КЭ). Вершины КЭ называются узлами. Узлы предназначены для описания геометрии элементов и для задания компонент решения (неизвестная величина определяется в узлах). Узлы могут быть внешними и внутренними. Внешние узлы лежат на границе КЭ и используются для соединения элементов друг с другом. Узлы могут располагаться между угловыми узлами. КЭ может иметь внутренние узлы, такие элементы, являясь элементами высокого порядка точности, обеспечивают более точное описание искомых функций. Компоненты неизвестной функции в узле называются степенями свободы. В зависимости от рассматриваемой задачи число степеней свободы в узле различно. Например, в задаче теплопроводности в каждой точке определяется скалярная величина температуры – одна степень свободы. В двумерной задаче теории упругости относительно перемещений в каждом узле определяется двумерный вектор перемещений, тогда в каждом узле КЭ определяется две степени свободы. В качестве степеней свободы могут фигурировать не только значения искомой функции, но и ее производные по пространственным координатам, как в задачах расчета мембран или оболочек. Кроме того необходимо задать свойства материала, из которого изготовлена конструкция. Например, для задач теории упругости для изотропного материала необходимо задать модуль Юнга и коэффициент Пуассона, в стационарных задачах теплопроводности – коэффициент теплопроводности.

2.Выбор аппроксимирующих (базисных) функций. Чаще всего базисные функции выбираются в виде полиномов. Поэтому пространство, на котором ищется решение, является пространством кусочно-полиномиальных функций. Базисные функции могут быть линейными, квадратичными, кубическими и т.д.

3.Формирование СЛАУ с учетом вкладов от элементов и узлов, введение граничных условий в систему уравнений. Например, если задача решается с помощью метода Галеркина, формируются интегралы из условия ортогональности невязки и базисных функций. Если решается задача в вариационной постановке с помощью метода Ритца минимизации функционала, то СЛАУ получается после приравнивания к нулю производной функционала. Интегралы по области разбиваются на интегралы по элементам

вычисляются элементные (локальные) матрицы и векторы правых частей, из которых формируется глобальная матрица и вектор системы уравнений.

203

4.Решение системы уравнений.

5.Определение расчетных величин в элементах. Этими величинами обычно являются производные от искомой функции (например, деформации, напряжения, тепловые потоки).

Задачи:

1. Проверить симметричность и положительную определенность

относительно множества функций, определенных в двумерной области Ω,

найти уравнение Эйлера (уравнение Эйлера описывает малые отклонения нагруженного троса, покоящегося на упругом основании жесткостью k). Показать, что этот функционал равен потенциальной энергии системы.

204

5. Для функционала

Вопросы для самопроверки

1.В чем суть проекционных методов?

2.В чем суть метода моментов (Петрова–Галеркина)?

3.В чем суть метода Галеркина?

4.Записать условие ортогональности приближенного конечномерно-

6.Какой оператор называется симметричным, положительно определенным? Приведите примеры.

7.Сформулируйте необходимые условия экстремума функционала.

8.Что называется функционалом энергии?

9.Чем является решение уравнения Эйлера для функционала энергии?

10.В чем суть метод Ритца (Релея–Ритца) минимизации функционала?

11.В чем суть метода конечных элементов?

12.Какова последовательность шагов при реализации метода конечных элементов?

4.2. ВИДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Согласно идее МКЭ вся расчетная область Ω разбивается на непересекающиеся области Ωе – элементы, на которых определены достаточно гладкие функции формы (пробные или базисные функции), строится аппроксимация искомой функции на конечном элементе в виде линейной

m

комбинации этих функций θm ( x) = ∑ ak φk . Поскольку базисные функции

k =0

определены кусочным образом, т.е. равны нулю всюду, кроме рассматриваемого элемента, это в конечном счете позволяет получить аппроксими-

205

рующие уравнения с ленточными матрицами, обеспечивающими МКЭ дополнительные преимущества. Кроме того, кусочно-определенные базисные функции означают, что аппроксимирующие функции и их производные могут иметь разрывы на границах элементов [3].

Некоторые типы элементов, используемые на практике, изображены на рис. 4.1 [4]. Пунктирными линиями отмечены степени свободы в узлах элементов. Простой стержневой (фермовый) элемент, изображенный на рис. 1, а, является представителем целого семейства конечных элементов. Используемый в совокупности с элементами того же типа, он описывает фермовые и пространственные рамные конструкции. В совокупности

сэлементами других типов, и особенно с пластинчатыми элементами,

сего помощью обычно описывают подкрепленные элементы конструкций. Применение этих элементов в строительной механике подробно рассматривается в [5].

Плоские элементы, изображенные на рис. 4.1, б, можно назвать основными, они применяются для анализа плоских задач (например, в задаче теории упругости в случае плосконапряженного или плоскодеформированного состояний). К этому классу элементов относится множество элементов, имеющих разную форму. О них пойдет речь ниже. Основными эти элементы называют не только благодаря их полезности при численном исследовании целого ряда прикладных задач. Теоретические работы на протяжении первых лет развития метода конечных элементов были целиком посвящены этому типу элементов.

Изображенные на рис. 4.1, в трехмерные элементы, представляют собой обобщение на трехмерный случай плоских элементов. Тетраэдр и параллелепипед являются наиболее распространенными формами трехмерных элементов.

На рис. 4.1, г изображен осесимметричный элемент, применяемый для анализа осесимметричных конструкций (бетонных и стальных резервуаров; сосудов, содержащих ядерное горючее; роторов; поршней; валов; двигателей ракет и т.д.). Нагрузки, так же как и геометрические очертания, бывают осесимметричными. Изображен только треугольный элемент, хотя применяются и четырехугольные элементы, аналогичные изображенному на рис. 4.1, б.

Элементы типа изгибаемых тонких пластин (рис. 4.1, д) используются не только для расчетов тонких пластин, но также для представления оболочек и тонкостенных элементов. Конфигурация элементов сходна

сплоскими элементами, причем наиболее распространенными являются треугольные и четырехугольные элементы, однако здесь вводятся дополнительные степени свободы в узлах элемента – изгибы.

206

Осесимметричные оболочковые элементы, изображенные на рис. 4.1, е, важны на практике так же, как и осесимметричные сплошные элементы. Однако для оболочковых конструкций разрешающие соотношения выводятся с использованием упрощающих предположений теории тонких оболочек. Теория осесимметричных тонких оболочек заполняет пробел между теорией изгиба и растяжения плоских пластин и теорией тонкостенных оболочечных конструкций общего вида. Если тонкостенная оболочечная конструкция искривлена, то для ее аппроксимации предпочтительно использовать криволинейные тонкостенные оболочечные элементы. К преимуществам таких элементов можно отнести возможность более точного описания геометрии поверхности исследуемой оболочки и правильный учет взаимосвязи растягивающих и изгибающих усилий в оболочке.

4.2.1. Одномерные пробные функции

Далее речь пойдет о так называемых основных конечных элементах, поскольку именно они применяются для расчетов в задачах механики сплошных сред.

Не останавливаясь подробно на способах построения одномерных элементов, напомним, что они равны 1 в своем узле и обращаются в 0 в других узлах. Приведем их вид [3, 6]:

Линейные (два узла для каждого элемента)

квадратичные (три узла для каждого элемента)

Функции высших порядков, построенные с помощью фундаментального полинома Лагранжа (полином Лагранжа порядка p, построенный для узла l, элемент содержит p + 1 узел),

Для удобства интегрирования вводится локальная координата, нормированная на конечном элементе ( −1≤ξ ≤1),

208

кубические

φ0 = −(9 / 16)(ξ+1 / 3)(ξ−1 / 3)(ξ−1),

φ1 = (27 / 16)(ξ +1)(ξ −1 / 3)(ξ−1), (4.6) φ2 = −(27 / 16)(ξ+1)(ξ+1 / 3)(ξ−1),

φ3 = (9 / 16)(ξ+1)(ξ +1 / 3)(ξ −1 / 3).

Отметим, что при использовании этих функций коэффициенты ak

m

в представлении искомой функции θm ( x) = ∑ ak φk имеют смысл прибли-

k =0

женного значения искомой функции в узлах элемента.

Использование этих базисных функций имеет недостаток: базисные функции разных степеней различаются по виду, и поэтому для различных порядков аппроксимации получаются совершенно разные матрицы разрешающих соотношений. Таким образом, если возникает необходимость повторить вычисления с использованием базисных функций высших степеней, то систему уравнений приходится полностью пересчитывать.

Применение для аппроксимации иерархических функций лишено этого недостатка: при уточнении решения посредством увеличения порядка аппроксимации (и общего числа базисных функций) базисные функции низших степеней остаются неизменными. При этом с увеличением порядка аппроксимации на единицу в системе разрешающих соотношений добавляются только одна новая строка и один новый столбец, остальные соотношения остаются неизменными.

В литературе приводятся различные системы иерархических базисных функций. Например, для квадратичной аппроксимации

209

Заметим, что линейные функции ϕ 0 и ϕ 1 имеют тот же вид, что и в (4.4),

m

соответственно, а0 и а1 в разложении θm ( x) = ∑ ak φk имеют смысл прибли-

k =0

женного значения функции в узлах, а коэффициент а2 равняется величине отклоненияотлинейнойаппроксимациивцентреэлемента.

Кубический многочлен выбирается в виде

φ3 = ξ(1 − ξ2 ) ,

что обеспечивает нулевое значение этой функции и d φ3 / d ξ =1 в центре

элемента; тогда а3 означает отклонение наклона в центре элемента от наклона предыдущей аппроксимации.

Иерархическую базисную функцию четвертой степени можно определить как

φ4 = ξ2 (1− ξ2 ) .

Однако смысл коэффициента а4 в разложении определить затруднительно.

Другая удобная система иерархических базисных функций определяется соотношениями

т.е. коэффициенты разложения равны значениям соответствующих производных в центре элемента.

В качестве иерархических базисных функций можно использовать интегралы от полиномов Лежандра степени р, который определяется формулой

210