книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

следовании свойств материалов. В рассматриваемой задаче использование потенциала Ми позволяет получать различные отношения параметров решетки для разных металлов с ГПУ-решеткой.

Исследовалась зависимость значений параметров ГПУ-решетки от значений параметров потенциала Ми. Из условия, что параметр m > n , последовательно брались значения параметра n из интервала 2 ≤n <51 и перебирались значения параметра m от n +1 до 50. В результате оказалось, что отношение равновесных параметров ГПУ-решетки для макроскопического уровня изменяется в пределах κ [1.621; 1.637] , что не по-

зволяет описать все металлы с ГПУ-решеткой, но дает возможность выбрать параметры потенциала Ми, подходящие для ряда таких материалов. Результаты соответствия значений параметров потенциала Ми и отношения κ приведены в табл. 2.10. Приведенные параметры позволяют получать равновесные межатомные расстояния ГПУ-монокристалла различных металлов и проводить дальнейшие исследования их механических свойств.

Таким образом, с использованием потенциала Ми появляется возможность с большей точностью описывать геометрические характеристики кристаллов с ГПУ-решеткой – равновесные межатомные расстояния и их отношение. При этом удалось определить три параметра потенциала Ми: два показателя степени m и n, а также параметр α, задающий равновесное расстояние для изолированной пары атомов выбранного материала. Параметр β может быть определен на основании описанного ранее подхода при исследовании упругих свойств монокристаллов ГЦК-решеткой.

141

Определение равновесных параметров ГПУ-решетки с помощью энергетического подхода. Использованный выше подход к нахождению равновесных значений параметров решетки не является единственным. Для определения равновесных параметров a и b ГПУ-монокристалла, кроме рассмотренного подхода, в основе которого лежит равенство нулю сил, действующих на гранях образца, может быть применен анализ, основанный на минимизации потенциальной энергии взаимодействия всех атомов исследуемого образца. При этом будем обеспечивать сохранение однородности расположения атомов образца, когда межатомные расстояния вблизи граней не изменяются. Энергетический подход также может использоваться при исследовании зависимости механических свойств материалов с кристаллической решеткой от температуры.

Для рассматриваемой формы образца (рис. 2.17) с помощью потенциала Леннард-Джонса была найдена энергия U взаимодействия всех атомов решетки. Были получены значения энергии для решетки с вычисленными ранее равновесными параметрами ГПУ-решетки a и b (2.47), а также для образцов с произвольными параметрами решетки, которые подлежат определению из условия минимизации энергии. Для определения значений параметров ГПУ-решетки вторым способом находился минимум энергии взаимодействия атомов U по параметрам a и b.

Врезультате численного эксперимента, используя полученные ранее

спомощью первого подхода значения параметров решетки (2.47) для различного числа атомов на грани образца, была найдена зависимость потенциальной энергии взаимодействия всех атомов от размера образца с N атомами на ребре основания (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Зависимость энергии U от числа атомов N при известных параметрах a и b

142

Исследование асимптотического поведения показало, что предельное значение потенциальной энергии взаимодействия атомов ГПУ-решет- ки при N → ∞ (при значениях a = 0,979α , b =1,599α ) составляет

Также может быть определена потенциальная энергия U взаимодействия атомов при произвольных параметрах решетки a и b для различного числа атомов N на ребре основания образца с использованием потенциала Леннард-Джонса. Затем из условия минимума потенциальной энергии были определены параметры решетки для каждого числа N. Функция, аппроксимирующая минимальное значение энергии Umin (N ) при каждом N,

качественно имеет такой же вид, как и на рис. 2.20. Предельные значения параметров решетки также определяются при N → ∞ . Заметим, что «макроскопическое» значение энергии решетки ГПУ-металла, полученное в пределе при N → ∞ , составляет

Отличие предельных значений (2.49) и (2.50) составляет 0,06 %. Таким образом, силовой подход к определению равновесных межатомных расстояний в ГПУ-решетке обеспечивает получение равновесного состояния образца при сохранении однородного распределения атомов в решетке, находящегося близко к состоянию с минимальной потенциальной энергией.

Зависимость параметров a и b, обеспечивающих минимум потенциальной энергии взаимодействия, от числа атомов N принимает вид

предельные значения параметров решетки

а = 0,972α, b = 1,585α.

Значения параметра a, полученные с помощью силового подхода и на основе минимизации потенциальной энергии взаимодействия атомов образца, отличаются на 0,72 %. Для параметра b отличие составляет 0,93 %. Эти различия пренебрежимо малы, и в расчетах по определению упругих модулей образцов с ГПУ-решеткой удобнее использовать первый метод, гарантирующий точное выполнение заданных статических граничных условий.

Для определения упругих модулей призматический образец с равно-

весными параметрами ГПУ-решетки необходимо подвергать различным

143

видам деформации (простой сдвиг, чистое растяжение-сжатие вдоль трех взаимно-перпендикулярных осей). Затем на его гранях в деформированной конфигурации надо определять компоненты (в декартовой ортогональной системе координат, показанной на рис. 2.17) сил, действующих на атомы из рассматриваемых граней со стороны всех остальных атомов тела. Полученные силы необходимо делить на площади соответствующих деформированных граней призмы и по ним с помощью соотношения Коши находить компоненты тензора напряжений Коши без априорного предположения о его симметрии. Полученные выражения для компонент тензора напряжений раскладываются в степенные ряды по параметру, характеризующему степень деформации (величине сдвига или соответствующей кратности удлинения). Не зависящие от величины параметра деформации коэффициенты при линейных членах полученных рядов рассматриваются как искомые упругие модули. Методика позволяет получить аналитические выражения для коэффициентов разложений в степенные ряды любого порядка. Эти коэффициенты зависят от параметров потенциала, параметров решетки a, b и числа атомов N на ребре исследуемого объема. В отличие от классического метода молекулярной динамики описанная методика дает возможность работать с произвольными значениями параметров потенциала и выходить на макроскопический уровеньспомощью предельногоперехода N → ∞ .

При растяжении образца вдоль осей Ox1 и Ox2 с кратностями удлинения λ 1 и λ 2 слои A и B ГПУ-решетки деформируются одновременно,

что приводит к нарушению расположения атомов типа B в лунках между атомами типа A. Этот факт продемонстрирован на рис. 2.21, а. Рассмотрим отдельный треугольник, образованный атомами типа A, в лунке между которыми (в проекции на плоскость слоя A ее центр C совпадает с центром описанной окружности) расположен атом типа B. До деформирования выбранный треугольник является равносторонним (рис. 2.21, б). После растяжения вдоль осей Ox1 и Ox2 – равнобедренным. Положение C' атома типа B после такого деформирования (полупрозрачный шар на рис. 2.21, в) не соответствует центру C'' описанной окружности треугольника, образованного атомами типа A. Новый центр C'' может быть найден из решения геометрической задачи (шар коричневого цвета на рис. 2.21, в). Тогда при растяжении вдоль осей Ox1 и Ox2 атомам типа B надо давать дополнительное смещение относительно слоя типа A, зависящее от кратностей удлинения λ 1 и λ 2 и приводящее к уменьшению по-

тенциальной энергии системы атомов (рис. 2.22):

144

по дисторсии получается упругий закон также в виде ряда, первый член которого совпадает с правой частью записанного несимметричного обобщенного закона Гука.

Для определения числа независимых ненулевых компонент тензора С для материала с ГПУ-решеткой рассмотрим ее симметрийные свойства. ГПУ-решетка обладает одной осью симметрии 3-го порядка и ортогональной ей плоскостью симметрии (или осью симметрии 2-го порядка, ортогональной к первой оси). Пусть первая ось совпадает с осью Ox3, а плоскость симметрии содержит оси Ox1 и Ox2. Если преобразование Q принадлежит группе симметрии кристаллической решетки, то справедливо соотношение

из которого следуют уравнения для определения ненулевых независимых компонент Cijkl . В случае ГПУ-решетки с учетом общих свойств

Cijkl = Cklij и симметрии решетки получается 11 ненулевых независимых компонент:

тогдаматрицакомпонент Cijkl представляетсячерезкомпоненты(2.54) ввиде

Если дополнить набор (2.55) следующими обозначениями:

147

7 ↔ 21, 8 ↔ 31, 9 ↔ 32 ,

то получим расширенную матрицу компонент для симметричного случая:

В несимметричном случае анализируется только расширенная матрица компонент:

При учете несимметрии тензора напряжений Коши появляются такие модули, как C1112 или C1332 . При наложении условия симметрии для этих компонент получим:

C1112 = C1121 = −C1112 , то есть C1112 = 0.

Для модуля C1332 получим

C1332 = C1323 = 0 .

Аналогично будет получаться равенство нулю и для других дополнительных модулей, то есть придем к обычному набору для симметричного случая.

148

Ограничения на значения упругих модулей, обеспечивающие выполнение условия положительной определенности тензора линейноупругих свойств C ( e : C : e > 0 , e≠ 0 ; e : C : e = 0 e= 0 ), следуют из неравенства

Сучетом исследованной структуры тензора упругих свойств (2.53)

и(2.58) линейно-упругий закон для материала с ГПУ-решеткой принимает вид

Проводя опыты на растяжение вдоль различных из трех взаимно перпендикулярных осей, можно получить выражения для трех коэффициентов Пуассона. Модуль всестороннего растяжения-сжатия K связывает следы тензоров напряжений и деформаций sp(σ) = 3K sp( u) и также мо-

жет быть найден для ГПУ-решетки.

Рассмотрим опыты, необходимые для определения компонент (2.52). Пусть n – единичная нормаль к плоскости простого сдвига, m – единичный вектор, задающий направление сдвига. Закон движения в лагранжевой форме, описывающий однородную деформацию образца, имеет вид r = R + γ (n R )m , R – радиус-вектор центров атомов в отсчетной конфи-

гурации, r – радиус-вектор атомов в текущей конфигурации. Тогда аффинор, описывающий простой сдвиг на величину γ ,

где E – единичный тензор. Пусть l – единичный вектор, задающий направление оси растяжения-сжатия. Аффинор, описывающий такую деформацию с кратностью удлинения λ , имеет вид

149

Можно заметить, что недиагональная часть тензора напряжений получилась кососимметричной.

Таким образом, в рассматриваемом опыте можно определить 6 из 11 компонент тензора линейно-упругих свойств материала с ГПУ-решеткой – C1111 , C1122 , C1112 , C1233 , C1133 и C3333 . Остается найти 5 компонент. Заметим, что проведенные численные расчеты показали, что получаемый при трехосном растяжении-сжатии тензор напряжений является диагональным, то есть должны быть справедливы равенства

150