книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

Пренебрегая силовым взаимодействием компонент f1 = f2 = 0 , получим, что при наличии химических превращений одной компоненты

= (c1 + c2 )v1 = v1 = 0 , тогда от уравнений баланса массы и количества движения останутся только соотношения для массы

∂ c1 /∂ t= m / ρ (или ∂ c2 /∂ t= − m / ρ ),

где скорость реакции m в общем случае является некоторой функцией концентрации. При рассмотрении не слишком больших интервалов времени течения реакции можно принять, что m = kc2 = k(1 − c1 ) , где k > 0

соответствует распаду второй компоненты и ее превращению в первую. В этом случае имеем

где ci0 – начальные концентрации компонент. В более сложных случаях

скорость реакции может быть пропорциональна уже появившемуся веществу, тогда m = k c1 (1 − c1 ) и решение принимает вид

c1 = ekt /ρ − eA , A = const .

Учитывая силовое взаимодействие компонент, считая, что все введенные поля однородно распределены в объеме, получим

то есть для изменения скоростей взаимодействующих компонент в однородном неподвижном объеме в отсутствие внешних массовых сил получаем уравнения

Силы взаимодействия компонент некоторым образом зависят от концентраций. Для каждого конкретного случая эта зависимость должна устанавливаться из физического анализа механизмов взаимодействия фаз.

51

Запишем далее общий вид плотности полной энергии элементарного материального объема как сумму механической и внутренней u энергий:

где u – массовая плотность внутренней энергии; U – массовая плотность

потенциальной энергии внешних сил. Сумма v v +U является плотно- 2

стью механической энергии тела. Для задания внутренней энергии в каждом конкретном случае потребуются дополнительные соображения, следующие из физического анализа идущих в системе процессов. Материальная производная

может быть переписана с использованием уравнения движения (1.70). Здесь обычно принимается предположение о потенциальности массовых сил

тационные, электромагнитные и силы инерции. В общем случае они могут не быть потенциальными и могут меняться со временем.

Используем для произвольного тензора второго ранга А и вектора а тождество (A a)= ( A) +a A : ( a)T . Умножив (1.82) на ρ и подставив в него уравнение движения вместе с (1.84), получим

ρ u= − (J+ σ v+) σ: ( v)T . (1.85)

e

Согласно структуре уравнения баланса произвольной физической величины в правой части стоит дивергенция потока и источник внутренней энергии. Так что поток внутренней энергии определяется как

52

Для многокомпонентной среды уравнение движения каждой компоненты представляется в виде

где fn* – массовая сила, вызванная взаимодействием компонент смеси.

Предположим, что элементарный материальный объем находится в равновесном состоянии. Записывая для него первое начало термодинамики (или расшифровывая поток в уравнении баланса полной энергии)

где dae + dU – удельная работа внешних сил над рассматриваемым объемом (включая его квазитвердое перемещение); dq** – дополнительный

приток энергии за счет причин, отличных от работы макроскопических сил и теплообмена dq (например, за счет обмена массой или химических реакций), и переходя к материальной производной с использованием уравнения баланса тепла (1.73) и (1.81), получим

По теореме живых сил в действительном движении дифференциал кинетической энергии ρ v v материального объема равен сумме элементарных работ внешних массовых, внутренних массовых, внешних поверхностных и внутренних поверхностных сил на перемещениях dr = vdt , то есть (получается с использованием уравнения движения (1.70))

ная работа внутренних поверхностных сил, то есть удельная работа внешних сил есть

В отсутствие dq** и объемных источников тепла, при выполнении (1.83) и (1.84), получим

53

Далее для задания внутренней энергии (или же количества тепла) необходимы дополнительные предположения и представления о происходящих в среде физических процессах, после чего автоматически будет определенной и полная энергия. В состоянии локального термодинамического равновесия элементарного материального объема определяется понятие температуры Т, как меры его нагретости, которая может быть измерена некоторым прибором (термометром). Как говорится в [10], ситуация, когда локально нельзя определить температуру (и другие термодинамические переменные и потенциалы), является скорее исключением. Способность материального объема поглощать тепло описывается с помощью функции s – энтропии:

Последнее равенство является определением энтропии как величины, сопряженной измеряемой величине – температуре. Аналогично можно смотреть и на определяющие соотношения, которые сопоставляют измеряемой характеристике – тензору деформаций – тензор напряжений. Помимо замыкания системы фундаментальных законов, определяющие соотношения позволяют экспериментально проверить правильность теории, используемой при их выводе. Определение энтропии в термодинамике носит название второго начала и записывается в виде связи dq = Tds , причем производство энтропии разделяют на производство за

счет внешних причин и за счет внутренних причин, а последнее всегда является неотрицательной величиной.

Соотношение (1.94) после задания вида внутренней энергии позволяет записать уравнение баланса энтропии и выделить источник – производство энтропии за счет внутренних процессов. Отметим, что сделать это однозначно не всегда возможно, и от того, что переходит в поток, а что – в источник, существенно зависит результат. Неотрицательность производства энтропии в системе с использованием соотношений взаимности Онзагера и принципа Кюри [6] применяется для записи линейных

54

определяющих соотношений. Подобную схему можно использовать и для многокомпонентных сред.

Будем рассматривать среду без внутренних моментов, тензор напряжения Коши, входящий в записанные выше соотношения, симметричен, то

Структуру внутренней энергии для многокомпонентной деформируемой среды запишем в форме, подобной записи скорости изменения кинетической энергии – через мощность некоторых сил. Они называются обобщенными термодинамическими силами (не обязательно имеют размерность обычных сил), а соответствующие (сопряженные) им параметры называют обобщенными координатами. На этом этапе учитываются возможные процессы немеханической природы, происходящие в среде, – электропроводность, химические реакции, фазовые или другие превращения:

где µn – химический потенциал n-й компоненты. Здесь он вводится как коэффициент при скорости изменения концентрации. В таком виде химические потенциалы ввел Гиббс, чтобы учесть зависимость внутренней энергии от количества веществ. Из (1.96) следует, что n = ∂ u /∂ cn , то

есть, задав внутреннюю энергию, получим и вид химического потенциала. Часто бывает, что для конкретных процессов известен вид µn, тогда при задании внутренней энергии необходимо учесть знание о химическом потенциале.

В результате использования гипотезы локального термодинамического равновесия принимается и локальная обратимость всех процессов. Следовательно, во второе слагаемое записи внутренней энергии должна входить только обратимая (упругая) часть. Пусть тензор деформаций представим в виде разложения на упругую ε el и неупругую ε in составляющие ε = εel + εin . Тогда представление (1.96) примет вид

В этом случае и тензор напряжений, получаемый при задании кон-

кретного вида и в (1.97) как σ = ρ ∂∂εuel , можно назвать упругим.

55

Если в локальной термодинамической системе рассматриваются необратимые процессы, то вместо равенства (1.70) имеем неравенство

Далее, для того чтобы была возможность использовать принцип локального равновесия, термодинамическую систему расширяют введением дополнительных внутренних параметров xk (произвольного тензорного ранга), отвечающих за необратимые процессы, и сопряженных им термодинамических сил Fk различного тензорного ранга:

Таким образом, снова имеем локально равновесное состояние и, используя q = Ts (1.94), получаем

Тогда, подставив (1.100) в (1.95), получим уравнение баланса для энтропии

Используя (1.79) и запись материальной производной, получим

ρ cn = − Jcn+ mn ,

тогда

а поток энтропии и производство энтропии запишутся как

56

Если рассматривается процесс без дополнительных внутренних переменных, которые могут отвечать за плотность дислокаций или площадь внутренних границ, то (1.102) примет вид

Для многокомпонентных сред необходимо сделать уточнение –

где Un – потенциалы внешних массовых сил для компонент смеси.

Для описания диффузии компонент перейдем к барицентрическим скоростям wn:

57

N

энергии перемешивания (диффузии) компонент, а ∑ρ nUn = ρ U . Таким

n=1

образом, во всех соотношениях, полученных с использованием (1.81), при рассмотрении многокомпонентной среды появится дополнительное слагаемое, связанное с диффузией. В итоге для внутренней энергии получим

При получении последних соотношений предполагалось, что скорости и ускорения перемешивания компонент невелики, то есть принималось, что квадратичный член w2n / 2 пренебрежимо мал по сравнению

с линейным wn .

Задавая далее вид свободной энергии для многокомпонентной среды

перейдем к записи потока и производства энтропии по аналогии с полученными ранее соотношениями:

Заметим, что для записи линейных определяющих соотношений, связывающих обобщенные силы и переменные одного тензорного ранга, в свертке σ: D выделяют составляющие скалярной природы – следы тензоров σ и D и величины тензорной природы – девиаторы этих тензоров.

58

Рассмотрим далее частный случай двухкомпонентной смеси, в которой не происходят химические реакции, и другие необратимые процессы, кроме теплопроводности, диффузииинеупругогодеформирования. Тогда получим

и скорости относительно центра масс w = w1 − w2 = v1 − v2 . При этом (1.111) примет вид

Для потока Jc также имеет место представление, следующее из

(1.105)–(1.107):

Jc = ρ c (1 − c) w .

Выбирая в качестве аргументов химического потенциала параметры c, T, p, получим для химического потенциала = (c,T , p) :

59

мый коэффициент бародиффузии.

Рассмотрим еще более простую ситуацию, когда поля температуры

идавления однородны, изменение плотности среды пренебрежимо мало

ине происходит превращений одной компоненты смеси в другую, тогда

Считая, что концентрация c мала, температура постоянна, можно принять, что коэффициент диффузии D является постоянной величиной. При этом 1 − c ≈ 1. Если среда покоится и движение компонент происходит с малой скоростью, то, отбрасывая нелинейные по введенным (малым) переменным слагаемые, получим

где θ – время локальной релаксации примеси. Если оно настолько мало, что соответствующим слагаемым можно пренебречь, то приходим к обычному закону Фика

Jc = −ρ D c

и классическому уравнению диффузии

c = D∆ c

или, учитывая, что для неподвижной среды c = ∂ c /∂ t , к дифференциальному уравнению диффузии параболического типа

60