книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

торы). Название «проектор» можно «почувствовать» на этих трех тензорах. Онообусловленотем, чтоприскалярномумноженииодного изнихнавектор x получается либо вектор-проекция x на вектор m, то есть на прямую, вдоль которой направлен m (в случае тензора m m ): x m m= (x m) m=

= (x m)m = xmm (вспомните определение проекции через скалярное умно-

жение векторов), либо вектор-проекция x на плоскость векторов m и n (для тензора m m+ n n ): x m m+ x n =n (x m) +m (x n)= n

= xmm + xnn , либо сам вектор x, как его вектор-проекция в трехмерное пространство(вслучаетензора E ).

21

Действие над вектором, приводящее к отражению вектора x = {x1; x2 ; x3} = x1e1 + x2e2 + x3e3 ≡ x1+ x2+ x3 (заметим, что все векторы x1, x2, x3 попарно ортогональны) относительно плоскости x1O x3 (пер-

проектором B более сложной структуры, чем рассмотренные:

B = E − 2e2 e2 .

Разберемся с деталями этого преобразования. Первое слагаемое –

3

это единичный тензор E = ∑ei ei , который при действии на вектор

X1O X 3 , то есть «вычеркивает» его вторую компоненту (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Преобразование вектора x

Проектор вида e2 × (E− e2 e2 ) сначала укладывает любой вектор x на плоскость X1O X 3 (за счет действия выражения в скобках), а затем с по-

мощью векторного умножения на e2 производит вектор, перпендикулярный e2, то есть принадлежащий плоскости X1O X 3 , и одновременно пер-

пендикулярный лежащему в этой плоскости вектору (E − e2 e2 ) x . Так реа-

22

лизуется поворот на 90° против часовой стрелки векторной проекции x в плоскости X1O X 3 . Раскрыв скобки, получим

действия которых мы рассмотрели. С их помощью структура тензора поворота становится более понятной.

Такие наглядные геометрические представления о тензорах второго ранга помогают научиться воспринимать их как самостоятельные объекты и использовать в исследовательской работе. Теперь, владея основами тензорного языка, мы сможем описывать кинематику движения твердых тел в пространстве (особенно эффективно тензоры работают при описании вращательного движения), а также записать для них законы движения (например, описать динамику тел, в том числе и вращающегося твердого тела, для чего потребуется ввести тензор моментов инерции). Мы сможем делать преобразования динамических характеристик движения тел при переходе из одной системы отсчета в другую и получать «на кончике пера» выражения для всех появляющихся при этом сил инерции.

1.2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ

Далее напомним, как вводится одно из важнейших для механики

ифизики понятие – система отсчета. Разумеется, в природе никаких систем отсчета не существует. Система отсчета – это искусственный объект, вводимый исследователем как совокупность абсолютно твердого тела отсчета (с привязанной к нему системой координат) и часов. Делается это, например, для математического описания движения какого-либо объекта. То есть система отсчета является моделью, позволяющей фиксировать события, происходящие в окружающем нас мире. Далее тело отсчета мы не будем упоминать, подразумевая его существование и связь с системой координат. В механике Ньютона обычно принимается, что существует

иможет быть определена некая неподвижная система координат. Часто в качестве нее берется система координат с началом в центре Солнца

23

и осями, направленными на «бесконечно удаленные» звезды. Но считать ее неподвижной, строго говоря, у нас нет никаких оснований. Даже само понятие неподвижности требует ответа на вопрос, по отношению к какой системе отсчета определяется неподвижность? Здесь мы будем исходить из несколько иных посылок (следуя работам таких ученых, как Л. Эйлер, Л.И. Седов, К. Трусделл [11–13]). Для каждого наблюдателя (в качестве которого может выступать любой из читателей или его коллега) в пространстве событий имеется своя собственная система отсчета

исобственные «часы». Будем считать для простоты, что системы координат систем отсчета не деформируются (хотя достаточно, чтобы они деформировались единым образом) и «одинаковы». То есть они могут быть совмещены трансляцией (переносом в пространстве, при котором любая из координатных линий остается параллельной себе) и поворотом. Течение времени будем считать одинаковым, а масштабы (шкалы) «часов» совпадающими, хотя абсолютное время в разных системах отсчета может

иразличаться ( t = t + a , a = const ). При этом ни один из наблюдателей не может утверждать (абсолютную) неподвижность своей системы отсчета или какой-либо другой – речь может идти только об относительном движении (одной системы отсчета относительно другой, выбранной).

Одно и то же событие (например, нахождение некоторого тела в той или иной области пространства) может наблюдаться с позиций различ-

ных систем отсчета. Пусть Φ и Φ * – две движущиеся одна относительно другой системы отсчета. Одни и те же величины, определяемые с позиций этих двух наблюдателей, будем обозначать одной и той же буквой, но величины, относящиеся к системе Φ *, будем помечать символом «*». Например, радиусы-векторы точки M (векторы, соединяющие начала соответствующих систем координат O и O* с точкой M) в некоторый момент времени в системах Φ и Φ * будем обозначать как r и r*.

Будем считать, что рассматриваемые системы отсчета движутся с такими скоростями, что расстояние между точками некоторого тела при взгляде из этих систем отсчета выглядит одинаково (исключаются релятивистские эффекты). Так, например, расстояние от одного угла стола до другого угла не изменится от того, смотрит ли на стол сидящий за ним наблюдатель (со своей системой отсчета) или наблюдатель, идущий мимо стола. Если мы обозначим радиус-вектор одного из углов стола в системе Φ как r0 , а радиус-вектор другого выбранного угла в той же системе от-

счета Φ как r, то модули векторов r − r0 и r − r0 совпадут. Но сами векторы будут отличаться на поворот:

24

где Q – собственно ортогональный тензор поворота вида (1.16). Понять этот факт поможет рис. 1.5, на котором в качестве примера исследуемого объекта пунктирной линией изображен прямоугольник (стол). Если полностью совместить системы отсчета (их разворот и частичное смещение показаны на рис. 1.5, б), то векторы r − r0 и r − r0 будут отличаться на

тот же поворот Q, что и оси систем координат X1OX2 и X1*O*X2* до их наложения. Выражение (1.21) можно «обратить», умножив обе части равенства слева на тензор Q−1 :

Таким образом, при замене системы отсчета радиус-вектор r произвольной точки некоторого тела преобразуется по закону

25

Обычно принимается, что в некоторый момент времени, например, при t = 0, системы отсчета Φ и Φ * совпадают, то есть Q(0) = E . Точка с радиус-вектором r0 является так называемым полюсом, и обычно принимается, что она неподвижна относительно системы Φ . Относительно времени t = t + a , как правило, принимается, что a = 0 , то есть t = t . Функция r0 − r0 (t) по сути задает трансляционное движение системы отсчета Φ * относительно Φ , а функция Q(t) – вращательное движение Φ *

относительно Φ .

В связи с произвольностью выбора системы отсчета возникают некоторые вопросы: правомочно ли использование физических законов и соответствующих математических соотношений, полученных в одной системе отсчета, при переходе к другой системе отсчета? Или они должны трансформироваться? Каким требованиям должны удовлетворять эти преобразования, какие параметры необходимы для подобной трансформации? Иными словами, возникает вопрос об объективности описания наблюдаемых процессов. Под объективностью мы будет понимать возможность предсказания результатов наблюдения в системе отсчета Φ * по известным наблюдениям в системе Φ и закону относительного движения систем. Этот закон, как мы видели, задается функциями r0 − r0 (t) и Q(t) .

Никакой дополнительной информации для предсказания не должно требоваться. Например, расстояние между двумя точками твердого тела не должно зависеть от того, какой наблюдатель смотрит на тело, то есть вектор r − r0 на рис. 1.5, в отличие от самого вектора r, не должен зависеть

от наблюдателя (выбора системы отсчета). Для такого вектора мы получили закон преобразования (1.21), который можно обобщить на все не зависящие от выбора системы отсчета векторы. Итак, вектор a будем называть не зависящим от выбора системы отсчета, если при замене наблюдателя для него выполняется

Примерами не зависящих от выбора системы отсчета векторов являются векторы базиса систем координат X1OX2 и X1*O*X2*, векторы сил взаимодействия между двумя телами (или частицами), а также векторы моментов сил.

С помощью (1.23) мы немедленно получаем закон преобразования диады векторов a и b, не зависящих от выбора системы отсчета:

26

a b= (Q a) (Q b=) (Q a) (b Q=T ) Q (a b) QT . (1.24)

А с помощью (1.24) мы можем установить, как преобразуется не зависящий от выбора системы отсчета тензор второго ранга T:

Законы преобразования тензоров произвольного ранга определяются аналогичным образом. Но в общем случае ситуация сложнее, чем в соотношениях (1.23)–(1.25): во-первых, системы отсчета движутся одна относительно другой, во-вторых, тензорные объекты представляют собой физические характеристики изучаемых исследователем процессов, определяемые по известным правилам (причем одинаковым) каждым из наблюдателей. В этом случае законы, связывающие исследуемые тензорные характеристики, могут оказаться существенно сложнее приведенных соотношений, куда будут входить не только мгновенные значения Q(t), но и производные по времени от функций r0(t) и Q(t). Такая ситуация будет иметь место, например, при определении скоростей, ускорений, кинетической энергии частиц, для которых мы сейчас определим законы преобразования.

Как мы договаривались, положение произвольной точки будем задавать радиус-вектором r(t). Скорость движения точки M определяется как производная по времени t векторной функции r(t):

Для наблюдателя Φ * скорость той же самой точки M определяется точно таким же способом:

В силу того что t = t , мы будем определять скорость в системе Φ * как

скорость будет определяться следующим соотношением (при его получении используются правила дифференцирования суммы и произведения функций):

27

спина. Этот тензор описывает скорость вращения тела.

Для вычисления тензора спина найдем производную тензора поворота (1.16) вокруг оси m = e1 , используя правило дифференцирования сум-

мы и произведения:

Заметим, что для тензора спина выполняется свойство ΩT = −Ω. Итак, при r0 = const соотношение (1.28) принимает вид

Как видим, в общем случае скорость не является объективным вектором, поскольку закон ее преобразования (1.28) отличается от (1.23). Но для частных случаев движения наблюдателя Φ * относительно Φ скорость не будет зависеть от выбора системы отсчета. Это будет справедливо при v0 = 0 и Q(t) = 0 , то есть при отсутствии относительного движения сис-

тем отсчета (они могут быть сдвинуты одна относительно другой на постоянный вектор трансляции и развернуты на неизменный угол). Далее нам понадобится выражение для вектора v − v0 , которое получается из

(1.28) аналогично получению выражения для r − r0 :

28

жение Φ * относительно Φ .

Для получения закона преобразования ускорения точки w = dv(t) / dt = = d2r(t) / dt2 ≡ r(t) надонайтипроизводнуюповремениотвыражения(1.28):

Итак, ускорение, так же как и скорость, в общем случае не является объективным вектором и зависит от выбора системы отсчета. Для частных случаев движения наблюдателей Φ * относительно Φ вектор ускорения может оказаться не зависящим от выбора системы отсчета в узком классе движения систем отсчета. Это будет выполняться при w0 = 0 и Ω(t) = 0 , то

есть при переходе в любую систему отсчета Φ *, движущуюся относительно Φ поступательно, равномерно и прямолинейно. Такие системы отсчета Φ * называются галилеевыми, или системами отсчета, порождаемыми Ф.

Рассмотрим теперь преобразование уравнения движения материальной точки (второй закон Ньютона). Запишем его в системе отсчета Φ , для которой примем, что уравнение движения приводится к виду

где m – масса точки, w – ее ускорение, а F – действующая на нее сила. Масса является характеристикой только рассматриваемой точки (или твердого тела) и не зависит от наблюдателя: m = m . Сила характеризует

29

взаимодействие рассматриваемой точки или тела с другими точками или телами и зависит только от их взаимного расположения, которое, как мы обнаружили, не зависит от наблюдателя: F = Q(t) F . А вот ускорение зависит от наблюдателя и преобразуется согласно (1.29). Выразим m, w и F через m*, w* и F* и подставим их в (1.30). Для силы имеем F = Q−1 (t) F , тогда на первом шаге из (1.30) получим

m w = Q− 1 (t) F

или, умножив обе части на Q(t) слева, запишем m Q(t) w = F . Для ускорения из (1.29) получаем

Оказавшиеся в правой части дополнительные к силе F* (подчеркнутые) слагаемые согласно структуре закона движения являются силами. Они появились вследствие перехода в движущуюся систему отсчета Φ *. Их называют силами инерции. Рассмотрим эти силы на примере задачи об учете собственного вращения Земли при описании движения тел по ее поверхности (скорости и ускорения тел мы обычно определяем именно относительно земной поверхности). Пусть система отсчета Φ , не вращаясь, движется вместе с Землей (соответствующие оси Φ в любых ее по-

Земли. В качестве полюса также выберем этот центр. Тогда r0 = 0 , v0 = 0 , w0 = 0 . Закон движения (1.36) примет вид

30