книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

1.3.2. Основные соотношения динамики сплошной среды

рый движется в пространстве, изменяет свою форму и величину объема. Постоянным остается только множество материальных частиц B, доста-

гообразие. Формулировка всех соотношений механики для такого объема называется материальным описанием движения среды. При некоторых деформациях твердого тела можно считать, что выделенный материальный объем сохраняет свою связность (по крайней мере, на протяжении некоторого промежутка времени τ ), и допустимо применять материальный способ описания движения. Для жидких или газообразных объемов такой класс течений тоже существует, но он скорее экзотичен, чем типичен (либо течение рассматривается на очень малых интервалах времени τ ), поэтому для них и для произвольного неупругого течения твердых тел обычно используется не материальное описание, а пространственное, которое будет рассмотрено позднее.

Первый закон, который является общим для всех сред, есть закон сохранения числа частиц выделенного материального объема. Для произвольного пространственного объема число частиц может изменяться за счет движения среды сквозь него. Пусть в бесконечно малом материаль-

ном объеме содержится с dB= ρˆ ( X i ,t)dvˆ , i =1,3 частиц, где X i – лагранжевы координаты (метки) частиц, ρˆ ( X i ,t) – поле плотности среды.

В начальный момент времени рассмотрения движения среды t = 0 лагранжевы координаты частиц среды совпадают с их пространственными

ординат xi = xi ( X 1, X 2 , X 3 ,t) , связывающего начальную и текущую конфи-

ранга, связывающий начальную и текущую конфигурации, называемый аффинором или деформационным градиентом dx = F dX , и выражение

J ( X i ,t) = ∂ J ( X i ,t) , получим

∂ t

41

вдоль изначально ортогональной тройки материальных волокон) в текущей конфигурации, но дифференцирование осуществляется по лагранжевым координатам, получим дифференциальную форму записи закона сохранения частиц в переменных Лагранжа или в материальном описании (в этом случае материальная полная производная совпадает с частной):

шем его как

ρ (x,t) + ρ (x,t) v(x,t)= 0 ,

где векторный дифференциальный оператор определен в текущей конфигурации, и дифференцирование осуществляется по эйлеровым координатам x. Последнее уравнение, используя связь материальной и ло-

42

∂ρ (x,t) + (ρ (x,t)v(x,t)) = 0 .

∂t

Опуская подразумеваемые записью аргументы, представим это уравнение как

Хотя это уравнение и представляет собой соотношение эйлерова подхода к описанию движения, но было выведено для фиксированного материального объема, то есть справедливо для пространственного объема, движение которого совпадает с движением среды (неподвижного относительно материала). Поэтому оно не является общим при пространственном описании движения, когда может возникнуть необходимость учесть перемещение объема относительно среды. Переход от лагранжевых к эйлеровым координатам, использованный выше, имеет место только при деформировании сред без изменения локальной топологии (например, для упругодеформируемых сред). В противном случае (жидкости, газы, пластические, сыпучие и другие неупруго деформируемые материалы) в качестве исходного соотношения необходимо брать уравнения обобщенного эйлерова подхода.

Если среда не деформируется либо деформируется изохорически, то не деформируется и совпадающий с материальным пространственный объем.

Тогда v(x,t)= 0 и ∂ ρ (x,t) / ∂ t+ v(x,t) ρ (x,t) = 0 или dρ (x,t) / dt = 0 .

Решением этого уравнения будет ρ (x,t) = ρ (x,0) = ρ 0 (ξ i (x,0)) = ρ 0 (ξ i ) , мало-

понятное в общем случае, но с учетом того, какой именно пространственный объемрассматривается, принимающееочевидныйсмысл.

одних и тех же материальных частиц:

43

где nˆ – нормаль к поверхности объема, а знак «–» во втором (потоковом) члене обеспечивает увеличение ϕˆ (ξ i ,t) , если поток является «входящим»

и принято соглашение о том, что нормаль является внешней по отношению к объему. Используя переход к интегрированию по материальным

или в случае гладкости всех входящих в выражение полей и в силу произвольности объема, приравнивая подынтегральные выражения, это уравнение можно записать как материальное балансовое уравнение в ло-

44

Проинтегрировав последнее уравнение по пространственному объему V (t) , движущемуся вместе с материалом, и используя теорему Остроград-

ского-Гаусса, получим альтернативную формулировку интегрального балансового уравнения (для неподвижного относительно материала объема)

Iϕ (x,t) , не связанная с движением среды, называется термодинамической, вторая составляющая ρ (x,t)v(x,t)ϕ (x,t) , связанная с течением среды, назы-

вается конвективной. Это уравнение можно переписать для движущегося относительно материала пространственного объема v(t) , используя правило

дифференцирования интеграла по подвижному объему:

где vs (x,t) – скорость точек поверхности изменяющегося пространствен-

ного объема относительно материала. Количество материальных частиц внутри объема не фиксируется, то есть этот подход применим для описания течения любых неупругих сред. Вид балансового уравнения будет несколько сложнее:

аргументы (x,t) всех подынтегральных функций явно не указаны. Записывая

это выражение в локальной форме, используя обычные для этой процедуры предположения, получим

В этом уравнении vs (x,t) – скорость движения пространственного

объема относительно материала, но если систему отсчета связывать не с материалом, то в уравнении появится скорость среды относительно рассматриваемого пространственного объема V(x,t) = −vs (x,t) :

45

Выражение, стоящее в левой части, вводилось Павлом Андреевичем Жилиным [8] и называлось им материальной производной при пространственном описании. Им введено обозначение

С использованием этого обозначения уравнение можно записать как

то есть оно с точностью до типа производной совпадает с балансовым уравнением в эйлеровых переменных для неподвижного относительно материала пространственным объемом, в котором стоит полная производная по времени.

Используя последнее уравнение для записи закона сохранения массы ( ϕ =1, Iϕ = 0 , Pϕ = 0 ), получим другой вид уравнения неразрывности (по-

лученное П.А. Жилиным [8]):

Если среда не деформируется, либо деформируется изохорически, тоV(x,t)= 0 (все материальные частицы одинаково движутся относи-

тельно пространственной системы отсчета), то есть получим уравнение

ρ (x,t) + V(x,t) ρ (x,t) = 0 .

При постоянной скорости V(x,t) = V = const решением этого урав-

Будем далее рассматривать пространственное материальное описание и покажем, какие законы механики сплошных сред могут быть пред-

Предположим, что среда не обладает внутренними вращениями. Запишем основные уравнения, описывающие изменение состояния этого объема – материальные балансовые уравнения – в локальной форме:

46

1) уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) может быть получено при выборе скалярной величины ϕ =1 (масса, отнесенная кмассе), Iϕ = 0 (не происходит изменения числа частиц в выбранном материальном

объеме), Pϕ = 0 (отсутствуютисточникимассы):

где v – скорость центра масс элементарного объема; ρ (xi ,t) – плотность;

2) уравнение баланса количества движения (уравнение движения) может быть получено при φ = v (количество движения, отнесенное к мас-

се), с учетом аксиом динамики сплошной среды, утверждающей, что причиной изменения количества движения материального объема являются действующие на него внешние силы. Внешние силы в механике принято разделять на объемные ρ f e и поверхностные, которые согласно соотношению Коши записываются как t = n σ, где σ – тензор напряжений Коши,

f – массовая плотность внешних сил, действующих в объеме среды;

3) уравнения сохранения полной энергии (это такой же фундаментальный закон механики, как и уравнение баланса массы, уравнение баланса количества движения, уравнение баланса момента количества движения, а в термодинамике это первое начало без уточнения содержания потока) при ϕ = e (отнесенная к массе полная энергия материального объема), Iϕ = Je (поток энергии через поверхность малого объема), Pϕ = 0

(отсутствуют источники энергии):

где е – ее массовая плотность; Je – вектор потока полной энергии;

4) уравнение баланса энтропии (пока это понятие не определено, а рассматривается как некоторая физическая величина, необходимость введения которой будет обсуждаться ниже), записываемое формально в со-

47

где s – массовая плотность энтропии; Js – вектор потока энтропии; Ps – ее производство в элементарном объеме;

5) уравнение баланса тепла (является формой энергии наравне с другими составляющими полной энергии, такими как кинетическая или потенциальная энергия)

где q – массовая плотность количества тепла; Jq – поток тепла; Pq – объемный источник тепла (причиной его появления, помимо процессов, связанных с диссипацией энергии при интенсивном деформировании, может быть и некоторое излучение).

Полученная система уравнений является незамкнутой. Для ее замыкания необходимы соотношения, определяющие тип деформируемой среды, связывающие тензор напряжений с тензором деформаций и другими параметрами состояния среды. В качестве примера приведем линейную связь, задающую упругий (обобщенный) закон Гука при условии малости перемещений и их градиентов,

σ = C : ε, ε = ( u+ uT ) / 2 .

Уравнения (1.69)–(1.73) могут быть записаны и для неподвижного пространственного объема. В этом случае они примут вид пространственных уравнений баланса в локальной форме:

Уравнения вида (1.74)–(1.78) удобно использовать при работе с многокомпонентными средами, поскольку в левой части стоит локальная про-

48

изводная и после суммирования уравнений, записанных для каждой компоненты смеси, в силу линейности локальной производной получаются уравнения вида (1.69)–(1.73) для смеси в целом. Иначе надо использовать

что обычно менее удобно.

Рассмотрим далее гомогенную смесь некоторых компонент, каждая из которых равномерно распределена по всем элементарным объемам среды. Записывая уравнение неразрывности для компонент в виде

где mn – скорость производства n-й компоненты за счет химических или иных превращений, получим уравнение баланса произвольной величины a в n-й компоненте

или с использованием материальной производной относительно всей сме-

Проведем анализ полученных соотношений в некоторых частных случаях. Если все рассматриваемые поля однородны, но изменяются во времени, то из (1.52) и (1.53) получаем

то есть, преобразуя производную по времени, получим

∂ an /∂ t= Pan .

Рассмотрим частные случай применения записанных соотношений. Из уравнений баланса массы и количества движения в локальной форме для двухкомпонентной среды получим

49

откуда при учете ρ 1 + ρ 2 = ρ следует, что m1 + m2 = 0,

σ1 + σ2 + ρ 1w1 v1 + ρ 2w2 v2 = σ, ρ 1f1 + ρ 2f2 + m1v1 + m2 v2 = ρ f .

Здесь силы fi содержат как составляющую от внешних сил fie , так и силовое взаимодействие компонент смеси fi* , причем в силу третьего закона Ньютона можно принять, что ρ 1f1* + ρ 2f2* = 0 .

траций c1 + c2 =1. Для двухкомпонентных систем удобно перейти только к одной концентрации c = c1 , c2 =1 − c , рассматривая «диффузию примеси в растворе». При этом ρ i = ci ρ и соотношение ρ 1v1 + ρ 2 v2 = ρ v принимает вид c1v1 + c2 v2 = v или cv1 + (1 − c)v2 = v .

Вчастном случае, когда объем находится в состоянии равновесия

вотсутствие массовых сил ( f = 0 ) и неподвижен, получим

50