книги / Теория автоматического управления
..pdfРис. 3.11. Характеристики идеального (/) и реального (2) интегрирующих звеньев
Подставляя в соотношение (3.76) x (ft) = |
1 (t), можно получить |
переходную функцию |
|
h(t) = kt\{t), |
(3.77) |
график которой показан на рис. 3.11, а.
Импульсная переходная функция звена (рис. 3.11, б) имеет вид
w{t) = kVi(t). |
(3.78) |
Передаточная функция идеального интегрирующего звена |
|
Щ р ) = к!р. |
(3.79) |
А. ф. х. звена |
|
W (/со) = k/ja = —/ft/со |
(3.80) |
на комплексной плоскости изображается в виде прямой, совпадаю щей с мнимой осью (рис. 3.11, е).
А. ч. х. |
|
|
А (со) = 1И7(/со)|'= /е/со |
(3.81) |
|
представляет собой гиперболу (рис. 3.11, в), которая |
при со |
0 |
стремится к бесконечности. Эту особенность можно условно (по аналогии со статическими звеньями) объяснить наличием переда точного коэффициента, равного бесконечности.
При увеличении частоты значения А (со) стремятся к нулю. Это свойство сближает интегрирующие звенья с инерционными.
Ф. ч. х. идеального интегрирующего звена |
|
ср (со) = arctg~ kl— = - 9 0 ° |
(3.82) |
С
Рис. 3.12. Модели реального интегрирующего звена
показывает, что сдвиг фаз, создаваемый звеном, на всех частотах одинаков и равен —90° (рис. 3.11, г).
Л. а. ч. х.
L (со) = 20 lg А (со) = 20 lg k — 20 lg со |
|
|
(3.83) |
||||
представляет собой прямую с наклоном —20 дБ/декаду, |
проходя |
||||||
щую |
через |
точку с |
координатами со = |
1, |
L (<в) = 20 lg k |
||
(рис. |
3.11,5). |
|
характеристики р е а л ь н о г о |
и н т е г р и |
|||
Рассмотрим |
|||||||
р у ю щ е г о |
з в е н а , |
дифференциальное |
уравнение |
которого |
|||
|
_£lW _ + _d£(0_= k {f) |
|
|
(3.84) |
|||
|
dt* |
|
dt |
W |
|
|
V |
а передаточная |
функция |
|
|
|
|||
W ( p ) = k l ( T p + l)p. |
|
|
|
(3.85) |
|||
Нетрудно заметить, что звено с передаточной функцией (3.85) может рассматриваться как последовательное соединение двух эле ментарных звеньев (рис. 3.12, а): идеального интегрирующего с пе редаточной функцией Ир и статического инерционного звена пер вого порядка с постоянной времени Т и передаточным коэффици ентом k. Поэтому все частотные характеристики реального интег рирующего звена могут быть получены по характеристикам этих простых звеньев по соответствующим правилам перемножения
комплексных |
(векторных) величин. |
звена (см. |
Модели «вход-выход» реального интегрирующего |
||
рис. 3.12, а) |
соответствуют модели: в переменных |
состояния |
(рис. 3.12, в); аналоговая (рис. 3.12,6); цифровая (рис. 3 . 12, г).
Коэффициенты |
аналоговой |
модели: |
fxx — k!T\ |
а 2=1/Т |
(3.86) |
Рис. 3.13. Интегрирующие звенья
Интегрирующие свойства присущи всем объектам управления, в которых происходит накопление вещества или энергии без ее одновременной отдачи в окружающую среду. Классическим при мером объекта с интегрирующими свойствами является резервуар с жидкостью (рис. 3.13, а), если в качестве входной переменной рассматривать подачу жидкости Q (м3/с), а выходной — уровень жидкости h (м). Действительно, уравнение баланса жидкости
S d h ( t ) = |
Q(t)dt, |
(3.87) |
|
где 5 — площадь |
поверхности жидкости (м2) |
легко приводится |
|
к уравнению |
вида |
(3.74) или (3.76). При этом |
коэффициент (м“2) |
k = l / S . |
|
|
(3.88) |
Интегрирующими звеньями являются также различные испол нительные двигатели и механизмы — устройства, которые переме щают регулирующие органы (шиберы, заслонки, вентили и т. д.). Входной величиной этих устройств служит обычно количество энергии или вещества, поступающих в устройство, а выходной — линейное или угловое перемещение какого-либо элемента. Степень идеальности (безынерционное™) таких интегрирующих звеньев зависит от масс перемещающихся (вращающихся) частей исполни тельного устройства и приводимого им в движение регулирующего органа.
Идеальным интегрирующим звеном можно считать (с некото рыми допущениями) гидравлический исполнительный механизм (рис. 3.13, б), для которого входной величиной является количество жидкости Q (м3/с), поступающей в единицу времени в полость ци линдра, а выходной величиной — перемещение I (м) поршня со штоком. Действительно, если масса перемещающихся частей пре небрежимо мала и усилие, создаваемое давлением гидронасоса, существенно больше сил сопротивления, то перемещение поршня определяется уравнением баланса жидкости вида (3.87), а коэффи циент k — выражением (3.88).
Свойствами идеального интегрирующего звена обладает при
некоторых условиях |
инерционное звено первого порядка. Напри |
||
мер, |
апериодическая |
rC-цепь |
(см. рис. 3.5, а) при частотах вход |
ного |
воздействия со |
сос = |
ИТ может приближенно рассматри |
ваться как интегрирующее звено. Действительно, если в частотной функции (3.19) пренебречь единицей в знаменателе, то она совпа дет с функцией (3.80).
Реальными интегрирующими звеньями являются электрические исполнительные двигатели постоянного и переменного тока, на пример, двухфазный асинхронный двигатель (рис. 3.13, в). Его входная величина — напряжение переменного тока цу, приложен ное к обмотке управления, выходная — угол поворота вала ф. Действующее значение напряжения ыс на обмотке возбуждения считается неизменным. При некоторых допущениях (инерционность обмотки управления пренебрежимо мала, статические механические характеристики двигателя предварительно линеаризованы, диапа зон изменения напряжений иу ограничен) двигатель может быть описан передаточной функцией (3.85). Передаточный коэффициент
двигателя k (7В-с)] |
приближенно может быть |
рассчитан |
через |
номинальные значения частоты вращения п„ |
|(об/с) и |
управ |
|
ляющего напряжения |
ыу. „ (В): |
|
|
k да 360пн/ну. н- |
|
|
(3.89) |
Постоянная времени (с) зависит от приведенного на вал двига теля динамического момента инерции вращающихся частей J (кг*м2):
Т = 2nJnJM„, |
(3.90) |
где Мп — номинальное значение пускового момента, Н • м.
В случаях, когда исполнительный двигатель используется для управления объектом с большой инерционностью, можно постоян ную времени Т не учитывать и считать двигатель идеальным ин тегрирующим звеном.
О б щ и е с в о й с т в а и о с о б е н н о с т и и н т е г р и
р у ю щ и х з в е н ь е в : |
входного воздействия х (t) = |
||
1. |
После подачи |
ступенчатого |
|
= х0\ |
(t) выходная |
переменная |
у (/) неограниченно возрастает |
и по окончании переходного процесса изменяется по линейному закону
y(t) = kx0t. |
(3.91) |
При снятии входного воздействия выходная переменная сохра няет достигнутое значение, поэтому интегрирующие звенья можно использовать в качестве запоминающих элементов (элементов с па мятью).
2. В передаточную функцию обязательно входит сомножитель 1//7, поэтому
W(p)\,=о Ф К a W(0) = oo. |
(3.92) |
3. Интегрирующие звенья, как и инерционные статические, являются фильтрами низкой частоты; в режиме гармонического колебания они вносят отрицательные фазовые сдвиги.
Дифференцирующие звенья могут быть идеальными (безынер ционными) и реальными (инерционными). Мгновенное значение
выходной |
величины и д е а л ь н о г о |
д и ф ф е р е н ц и р у ю |
||
щ е г о |
з в е н а |
пропорционально |
в каждый момент времени |
|
мгновенному |
значению входной величины: |
|||
y ( t ) = k |
d * f(<) |
• |
(3.93) |
|
Коэффициент пропорциональности k зависит от конструктив ных параметров звена и имеет размерность
[k] = [y][t]l[x]. |
(3.94) |
Переходная функция звена получается непосредственно из |
|
уравнения (3.93) подстановкой |
и дифференцированием единичной |
ступенчатой функции: |
|
h{t) = kb{t). |
(3 .95) |
График переходной функции идеального дифференцирующего звена показан на рис. 3.14, а.
Импульсная переходная функция (рис. 3.14,6)
w(t) = kd8(t)ldt. |
(3.96) |
Передаточная функция |
звена |
\W(p) = kp. |
(3.97) |
Амплитудно-фазовая функция |
|
Ц7 (/со) = Л/со |
(3.98) |
совпадает с положительной |
частью мнимой оси (рис. 3.14, е). |
А. ч. х. (рис. 3.14, в) |
|
А (со) = к со |
(3.99) |
показывает: чем больше частота входного сигнала, тем больше ам плитуда выходного сигнала. Эта особенность дифференцирующих звеньев вытекает непосредственно из основного уравнения (3.93): чем быстрее изменяется во времени сигнал х (t), тем больше его производная в правой части и выходной сигнал у (/).
Сдвиг фаз, создаваемый идеальным дифференцирующим зве
ном, на всех частотах одинаков и равен (рис. 3.14, г) |
|
ср (со) = arctg k®— = -f 90° |
(3.100) |
Л. а. ч. х. звена |
|
L (со) — 20 lg/гсо |
(3.101) |
115
в |
3 |
Рис. 3.14. Характеристики |
идеального (/) и реального |
(2) дифференцирую |
щих звеньев |
|
|
— прямая линия с наклоном +20 дБ/декаду, |
проходящая через |
|
точку с координатами о |
= £_1, L (со) = 0 (рис. |
3.14, д). |
Р е а л ь н о е д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е е |
з в е н о пред |
|
ставляет собой последовательное соединение идеального диффе
ренцирующего |
звена |
и инерционного звена первого |
порядка |
|
(рис. 3.15, а). |
Его |
уравнение |
(3 .102) |
|
Т _d yjt)— , |
^ |
= |
k _ ± x U ) _ |
|
d / |
и w |
|
d t |
|
передаточная функция |
|
|
||
W (p) = kp/(Tp+\) . |
(3.103) |
|||
Нетрудно убедиться, что звено с передаточной функцией (3.103) можно представить в виде параллельного соединения безынерцион ного и инерционного звена (рис. 3.15, б).
Временные характеристики h {t) и w {t) реального дифферен цирующего звена изображены на рис. 3.14, а и б. Аналитические выражения для частотных характеристик реального дифферен цирующего звена (см. рис. 3.14, б—ё) можно получить по соот ветствующим функциям идеального дифференцирующего и инер ционного звена первого порядка.
На рис. 3.15 приведены модели реального дифференцирующего звена: в переменных состояния (б), аналоговая (г) и цифровая (б).
Коэффициенты |
аналоговой |
модели: |
|
= k/T2\ |
а 2= 1 /Г; |
a 3 = k/T |
(3.104) |
Большинство конструктивных элементов автоматики, обладаю щих способностью дифференцировать входной сигнал по времени,
116
а |
|
|
|
|
К/Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
к |
р |
У |
х |
Л |
* |
-Ъ ~ 1 |
|
Tp + J |
|
|
р '1 |
|||
|
|
|
J |
* |
|||
|
|
|
|
|
г |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
А / /
К
i
Т ( Т р * п
x(t)
|
г \ -у ft) |
г- © - [/ |
|
д |
Si |
Н |
At ^ ------ |
к/т - * Q — |
|
|
т |
Рис. 3.15. Модели реального дифференцирующего звена
описывается уравнениями реального дифференцирующего звена. Исключением являются лишь так называемые кинематические диф ференцирующие звенья, у которых дифференцирующая связь ме жду входом и выходом образуется чисто формально. Например, если в качестве входной величины безынерционного редуктора (см. рис. 3.2, г) рассматривать угол поворота ведущего вала <plf а в ка честве выходной величины — частоту вращения ведомого вала /г2, то свойства редуктора как алгоритмического звена будут, очевидно, описываться уравнением (3.93).
Реальными дифференцирующими звеньями являются электри ческие цепи (рис. 3.16, а и б). Читатель может убедиться, что они описываются передаточной функцией вида (3.103), причем, для цепи с емкостью k = Т = гС, а для цепи с индуктивностью k = = Т = Ur. Очевидно, что чем меньше постоянная времени 71, тем ближе свойства этих цепей к свойствам идеального дифференци рующего звена. Но при этом абсолютные значения выходного сиг нала и 2 становятся малыми и их приходится дополнительно уси ливать.
Пример идеального дифференцирующего звена—-электрический тахогенератор (рис. 3.16, я), если в качестве входной переменной рассматривать не частоту вращения (как в 3.2), а угол поворота ср его вала. В этом случае коэффициент k (В-с/°), входящий в переда
точную функцию (3.79), определяется также |
по формуле (3.13), |
но с учетом размерности угла поворота: |
|
k = pN Ф/360а. |
(3.105) |
Рис. 3.16. Дифференцирующие звенья
О с о б е н н о с т и д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и х з в е н ь е в : 1. При подаче на вход звена ступенчатого воздействия на его выходе возникает большой кратковременный импульс, а затем по окончании переходного процесса выходная переменная становится равной нулю. Если входной сигнал не изменяется во времени, то
выходной равен нулю. Если |
же входной сигнал х (/) возрастает |
по линейному закону х (/) = |
a xty то выходной |
| у (t) = аг= const. |
(3.106) |
2. В передаточную функцию всегда входит сомножитель р , поэ тому
l^ ( p ) U o = Of |
(3.107) |
и дифференцирующие звенья в статике не передают входные сиг налы.
3. Дифференцирующие звенья являются фильтрами высокой частоты, т. е. хорошо пропускают высокочастотные сигналы и плохо — низкочастотные. Они вносят положительные фазовые сдвиги.
3.7. Звено запаздывания
Звено запаздывания так же, как безынерционное статическое звено, передает сигнал со входа на выход без искажения его формы. Однако все мгновенные значения входной величины выходная ве личина принимает с некоторым отставанием (запаздыванием). Спо собностью задерживать сигнал во времени, не изменяя его формы, обладают многие элементы промышленных автоматических систем. В первую очередь к таким элементам относятся транспортирующие устройства (конвейеры, ленточные питатели, трубопроводы), при помощи которых подают различные материалы (сырье, топливо, реагенты) в технологические аппараты. Запаздыванием часто об ладают и сами технологические аппараты. Особенно заметно за паздывание проявляется в аппаратах, которые имеют большие раз меры и в которых происходят распределенные в пространстве про цессы массообмена (шаровые мельницы, флотомашины, сушильные барабаны).
Уравнение звена запаздывания |
|
y(t) = x ( t — T), |
(3.108) |
где т — длительность запаздывания.
Уравнение (3.108) не является дифференциальным и относится к классу особых уравнений со смещенным (запаздывающим) аргу ментом. Оно указывает, что выходной сигнал у (/) повторяет все изменения входного сигнала х (/), но с отставанием на время т.
Подставляя в уравнение звена х |
(t) = 1 (/), можно получить |
его переходную функцию |
|
А(0 = 1 (f—т), |
(3.109) |
а подставляя х (/) = б (/),— импульсную |
|
w(t) = 6 ( t — т). |
(3.110 |
Обе эти временные характеристики |
показаны на рис. 3.17, а и б. |
Применяя теорему запаздывания (см. табл. 2.2), можно записать |
|
уравнение (3.108) в изображениях по Лапласу: |
|
Y(p) = X ( P) e - e \ |
(3.111) |
Отсюда передаточная функция звена |
|
W (Р) = Y (р)/Х[(р) = е-Рт. |
(3.112) |
А. ф. х. звена |
|
W (/со) = е—/mT = cos сот—/ sin сот |
(3.113) |
представляет собой окружность с центром в начале координат и ра диусом, равным единице (рис. 3.17, е).
Сравнивая выражение (3.113) с показательной формой записи а. ф. х. общего вида (2.109), легко установить, что для рассматри ваемого звена а. ч. х. (рис. 3.17, в)
А (о)) = 1 = const |
(3.114) |
и ф. ч. х. (рис. 3.17, г) |
|
Ф (со) = —сот. |
(3.115) |
Характеристики (3.114) и (3.115) могут быть |
получены также |
с помощью формул (2.112) и (2.113): |
|
А (со) — д/cos2 сот-|- sin2 сот = 1; |
(3.116) |
ф (о) = arctg (—sin (от/cos (от) = — от. |
(3.117) |
Звенья запаздывания в большинстве случаев ухудшают устой чивость систем и делают их трудноуправляемыми.
Если звено запаздывания входит в контур системы управления, то характеристическое уравнение системы будет уже не простым алгебраическим, а трансцендентным. Решение и анализ трансцен дентных уравнений связаны с большими трудностями, поэтому часто в практических расчетах трансцендентную передаточную функцию (3.112) раскладывают в ряд Пада и, учитывая только два или три члена ряда, приближенно заменяют ее дробной рациональ ной функцией
W (р) = е-р* « (1 —0,5тр)/(1 + 0,5тр) |
(3.118) |
|||
или |
|
|
|
|
W (р) —е~Рх |
1 — 0 ,5тр + |
0 ,83т2р2 |
(3.119) |
|
1 -f 0 ,5тр + |
0 ,83т2/?2 |
|||
|
|
|||
Другим возможным способом приближенной аппроксимации звена запаздывания (рис. 3.18, а) является представление его в виде
Рис. 3.18. Модели звена запаздывания
120