книги / Теория автоматического управления

Рис. 4 .8 . Переходные процессы в статической и астатической системах при

ступенчатом (а) и линейном (б) измененнн задающего воздействия

Точность при гармонических воздействиях. При изменении внеш­

него воздействия (задающего или возмущающего) по гармониче­ скому закону управляемая величина и сигнал ошибки системы также изменяются по гармоническому закону. Поэтому точность системы при гармоническом воздействии оценивают отношением амплитуды сигнала ошибки к амплитуде внешнего воздействия: чем меньше это отношение, тем лучше качество системы.

Рассмотрим основные соотношения и закономерности, характе­ ризующие точность выполнения автоматической системой функций воспроизведения полезных и подавления вредных внешних воз­ действий.

Пусть на типовую систему (см. рис. 4.7, б) влияют задающее воздействие х3(/), основное возмущающее воздействие хв, прило­ женное к выходу объекта, а также дополнительное возмущение (помеха) х„, которое учитывает случайные флуктуации, возникаю­ щие в задающем и измерительном элементах, а также в канале об­ ратной связи.

Помеха хп, приложенная к входу системы, воспринимается си­ стемой как задающее воздействие и поэтому создает дополнитель­ ную ошибку воспроизведения.

Переходя от передаточных функций (4.48), (4.49), (4.54) и (4.55) к соответствующим частотным функциям, взятым по модулю, можно найти отношение амплитуд входных и выходных сигналов в режиме установившихся гармонических колебаний:

а индекс т обозначает амплитудные значения входных и выход­ ных сигналов.

При известных частоте и амплитуде внешнего воздействия по формулам (4.96) и (4.97) можно вычислить амплитуды рассматри­ ваемых выходных сигналов: ошибки ет и управляемой величины хт.

Из выражения (4.96) следует, что

на каждой фиксированной частоте сов амплитуда сигнала ошибки обратно пропорциональна величине | 1 + W (/о>в)|.

Эта закономерность аналогична зависимости статической ошибки

Учтем, как изменяется в общем случае а. ф. х. W (jo) разомкну­ того контура, входящая в выражения (4.96) и (4.97). Так как в кон­ тур большинства реальных систем входит обычно несколько инер­ ционных звеньев, то а. ф. х. W (/со) проходит через (п—т) квад­ рантов (рис. 4.9). При этом модуль вектора W (/со) с ростом частоты уменьшается от k (для статической системы) или от оо (для аста­ тической системы) до нуля, а угол поворота вектора изменяется соответственно от нуля или от — я /2 до (п—т) я/2, где п — поря­ док знаменателя, а т — порядок числителя передаточной функции.

Анализируя изменения векторов (см. рис. 4.9), нетрудно уста­

ниях внешних воздействий система из-за инерционности объекта

ирегулятора не успевает реагировать на эти воздействия.

3.Если частота воздействий близка или равна резонансной частоте (сов « сор), то амплитуда сигнала ошибки больше ампли­ туды воздействий, т. е. система управления даже вредна.

График функции | Фх3 (/со) | (рис. 4.10, б) показывает, что низко­ частотные помехи, возникающие в задающем или измерительном элементе, создают большую ошибку воспроизведения, амплитуда которой приблизительно равна амплитуде помехи. Если частота помехи близка к резонансной частоте, то амплитуда сигнала ошибки даже превышает амплитуду помехи. Наконец, если частота помехи велика, то амплитуда ошибки мала, так как помеха гасится при прохождении через совокупность инерционных звеньев с экви­ валентной а. ф. х. W (/со).

На основе выявленных закономерностей можно сформулиро­ вать требования к виду амплитудной характеристики разомкну­ того контура.

Учтем, что при малых частотах функция | W (/со) | > 1 , и поэ­ тому можно пренебречь единицей в знаменателе выражения (4.96):

Приближенные соотношения (4.99) и (4.100) можно использо­ вать для выбора формы и конкретного расположения характери­ стики | (/со) | по известной частоте и амплитуде внешнего воздейст­ вия и максимально допустимой амплитуде сигнала ошибки. На­ пример, если на некоторой низкой частоте (о„ максимальная ам­ плитуда сигнала ошибки ет должна быть в раз меньше ампли­ туды воздействия х3т, то характеристика разомкнутого контура (рис. 4.11) должна проходить не ниже точки с координатами со„, Если, кроме этого, необходимо, чтобы амплитуда составляющей ошибки, создаваемой высокочастотной помехой лгп, была в 62 раз меньше амплитуды помехи, то функция | W (/со) | должна прохо­ дить не выше точки с координатами сов, 1/62.

Рассмотрим влияние закона регулирования на форму а. ч. х. системы. На рис. 4.12 толстой линией изображены графики функ­ ции | ФЕЗ (/со) | при пропорциональном законе регулирования. Тон­ кими линиями показаны эти же характеристики при различных сочетаниях коэффициентов пропорциональной, интегральной и диф­ ференциальной составляющей закона регулирования (4.65).

Увеличение коэффициента kn улучшает точность системы на низких частотах, но повышает колебательность системы (рис. 4.12, а).

Очевидно, что при отсутствии регулирования амплитуда колебаний вы­ ходного сигнала будет равна амплитуде колебаний возмущения хв, прило­ женного непосредственно к выходу объекта, т. е. хт = хвт = 5.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы по каналу хв—х:

Согласно формуле (4.96) амплитуда хт колебаний выходного сигнала около стабилизируемого значения

^/(k - Taiy + al

Система стабилизации уменьшает амплитуду колебаний выходного сиг­ нала приблизительно в 2 раза. Этот же результат можно получить и по при­ ближенной формуле (4.99).

Контрольные задания и вопросы

1.Как изображаются отдельное звено W и его сигналы х и у на алго­ ритмической схеме и сигнальном графе системы?

2.Запишите выражения для эквивалентных передаточных функций типовых соединений из двух элементов.

3.Что такое разомкнутый контур системы и чему равна его передаточ­ ная функция?

4.По какому общему правилу вычисляется передаточная функция замк­

6.Найдите с помощью формулы Мейсона передаточную функцию мно­ гоконтурной системы (рис. 4.3, а и 4.4, а) между вершинами А и В.

7.Как перейти от известной передаточной функции замкнутой системы

по одному каналу х —у к операторному уравнению динамики этого канала?

8.Как записывается в общем случае характеристическое уравнение замкнутой системы через передаточную функцию разомкнутого контура?

9.Составьте характеристическое уравнение системы стабилизации по­

дачи руды (см. рис. 4.6).

10.Нарисуйте обобщенную алгоритмическую схему типовой однокон­ турной системы управления, состоящей из объекта Wo и регулятора №р.

11.Какие внешние воздействия обычно рассматриваются при анализе

типовой системы? Чему равен сигнал ошибки в системе с единичной обрат­ ной свяэью?

12.Запишите передаточные функции типовой замкнутой системы (см. рис. 4.7, б) по основным каналам.

13.Запишите передаточную функцию ПИ-регулятора.

14.Из каких составляющих складывается сигнал ошибки в типовой

системе? От каких внешних воздействий они зависят?

15. Как связаны сигнал ошибки и его составляющие с передаточной функцией разомкнутого контура?

18.Какая система называется астатической? От наличия каких типовых звеньев в контуре системы зависит ее астатизм?

19.При каком соотношении между степенным показателем q внешнего

воздействия и порядком астатизма v установившаяся ошибка равна нулю? 20. Как зависит установившаяся ошибка от коэффициента разомкнутого

Глава 5 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

5.1. Понятие, виды и общее условие устойчивости

Одной из важнейших характеристик автоматической системы управления наряду с точностью является устойчивость. Причем, если показатели точности определяют степень полезности и эффек­ тивности системы, то от устойчивости зависит работоспособность системы. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не спо­ собна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность (т. е. система вредна). Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состоя­ ние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления.

Раскроем физический смысл понятия «устойчивость». Устойчи­ вость автоматической системы — это свойство системы возвра­ щаться в исходное состояние равновесия после прекращения воз­ действия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно уда­ ляется от него.

Неустойчивость автоматических систем управления возникает, как правило, из-за неправильного или очень сильного действия главной обратной связи. Неправильное действие главной обратной связи имеет место обычно в тех случаях, когда из-за ошибки, до­ пущенной при монтаже системы, связь оказывается положитель­ ной (вместо отрицательной), что практически при любых парамет­ рах делает систему неустойчивой. Возникающую при этом неустой­ чивость называют статической.

Более сложным и более распространенным видом неустойчи­ вости является динамическая неустойчивость. Она проявляется в системах с отрицательной обратной связью, при достаточно боль­ шом значении передаточного коэффициента разомкнутого контура (k 8) и при количестве инерционных звеньев, не меньшем трех. Причиной динамической неустойчивости обычно является значи­ тельная инерционность элементов замкнутого контура, из-за ко­ торой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи значительно отстает от входного сигнала и оказывается с ним в фазе. Эт° означает, что связь, выполненная конструктивно как отрица­ тельная (в статическом режиме!), в динамике (в режиме гармони­

ческих колебаний) проявляется на определенной частоте как по­ ложительная.

Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустой­ чивости. Согласно данному выше физическому определению устой­ чивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы опи­ сывается однородным дифференциальным уравнением

от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (2.57), на устойчивость системы не влияет.

Дадим математическое определение понятия «устойчивость». Система является устойчивой, если свободная составляющая хс (t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т. е. если

Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стре­ миться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воз­ действием и правой частью уравнения (2.57). Устойчивость в смысле условия (5 .2) принято называть асимптотической.

Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т. е. если

то система неустойчива.

Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (5.1), устойчива. Решение уравнения (5.1) равно сумме