книги / Теория автоматического управления
..pdfтеля качества (например, а, М) по варьируемому параметру kL. Например, для передаточной функции Ф (/?, Д£), зависящей от па раметра kh функция чувствительности
s t t ( p) [ в о ( р , |
(6.95) |
где ki0 — расчетное (исходное) значение параметра |
kt. |
Часто вместо функций чувствительности в виде отношения диф ференциалов (6.95) используют относительную функцию чувстви
тельности |
|
|
|
|
4?(Р> = I |
РФ (?> |
kj) |
ki |
(6.96) |
dki |
I ^ii |
|||
|
|
ID Ф (P, |
ki) |
|
Аналогично можно определить функции чувствительности и для частотных характеристик. Для числовых показателей качества (а, М) чувствительность оценивается при помощи коэффициентов чувствительности.
Функция чувствительности (6.95) приближенно определяет так называемую дополнительную передаточную функцию
Ак[Ф(р, kc) ж S t^ p ) Ak(. |
(6.97) |
При ступенчатом координатном воздействии на систему допол нительная передаточная функция будет порождать дополнительное изменение (движение) выходной координаты
A*(x(0 = |
SJt (0Afei, |
(6.98) |
где |
|
|
S hkt (t) = [dh(t, k d l d k t ] ^ |
(6.99) |
|
— функция |
чувствительности переходной характеристики |
по от |
ношению к |
параметру; kL. |
|
Из выражения (6.98) следует:
чем меньше значения функции чувствительности (т. е. чем гру бее система), тем меньше дополнительное отклонение выходной координаты и , следовательно, лучше качество системы.
Так как функция S k. в общем случае может быть комплексной
величиной, то, говоря об уменьшении или увеличении функции чувствительности, имеют в виду уменьшение или увеличение ее модуля.
Одной из важных характеристик типовой системы, состоящей
из регулятора Wp (р) |
и объекта |
W0 (р) =■■ k0W*0 (р) (см. |
4.3), яв |
|||
ляется |
относительная |
функция чувствительности |
|
|||
sf |
(р) = Г |
<*?>■ У -1 — |
— |
, |
(6.100) |
|
° КИ’ L |
dk0 |
J Ф (р, |
*о) |
|
|
|
которая отражает влияние нестабильности передаточного коэффи циента объекта k0 на передаточную функцию замкнутой системы Ф (р).
Если в (6.100) подставить функцию (4.48) типовой системы, то получим выражение
sfo (p) = [\ + Wp (р) W0 (р )Г \ |
(6.101) |
которое означает:
чувствительность типовой системы регулирования к измене ниям свойств объекта полностью определяется только переда точной функцией разомкнутого контура.
Для дополнительных приращений, обусловленных чувствитель ностью системы к параметрическим возмущениям, справедлив прин цип суперпозиции. Так, если передаточная функция зависит от нескольких изменяющихся параметров, то дополнительная пере даточная функция
|
klt К |
U « |
т |
Sf. (р) Д/г,-, |
|
|
ДФ (р, |
£ |
(6.102) |
||||
|
|
|
|
1=1 |
1 |
|
соответственно |
дополнительное |
движение |
|
|||
Ax(t) « |
т |
Sf.(t) |
Akt. |
|
|
|
£ |
|
|
(6.103) |
|||
|
1=1 |
1' |
|
|
|
|
Пример. Найдем для колебательной модели (6.21) и (6.31) замкнутой системы соотношение ее параметров k и Т01, при котором чувствительность показателя колебательности М к изменениям коэффициента k отсутствует.
Показатель колебательности данной системы согласно формулам (6.27) и (6.35)
М = 2 к Т 01!л/4кТ01 — \ |
(при kTQi> 0 ,5 ) . |
6.104) |
||||||
Коэффициент |
|
чувствительности показателя |
|
|||||
S M = S |
д М \ |
_ |
2Т01 (2k0T ol - 1) |
(6.105) |
||||
* |
V |
dk |
)k=k, ' |
(4k0T0l - |
l)3/2 |
|||
|
||||||||
равен |
нулю при |
условии k0T01 = 0,5, |
что соответствует £ = 0,7. |
|
||||
Этот результат означает, что система является нечувствительной (гру |
||||||||
бой) к вариациям |
параметра k только |
тогда, когда сам показатель |
М = 1, |
|||||
т.е. система неколебательна.
6.5.Оценка управляемости и наблюдаемости многомерного объекта
При проектировании систем управления сложными многомер ными объектами необходимо предварительно оценить такие струк турные свойства '^объектов как управляемость и наблюдаемость. Изложим кратко понятия и условия управляемости и наблюдае мости, разработанные американским математиком Р. Калманом.
222
Пусть имеется многомерный линейный стационарный объект управления, представленный в виде модели в переменных состоя ния (см. 2.9):
х (0 = А х (0 + By (0; |
(6.106) |
x B(t) = Cx(t), |
(6.107) |
где А, В, С — матрицы |
постоянных коэффициентов с размерами |
соответственно п X /г, п |
X m, / X п. |
Объект (6.106) называют полностью управляемым, если его можно с помощью некоторого ограниченного управляющего воздействия
у (/) |
перевести в течение конечного интервала |
времени |
tK из лю |
бого |
начального состояния х (0) в заданное |
конечное |
состояние |
•* Щ Дда осуществления такого перевода объекта необходимо (но не
достаточно!), чтобы |
каждая из переменных состояния |
Xj (у |
= |
1; |
|||
2; |
.1. ; |
п) |
зависела |
хотя бы от одной из составляющих yt (i |
= |
1; |
|
2; |
; |
т) |
вектора |
управления у (/). Очевидно*'также, |
что об уп |
||
равляемости объекта с п переменными состояния и т управляющими воздействиями нельзя судить только по соотношению этих размер ностей, так как она зависит еще и от структуры матриц А и В.
Математически условие полной управляемости формулируется так: стационарный объект (6.106) полностью управляем, если и только если блочная матрица размером п X пт, определяемая выражением
Qy = [В j АВ | А 2В ! |
i А“- 1В] |
(6.108) |
и называемая матрицей |
управляемости, |
имеет фанг, равный раз |
мерности п пространства состояний объекта, т. е. если |
||
rankQy = n. |
|
(6.109) |
Запись в правой части (6.108) означает матрицу, у которой пер вые т столбцов совпадают со столбцами матрицы S, следующие т столбцов — со столбцами произведения матриц АВ и т. д., а по следние т столбцов образованы столбцами произведения матриц Ап~1В. Вертикальные пунктирные линии в блочной матрице (6.108) отделяют друг от друга простые (неблочные) матрицы. Ранг мат рицы находят как наибольшй порядок отличных от нуля квадрат ных миноров матрицы.
Необходимое и достаточное условие (6.109) означает, что мат
рица управляемости (6.108) должна содержать |
линейно незави |
|
симых столбцов. |
когда ранг г матрицы В" больше единицы, |
|
В частном случае, |
||
условие‘управляемости имеет вид |
|
|
rank [В j АВ ! |
; А п~гВ] = п. |
( 6. 110) |
223
Если управление у (/) — скалярная функция времени и мат рица В превращается в матрицу-столбец, то для полной управляе мости необходимо и достаточно, чтобы квадратная матрица управ ляемости Qy не была вырожденной, т. е. чтобы ее определитель
det QyФ 0. |
(6.111) |
В другом частном случае, |
когда А — диагональная матрица |
и все ее элементы различны, для управляемости необходимо и до статочно, чтобы матрица В не содержала нулевых строк.
Если ранг матрицы Qy меньше п, то система будет неполностью управляемой.
Наряду с управляемостью состояния х (/)’можно рассматривать управляемость выхода х в (t) объекта. Условие управляемости вы
хода объекта |
|
rank Qy. в= rank [\CB\CAB\ СА 2В i |
\САп~'В] = 1, (6.112) |
где I — размерность вектора выхода |
х в (/). |
Перейдем к понятию и условию наблюдаемости. Линейный ста ционарный объект, описываемый уравнениями состояния (6.106) и выхода (6.107), называется полностью наблюдаемым, если по ре зультатам наблюдения (измерения или измерения и вычисления) выхода х ъ {() можно определить (восстановить) предыдущие значе ния переменных состояния x{t). Если матрица С — квадратная и невырожденная, то решение задачи наблюдения становится три виальным, так как в этом случае возможно преобразование
x(t) = C~1x B{t). |
(6.113) |
Для полной наблюдаемости или восстанавливаемости объекта необходимо (но не достаточно!), чтобы каждая переменная состоя
ния х,- (t) (/ = 1; 2; |
; п) |
была связана по меньшей мере с одним |
||
из выходных сигналов xBi (t) (i = |
1; 2; |
; /), т. е. чтобы хотя бы |
||
один из коэффициентов с^, |
с2„ |
, сц |
не был равен нулю. Дру |
|
гими словами, для наблюдаемости необходимо, чтобы матрица выхода С не содержала столбцов, все элементы которых равны нулю.
Для наблюдаемости объекта с одним выходным сигналом (/ = 1) необходимо, чтобы все коэффициенты сх/ были отличны от нуля.
Необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости
является следующее требование к матрице наблюдаемости:
rank Q„ = rank [СТ \ А ТСТ\ (А т)2 Стj |
| (Ат)п~ 1Ст\ = п, |
|
(6.114) |
где Т — символ транспортирования матрицы. Если же ранг этой
матрицы меньше п, то |
система будет неполностью наблюдаемой. |
В частном случае, |
когда выход х в (t) — скалярная величина |
и матрица С состоит соответственно лишь из одной строки, необхо-
224
димое и достаточное условие наблюдаемости сводится к невырож денности квадратной матрицы наблюдаемости QH.
Если А — диагональная матрица с различными элементами, то для наблюдаемости необходимо и достаточно, чтобы матрица не
содержала нулевых столбцов. |
|
||
Для |
объектов, |
заданных скалярной передаточной функцией |
|
Wo (Р) |
К (fl)ID (Р)у условием |
управляемости и наблюдаемости |
|
является отсутствие общих корней у полиномов К (р) и D (р). |
|||
Пример. Оценим |
управляемость |
и наблюдаемость смесительного бака, |
|
рассмотренного в примере к 2.9 как объект управления. Его матрицы имеют
вид |
[см. (2.197)]: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Г — II2T; |
|
0 |
1- |
1 |
|
|
|
|
- |
1 |
L |
0; |
|
Ь22 |
|
|
||
|
|
— 1/7* J • |
|
|
||||||
|
|
|
' |
1/2Г; |
о - |
|
|
|
|
|
|
с |
= |
|
0; |
1 |
Г |
|
|
(6.115) |
|
|
|
|
. |
1/S; |
0 . |
|
|
|
|
|
где |
Ъ21 = |
(Cio—c0)/V0\ |
b22 = |
(c20—c0)/V0. |
Очевидно, что |
п = 2; т = |
2; |
|||
/ = |
3. |
как матрица |
А — диагональная с |
неодинаковыми |
элементами, |
то |
||||
|
Так |
|||||||||
для управляемости необходимо и достаточно, чтобы матрица В не имела ну левых строк. Очевидно, что это условие в данном примере выполняется.
Однако, если концентрации компонента с10 и с2о во входных потоках
одинаковы, |
то и концентрация в выходном потоке будет с = |
с0 = с10 = с20 |
|||||||||||||
и элементы |
Ь12 = |
Ь22 = |
0, |
т. е. состояние объекта управляемо лишь ча |
|||||||||||
стично. Управляема |
только |
одна |
переменная |
состояния— x 1 ( t ) = |
AV (t), |
||||||||||
а вторая х 2 |
(t) = |
Ас (t) — неуправляема, что легко объяснить с физической |
|||||||||||||
точки |
зрения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
что при с10 Ф с20 |
объект |
||||
Применяя условие (6.112), можно убедиться, |
|||||||||||||||
(6.106) |
управляем |
и |
по |
выходу: rank Qy. в = |
/ = |
3. |
|
|
|
||||||
Оценим теперь наблюдаемость объекта. Применим условие (6.114): |
|||||||||||||||
rank Qн = |
rank [СТ i А ТСТ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
rank |
|■ 1/2Т; |
0; |
US |
!if — 1/2Г; |
0 |
^( |
1/2T; |
0; |
1/S |
|
||||
|
|
|
|
|
1; |
0 |
1 |
|
- 1 I T ) |
( |
0; |
l; |
0 |
|
|
|
|
. |
0; |
|
|
^ |
0; |
|
|
||||||
= |
rank |
• |
1/2Г; |
0; |
1/S; |
— 1/4Г2; |
0; |
|
|
— 1/2TS |
‘ |
|
(6.116) |
||
| |
0; |
|
1; |
0; |
|
0; |
— UT; |
|
0 |
|
] = 2' |
||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
т.е. объект полностью наблюдаем.
6.6.Методы расчета переходных процессов на АВМ и ЦВМ
Переходная характеристика h (t), по которой непосредственно оценивается качество системы управления, может быть получена с помощью расчетов, выполняемых на современных АВМ и ЦВМ. Используемые при этом различные математические методы и тех
нические приемы можно объединить в две группы: методы структур ного моделирования и методы численного интегрирования. При структурном моделировании исходной основой для расчетов яв ляется алгоритмическая схема системы, состоящая из типовых ди намических звеньев или из элементарных операционных элементов (см. 2 . 10), а сама расчетная модель имеет такую же структуру, как и имитируемая система. Для применения методов численного ин тегрирования рассчитываемая система управления должна быть представлена в виде совокупности дифференциальных уравнений.
Структурное моделирование на АВМ и ЦВМ . Изложим мето*
дику структурного моделирования применительно к конкретной системе регулирования, которая описывается по каналу х3—х передаточной функцией
ф ( р ) = - Ш - |
= ----- ^Рг+.М + Ь2---- |
(6.117) |
*3 (р) |
(hP3+ а\Рг + а2р + а3 |
|
или неоднородным дифференциальным уравнением в операторной форме
(а0р3+ ахр2 + а2р + аэ) х (t) = (b0p2-f bxp + b2) х3(t). |
(6.118) |
Передаточной функции (6.117) и дифференциальному уравне нию (6.118) эквивалентна (см. 2.9) система уравнений первого по рядка, записанная в нормальной форме Коши. Переход к нормаль ной форме удобно осуществлять с помощью диаграммы состоя ния — сигнального графа системы, составленного аналогично ал горитмической схеме на рис. 2.16. Диаграмма состояния (рис. 6.12) соответствует (6.117) и (6.118). Прямые стрелки-дуги между вер шинами х4, х3, х 2 и Хх означают операции либо непрерывного, либо дискретного интегрирования с единичными коэффициентами. Если диаграмма в дальнейшем используется для аналогового моделиро вания, то каждой указанной дуге соответствует непрерывный ин тегратор (см. рис. 2.19, д, е), а если для цифрового — дискретный (реккурентный) интегратор (см. рис. 2 .20, д, е).
Диаграмма состояния может использоваться и для анализа со ответствующей импульсной системы, но в этом случае передаточ ные свойства интегрирующих дуг описываются с помощью опера тора задержки (см. гл. 10).
Согласно диаграмме (см. рис. 6.12) можно записать в форме Коши
систему из трех дифференциальных уравнений состояния: |
|
рх1 (0 = М 0 ; |
|
px2(t) = xз (/); |
(6.119) |
рхз (0 = а0 1 [—а3Хх (t)—а2х2 {t)— alX3 (t) + х 3 (01 |
|
Рис. 6.12. Диаграмма состояния передаточной функции (6.117)
и алгебраическое уравнение выхода |
|
|
* (0 = Ь2хг (t) + bjX2(t) + b0x3(t), |
(6.120) |
|
где х г ((); x 2 (() — x L (/); |
x3 (t) = x 2(t) = x t (t) — вспомогатель- |
|
ная переменная и ее производные (см. 2 .9). |
|
|
При а н а л о г о в о м |
м о д е л и р о в а н и и |
из операцион |
ных элементов, описанных в 2 . 10, составляется структурная схема модели, соответствующая диаграмме состояния (см. рис. 6.12) и уравнениям (6.119), (6.120). При этом может применяться масшта бирование как основных переменных х3, х, так и времени.
Масштаб тх основных переменных выбирается таким, чтобы машинные переменные иХз = тхх3 и их = тхх не выходили за
рабочий диапазон напряжений (для большинства АВМ этот диапа
зон ± |
10 В или |
± |
100 В). Масштабирование по времени (см. 2.4) |
|
осуществляется |
как |
с целью замедления |
переходного процесса |
|
{mt > |
1), так и с целью его ускорения (mt |
< 1). При mt = 1 про |
||
цесс получается на АВМ в реальном масштабе времени. Масштаб времени целесообразно выбирать, исходя из предполагаемой дли тельности /п переходного процесса и желательной длительности tM решения задачи на АВМ: mt = t j t n.
Структурная схема моделирования может составляться также из аналоговых моделей типовых звеньев (см. гл. 3). В этом случае структура модели воспроизводит не диаграмму состояния (см. рис. 6. 12), а совпадает с алгоритмической схемой моделируемой системы регулирования.
При обоих вариантах составления схемы моделирования на АВМ (из простейших операционных элементов и из типовых моделей) необходимо обращать внимание на знаки промежуточных сигналов и их соответствие исходной схеме.
Для ц и ф р о в о г о м о д е л и р о в а н и я вместо (6.119) и (6. 120) можно записать соответствующие разностные уравнения:
8* |
227 |
xi (i + 1) = * 1 ( 0 + x2 (0 Д*;
x2 (i 4" 1) = |
x2(i) -f-x3(t) AF, |
|
*з ( i + 1) = |
*з (0 + oo-1 [ — а 3*! (0 — |
(6 . 121) |
—02*2 (0 — ■a i x 3 (0 + *з (01Д*;
x(t) = 6^1 (t) + bxx2 (i) + b0x3(i).
Уравнения (6.121) записаны применительно к самому простому варианту численного интегрирования — методу Эйлера или пря мой разности, согласно которому дискретное (приближенное) зна чение у (t) интеграла
t |
(6.122) |
У ф = $х<Р) |
|
0 |
|
равно |
|
У(0 = y{i — l) + x (i— 1) M |
(6.123) |
или |
|
y ( i+ l) = y (i)+ x (i)A t, |
(6.124) |
где A t — шаг интегрирования.
Получаемые по этому методу достаточно простые разностные уравнения легко программируются для ЦВМ. Например, про грамма на языке Фортран (транслятор — микроЭВМ «Искра-1256»)
для расчета [по уравнениям |
(6. 121)] переходного процесса |
х (/) |
||
в системе |
регулирования (6.117) с шагом интегрирования |
At — |
||
= 0,01 |
с в интервале tK = 2 |
с имеет следующий вид: |
|
|
PROGRAM |
|
|
||
АО= 0.027 А1 = 0.34 А2 = 2.65 АЗ =18 |
|
|||
В0 = 0.155 Bl = 1.0 В2 = |
18 |
|
||
Z1 = 0 |
Z2 = 0 Т = 0.01 |
|
|
|
D0 |
15 |
В = 0.1, 2, 0.1 |
|
|
D0 |
10 |
1 = 1, 10 |
|
|
XI = Z1 + Т *Z2 X2 = Z2 + T *Z3
ХЗ = Z3 + (— АЗ * Z1 —A2 * Z2 —A1 * Z3 + 1) * T/A0
Z1 = X 1 Z 2 -X 2 Z 3= X 3
10 CONTINUE
X = B2*Z1 + B 1 *Z 2+ B 0*Z 3
WRITE (6,2) В, X
2 FORMAT ('B = ', F6. 2, ЗХ / X = ', E 10.4)
15 CONTINUE STOP
END
Идея и принципы структурного моделирования систем управ ления на ЦВМ за последние 10—15 лет интенсивно развивались и в настоящее время реализованы в виде специальных пакетов при кладных программ. Примерами таких пакетов являются разрабо танные в Московском и Ивановском энергетических институтах программные системы и комплексы МАСС и МИК. Они предназна чены для решения широкого круга задач имитационного моделиро вания и машинного проектирования систем управления. Пакеты составлены на специализированном для задач ТАУ проблемно-ори ентированном языке, основой которого являются типовые функ циональные блоки: динамические звенья, сумматоры, нелинейные и логические функции.
Поскольку при вычислении в ЦВМ выходного сигнала х (i) независимой переменной фактически является не время, а теку щий номер i шага интегрирования, то получаемый в виде таблицы переходный процесс будет соответствовать реальному масштабу времени.
Численное интегрирование на ЦВМ . Расчет переходных про
цессов в системах регулирования высокого порядка удобно вы полнять методом матричных рядов. Для этого векторные урав нения состояния и выхода [см. (2.136) и (2.159)], описывающие
замкнутую систему (например, по |
каналу ув—е) |
|
х (t) = А зх (t) + в 3ув (0; |
(6-125) |
|
z(t) = C3x(t), |
(6.126) |
|
преобразуют в разностную форму: |
|
|
х (i + |
1) = А*3х (0 + ВзУв (0; |
(6*127) |
е(0 = |
C3x(i). |
(6.128) |
Матрицы Л*, 5* зависят от исходных матриц Л3, В3 и от спо
соба приближенного интегрирования векторного уравнения пер вого порядка (6.125) и в общем случае представляют собой матрич ные степенные ряды типа (2.181) (отсюда название метода). При приближенном интегрировании по формуле Эйлера (или пря моугольников) с шагом Дt эти матричные ряды содержат только первые слагаемые:
А*3 = 1 + А 3М, в1 = Ш В 3. |
(6.129) |
Разностное уравнение (6.127) можно рассматривать как прибли женную модель исходной непрерывной системы (6.125), записанную с приближением нулевого порядка для дискретных моментов вре-
229
мени t = ti |
=-- i'A/ (i = 0; 1; |
oo). Модель выражает состояние |
системы на |
(t + 1)-м шаге через |
ее состояние на предыдущем i-м |
шаге, т. е. по-существу, является реккурентным алгоритмом реше ния исходного уравнения. Согласно этому алгоритму вычисление дискретных значений переменных состояния х (i) и сигнала ошибки е (i) сводится к последовательному выполнению в ЦВМ однотипных преобразований матриц — умножению постоянных матриц А\, В\
и С3 на векторы-столбцы х (/) и ув (i). Значения вектора-столбца внешнего воздействия у в (i) вводятся в ЦВМ в табличной форме.
Кроме описанного метода матричных рядов, для расчета пере ходных процессов систем высокого порядка могут использоваться различные стандартные методы численного интегрирования диф ференциальных уравнений (например, Рунге-Кута, Адамса-Баш- форта, Хемминга и др.). Эти методы реализованы обычно в виде библиотечных подпрограмм, которые входят в стандартное мате матическое обеспечение универсальных ЦВМ.
Для обращения к таким подпрограммам модель системы, для которой рассчитывается переходный процесс, должна быть пред ставлена в нормальной форме Коши (6.119). Если исходное урав нение системы является неоднородным — с правой частью, как
(6.118), |
то приходится, |
кроме обычных (предначальных) условий |
х { — 0), |
учитывать так |
называемые эквивалентные начальные ус |
ловия л :(+ 0), имеющие место непосредственно после приложения ступенчатого воздействия.
Для обеспечения необходимой точности расчета шаг дискрети зации А/ при любом способе цифрового моделирования или чис ленного интегрирования должен быть выбран достаточно малым по сравнению с каким-либо базовым показателем инерционности исследуемой системы. В качестве такого показателя обычно при нимают резонансную частоту сор или близкую к ней частоту среза (оср (см. 6.2). По частоте среза можно оценить верхний допустимый
предел шага интегрирования |
|
Д/<(1-М ,5)/<оср, |
(6.130) |
а также ожидаемую длительность переходного процесса, которая при удовлетворительной настройке системы регулирования равна
tn& ( 7ч-10)/(оср. |
(6.131) |
Обычно рекомендуются следующие параметры режима вычис лений:
конечное время счета |
|
||
| |
^ |
10/соСр; |
(6.132) |
шаг интегрирования |
|
||
|А/ |
< |
(0,005-н 0,010) /к; |
(6.133) |