книги / Теория автоматического управления
..pdfnp
/J Р*о)
/
вJQ(cj)
Puc. 5.11. Определение предельного передаточного коэффициента
систем ап = 1 + &, а |
для астатических ап = k. |
Если увеличивать |
|
коэффициент k , то будет увеличиваться |
только |
коэффициент ап, |
|
и характеристическая |
кривая F (/со) без |
деформации будет пере |
|
мещаться вправо (рис. 5.11, в). Очевидно, что при некотором пре дельном значении коэффициента апу а следовательно, и коэффи циента k y кривая F (/со) пройдет через начало координат, т. е. си стема будет на границе устойчивости.
Таким образом, установлена одна из важнейших в ТАУ законо мерностей:
чем больше общий передаточный коэффициент разомкнутого контура системы регулирования, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.
Предельное значение передаточного коэффициента зависит от соотношения постоянных времени звеньев, образующих контур системы. Рассмотрим, например, статическую систему, состоящую из трех инерционных звеньев первого порядка с передаточными коэффициентами k ly k 2f k3 и постоянными времени Т 1У Т 2, 7Y Ха рактеристическое уравнение такой системы
а0р3 + агр2 + а2р + а3= О, |
(5.110) |
где
(5.111)
Согласно критерию Гурвида система третьего порядка будет находиться на границе устойчивости при
Д2 = ОхОа—ЯоДз= 0. |
(5.112) |
Подставив в условие (5.112) коэффициенты (5.111), получим
(ТгТ%+ ГХТ3 + Т2Т3) (Тг+ Т2 + Т3)- Т 1Т2Тй(1 + knp) = 0.
(5.113)
Решив это равенство относительно k„p и выполнив некоторые дополнительные преобразования (деление на а0), получим выра жение для предельного коэффициента
Анализируя зависимость (5.114), можно доказать, что предель ный коэффициент тем больше, чем больше разность между двумя наиболее различающимися постоянными времени (например, Тх и Т 2) и чем ближе третья постоянная времени (Т3) к среднеарифме тическому значению двух первых.
Области устойчивости рассматриваемой статической системы третьего порядка, построенные в плоскости относительных постоян ных времени Т 2/ Т г и Т3!Т г для нескольких фиксированных значе-
5 Л |
к= 1 0 0 |
50 |
го |
10 |
в |
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
ом |
|
|
|
|
|
о,г |
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
0,06 |
|
|
|
|
|
0,04 |
|
|
|
|
|
о,ог |
|
|
|
|
|
0,01 |
о,оz |
0,04 0,06 0,1 о,г |
ом 1/т |
||
0,01 |
|||||
Рис. 5.12. Предельные передаточные коэффициенты системы из трех инерционных звеньев
ний |
общего передаточного коэффициента системы, показаны на |
рис. |
5.12. |
На основании выражения (5.114) можно сформулировать важ ное практическое правило:
предельное значение передаточного коэффициента системы за висит от соотношения постоянных времени и не зависит от их абсолютных значений.
Приведенное правило справедливо для систем любого порядка, и, поэтому, всегда при конструировании систем стремятся как можно больше «раздвинуть» постоянные времени. Однако измене ние постоянных времени с целью увеличения передаточного коэффи циента и улучшения точности системы во многих случаях оказы вается невозможным или нецелесообразным. Действительно, при конструировании элементов системы обычно принимают меры, на правленные на максимальное уменьшение постоянных времени, а поэтому дальнейшее их уменьшение, как правило, невозможно. Увеличение же постоянных времени нецелесообразно, так как ве дет к ухудшению быстродействия всей системы.
Эффективным средством достижения требуемой точности системы при сохранении ее устойчивости является изменение структуры системы путем добавления специальных стабилизирующих и кор ректирующих устройств (см. гл. 7).
Контрольные задания и вопросы
1.Дайте физическую трактовку понятия «устойчивая система управле
ния».
2.Запишите соответствующее этому физическому определению матема тическое условие асимптотической устойчивости системы.
3.Сформулируйте общее условие устойчивости линейной системы. Объясните, почему действительные корни характеристического уравнения системы должны быть обязательно отрицательными.
4.Покажите (используя необходимое условие устойчивости), что одно контурная статическая система с положительной обратной связью и переда
точным коэффициентом \k \ > 1 всегда неустойчива.
5.Убедитесь (используя критерий Гурвица), что замкнутая система, образованная из двух инерционных статических звеньев первого порядка, устойчива при любых значениях общего передаточного коэффициента.
6.Покажите с помощью критерия Гурвица, что предельное по условию
устойчивости значение |
передаточного |
коэффициента |
k системы, состоящей |
||
из идеального интегрирующего |
звена и двух |
одинаковых инерционных |
|||
звеньев с постоянными |
времени |
Т г = |
Т 2 = Т , |
равно |
£Пр == 2/71. Найдите |
предельное значение передаточного коэффициента для случая, когда 7 \ Ф Т а. 7. Сформулируйте критерий Михайлова. Объясните, почему характе ристическая кривая обязательно начинается на действительной оси. Для анализа каких систем (замкнутых, разомкнутых) можно использовать кри
терий Михайлова?
8. Докажите с помощью критерия Михайлова, что система второго по
рядка, описываемая характеристическим |
уравнением |
а0р2+ dip + а2 = 0, |
(5.115) |
устойчива при любых положительных значениях коэффициентов уравнения.
7 За к. .Ye 507 |
193 |
9. Получите результат задания 6 с помощью критерия Михайлова. Используйте условие прохождения характеристической кривой через на чало координат: F (усо) = 0.
10.Сформулируйте критерий Найквиста для случая, когда разомкну тый контур системы устойчив. Дайте физическое объяснение особой роли точки (— 1; /0). В чем достоинства и недостатки критерия Найквиста?
11.Определите с помощью критерия Найквиста, при каких значениях коэффициента k устойчива замкнутая система, разомкнутый контур которой представляет собой неустойчивое звено первого порядка
W( p ) = k l ( T p - 1). |
(5.116) |
Используйте для этого понятие «полуохват».
12. Покажите с помощью критерия Найквиста, что в замкнутой системе,
состоящей из идеального интегрирующего звена |
|
|
W (р) = ki p |
|
(5.117) |
и звена запаздывания |
|
|
W(p) = e-P' |
|
(5.118) |
предельные (критические) значения запаздывания и |
передаточного |
коэффи |
циента связаны соотношением |
|
|
х = 2nlk. |
|
(5.119) |
Используйте для этого условие (5.49). |
устойчивости |
методом |
13. Объясните, почему при построении областей |
D-разбиения в характеристическом уравнении делается подстановка р = /©.
14.Найдите методом D -разбиения допустимый диапазон изменения пе редаточного коэффициента системы, рассмотренной в задании 6.
15.Для системы, состоящей из ПИ-регулятора и инерционного объекта второго порядка с двумя одинаковыми постоянными времени Т01 = Т 02.
постройте область устойчивости в плоскости настроечных параметров kn и /ги.
16.Какие типовые динамические звенья ухудшают структурную устой чивость одноконтурных систем и какие улучшают ее?
17.Как влияет общий передаточный коэффициент разомкнутого контура системы на ее устойчивость в замкнутом состоянии?
18.Покажите, что, в замкнутой системе, состоящей из п одинаковых инерционных звеньев первого порядка с Г; = 71, предельное по условию устойчивости значение общего передаточного коэффициента разомкнутого контура не зависит от постоянной времени Т и равно
*пр = ( У tg2 (я/я) 4- 1)п |
(5.120) |
Используйте условия прохождения а. ф. х. разомкнутого контура че рез точку (— 1; /0) и (5.49).
Глава 6
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ
6.1. Понятие и показатели качества управления
Понятие качества управления. Качество автоматической системы
управления определяется совокупностью свойств, обеспечиваю щих эффективное функционирование как самого объекта управле ния, так и управляющего устройства, т. е. всей системы управле ния в целом. Свойства, составляющие эту совокупность и имеющие количественные измерители, называют показателями качества си стемы управления.
Качество автоматической системы, как и любого технического устройства, может быть оценено такими общепринятыми по казателями, как вес системы, ее габариты, стоимость, надежность, долговечность и т. п. Совокупность этих общетехнических пока зателей характеризуют качество автоматической системы в широком смысле.
В теории автоматического управления и в практике автоматиза ции термины «качество системы», «качество управления» исполь зуют, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы. Эти свойства предо пределяют точность поддержания управляемой величины (выход ной величины объекта) на заданном уровне в установившихся и пе реходных режимах, т. е. обеспечивают эффективность п р о ц е с с а у п р а в л е н и я . Для такого, более узкого понятия качества автоматической системы, охватывающего только ее статические и динамические свойства, применяют термин «качество управле ния», а сами свойства системы, выраженные в количественной форме, называют показателями качества управления.
Точность системы в установившихся режимах как одна из важ нейших характеристик качества управления была рассмотрена в гл. 4. В настоящей главе будут рассмотрены показатели качества, характеризующие точность системы в переходных режимах.
Точность системы в переходных режимах оценивают при помощи прямых и косвенных показателей. Прямые показатели определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе при ступенчатом внешнем воздействии. Косвенные показатели качества определяют по распределению корней характеристического урав нения или. по частотным характеристикам системы.
Рис. 6.1. Типовые переходные процессы:
а— по заданию; б — по возмущению
Кособой категории показателей качества относятся так назы ваемые интегральные оценки, которые вычисляют либо непосредст венно по переходной функции системы, либо по коэффициентам передаточной функции системы (подробнее об оценках см. 6.3).
Точность системы в переходных режимах определяется величи нами отклонений управляехмой переменной х (t) от заданного зна чения х3 (t) и длительностью существования этих отклонений. Ве личина и длительность отклонений зависят от характера переход ного процесса в системе. Характер переходного процесса в свою очередь зависит как от свойств системы, так и от места приложения
внешнего воздействия.
При самой общей оценке качества обращают внимание прежде всего на форму переходного процесса. Различают следующие т и - п о в ы е п е р е х о д н ы е п р о ц е с с ы (рис. 6.1): колебатель ный (кривая /), монотонный (кривая 2) и апериодический (кривая 3).
Каждый из трех типовых процессов имеет свои преимущества
и недостатки, и предпочтение той или иной форме процесса делают
сучетом особенностей управляемого объекта. Так, например, в электромеханических объектах со сложными кинематическими пе редачами (экскаваторы, подъемные установки) нежелательны рез кие знакопеременные усилия, и поэтому при выборе настроек си
стем управления такими объектами стремятся к апериодическим и монотонным процессам. В системах управления обогатительными аппаратами большой емкости допустимы колебательные переход ные процессы, так как кратковременные отклонения управляемых величин не нарушают, как правило, нормальный режим работы аппарата и не ухудшают существенно показатели обогащения.
Рассмотрим основные показатели качества управления приме нительно к типовой одноконтурной системе регулирования (см. 4.3, рис. 4.7, б).
Прямые показатели. На графиках переходных процессов (рис. 6.2), вызванных ступенчатым изменением задающего воздейст-
196
а
Рис. 6.2. Прямые показатели качества процесса регулирования:
а — по |
каналу задания; б — по каналу позмущения |
|
|
вия *з |
(а) и возмущения ув, действующего на |
входе объекта (б), |
|
за начало отсчета для выходной |
величины х (t) |
принято значение |
|
х (— 0), которое было до подачи |
ступенчатого воздействия. |
||
Одним из главных прямых показателей качества является пе ререгулирование о (%), которое равно отношению первого макси мального отклонения управляемой переменной х (t) от ее устано
вившегося значения х (оо) |
к этому установившемуся |
значению |
|
(см. рис. |
6.2, а): |
|
|
I о= |
*м~~*(оо) -100= |
-• 100, |
(6.1) |
I |
*(°°) |
*(°°) |
|
Качество управления считается удовлетворительным, если пе ререгулирование не превышает 30—40 %.
Для переходных процессов, вызванных возмущающим воздейст вием ув' на входе объекта (см. рис. 6.2, б), перерегулирование
можно определять как отношение второго (отрицательного) макси мального отклонения А 2 к первому максимальному отклонению А х:
о — |
----- 4s------ |
100 = -d*_. 100. |
(6 .2) |
|
хп — *(°°) |
Ai |
|
Показатель, вычисляемый по данной формуле для переходных процессов по каналу возмущения, называют также колебатель ностью. Другой важной характеристикой таких процессов служит
динамический коэффициент регулирования RA (%), который равен отношению первого максимального отклонения хм к отклонению выходной переменной х (/) нерегулируемого объекта, вызванному тем же возмущением, т. е.
Ra = ^ ~ 100. |
(6.3) |
Коэффициент Яд показывает, насколько эффективно компенси рующее действие регулятора на объект.
Отметим, что и само первое максимальное отклонение хм, воз никающее от возмущения на входе объекта, является показателем качества. При формировании требований к системе указывают до пустимое значение максимального отклонения (непосредственно в единицах измерения управляемой величины).
Длительность существования динамических отклонений управ ляемой величины х (/) от ее нового установившегося значения х (оо) принято оценивать с помощью нескольких характерных моментов времени. Самым важным из этой группы показателей является
длительность переходного процесса (время регулирования) /п — интервал времени от момента приложения ступенчатого воздейст вия до момента, после которого отклонения управляемой величины х {t) от ее нового установившегося значения х (оо) становятся меньше некоторого заданного числа бп, т. е. до момента, после ко торого выполняется условие | * ( / ) —>-* (оо) | < бп.
В промышленной автоматике величину бп принимают обычно равной 5 % от установившегося значения х (оо) [бп = 0,05 х (оо)]. При оценке длительности переходных процессов, вызванных еди ничным возмущающим воздействием ув на входе объекта (см. рис. 6.2, б), величину 6Пможно принимать равной 5 % от значения
передаточного |
коэффициента объекта k0 |
[бп = 0,05 k0], |
а для |
процессов, вызванных воздействием хв на |
выходе объекта, |
— 5 % |
|
от начального |
отклонения х (+ 0) [6П= |
0,05 л: (+ 0)]. |
|
Дополнительными временными показателями качества являются (см. рис. 6.2, а): время нарастания /н, время достижения первого максимума tMи период затухающих колебаний 7Y Эти показатели вместе с /п характеризуют быстродействие системы регулирования.
Прямым показателем качества служит также степень зат ухания
= 0 4 , - 4 , ) / ^ = 1 - Л 3М ь |
(6.4) |
Рис. 6.3. Влияние передаточного коэффициента разомкнутого контура на показатели переходного процесса
где А г и А 3 — соседние максимальные отклонения (амплитуды) одного знака (см. рис. 6.2, б). Интенсивность затухания колебаний
в системе считается |
удовлетворительной, если |
ф = 0,75 |
0,95. |
Колебательность |
системы можно оценивать, |
наряду |
с показа |
телями а и яр, числом переходов N величины х (t) через установив шееся значение х (оо) на интервале tn.
Три главных показателя качества — перерегулирование а, пер вое максимальное отклонение хм и длительность tn — тесно свя заны между собой. Они зависят от всех параметров системы, но наиболее сильно — от передаточного коэффициента разомкнутого контура. Причем, с увеличением этого коэффициента максимальное отклонение по каналу возмущения всегда уменьшается, а перере гулирование и длительность переходного процесса, как правило, увеличиваются (рис. 6.3). Отыскание оптимального компромисса между этими двумя противоречивыми тенденциями является одной из основных задач синтеза систем управления.
Рассмотренные прямые показатели качества удобно использо вать в тех случаях, когда график переходного процесса л; (t) можно получить экспериментально в реальной системе регулирования или путем моделирования системы на ЭВМ. Если же такой возмож ности нет или она связана с определенными трудностями решения! или моделирования дифференциальных уравнений высокого по рядка, то пользуются косвенными показателями качества, которые вычисляются без построения графика переходного процесса, по коэффициентам уравнения или по частотным характеристикам си стемы.
Частотные показатели. Наиболее важными и одновременно удобными косвенными показателями являются частотные пока затели, которые определяются по частотным характеристикам замкнутого и разомкнутого контура системы.
По амплитудной частотной характеристике А (со) замкнутой системы по основному каналу х3—х (рис. 6.4) оценивают частотный показатель колебательности М , равный отношению максимума Дм характеристики к ее начальному значению А (0):
М = ЛмМ(0). |
(6.5) |
Чем больше это отношение, тем сильнее колебательность си стемы (тем больше перерегулирование о) и, как следствие, больше длительность переходного процесса tn. Качество системы считается обычно удовлетворительным, если показатель М находится в пре делах 1,1—1,5.
Косвенными частотными показателями быстродействия системы служат характерные частоты (см. рис. 6.4): резонансная частота юр, частота незатухающих колебаний а>0 д* (ор и частота пропускания
(0П« |
Зю„. |
х. W (/со) разомкнутого контура |
определяют запас |
По |
а. ф. |
||
устойчивости |
по амплитуде (рис. 6.5, а) |
|
|
ДЛ = 1—А (а>я) |
(6.6) |
||
и запас устойчивости по фазе (рис. 6.5, б)
Дф = я — | ф (С0ср) I, |
(6 .7 ) |
которые вместе характеризуют удаленность кривой W (/со) от кри тической точки (— 1, /0). При проектировании систем обычно за-
200