книги / Теория автоматического управления

Корни характеристического уравнения могут быть действи­ тельными (рк = ак), мнимыми (рк = /рй) и комплексными

причем комплексные корни всегда попарно сопряжены между со­ бой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обяза­ тельно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.

Переходная составляющая (5.4) при t -> оо стремится к нулю

лишь в том случае, если каждое слагаемое вида Скерь* 0. Ха­ рактер этой функции времени зависит от вида корня рк. Рассмот­ рим все возможные случаи расположения корней рк на комплекс­ ной плоскости (рис. 5.1) и соответствующие им функции хк (/), ко­ торые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа).

Если ак < 0 (корень р х), то функция (5.7) при t ->• оо стремится к нулю. Если ак > 0 (корень р3), то функция (5.7) неограниченно

Рис. 5.1. Влияние корней характеристического уравнения системы на со­ ставляющие ее свободного движения

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой.

Мнимая ось /р является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (рк = + /Р*, Pk+i = —/Рл), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой со = = |p fe|. В этом случае говорят, что система находится на колеба­ тельной границе устойчивости.

Точка р = 0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

Применяя сформулированное выше условие для оценки устой­ чивости реальных систем, не следует забывать, что линейные урав­ нения типа (5.1), как правило, получаются в результате упрощений

илинеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает во­ прос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при ли­ неаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским ма­ тематиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеари­ зованному уравнению нельзя. Отброшенные при линеаризации малые члены могут сделать систему устойчивой или неустойчивой,

ипоэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать по исходному нелинейному уравнению.

Таким образом, для суждения об устойчивости линейной си­ стемы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.

Втеории автоматического управления разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая ха­ рактеристическое уравнение и не находя числовые значения са­ мих корней. Эти правила называются критериями устойчивости.

Простейшим критерием устойчивости является условие положи­ тельности коэффициентов характеристического уравнения. Поло­ жительность коэффициентов уравнения (5.4) является необходимым (но не достаточным!) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты положительны, то система может быть устойчивой или неустойчивой. Но если хотя бы один коэффициент уравнения отрицателен или равен нулю, то система неустойчива.

Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частот­

ными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и до­ статочные условия отрицательности корней в форме ограничений,

накладываемых на определенные комбинации коэффициентов ха­ рактеристического уравнения. Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характе­ ристик системы.

При анализе устойчивости систем управления обычно решают одну или несколько задач: 1) оценивают, устойчива или нет система при заданных параметрах; 2) определяют допустимый по условию устойчивости диапазон изменения некоторых незаданных парамет­ ров системы; 3) выясняют, может ли система при заданной струк­ туре быть в принципе устойчивой.

Первая задача может быть решена с помощью критериев, из­ ложенных в 5.2—5.4, вторая — построением областей устойчиво­ сти (см. 5.5), третья — с использованием условий структурной устойчивости (см. 5.6).

5.2. Алгебраические критерии устойчивости

Наиболее распространены в инженерной практике критерии Гурвица и Рауса (ниже приведены формулировки и методика при­ менения этих критериев без доказательства их справедливости).

Критерий Гурвица был сформулирован и доказан в 1895 г. не­ мецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой кри­ терий, решая чисто математическую задачу — задачу исследова­ ния устойчивости решений линейного дифференциального уравне­ ния. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого уче­ ного А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Применительно к задачам теории управления критерий Гур­ вица можно сформулировать так:

автоматическая система, описываемая характеристическим урав­ нением

0

Если хотя бы один из определителей (5.11), называемых опреде­ лителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Алгоритм вычисления коэффициентов (5.30) легко запрограмми­ ровать, поэтому критерий Рауса используют для анализа систем высокого порядка (п > 5) с помощью ЭВМ.

Преимуществом критериев Гурвица и Рауса является то, что

сих помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так

иразомкнутых систем. Вывод об устойчивости при применении этих критериев делается применительно к той системе (замкнутой или разомкнутой), уравнение которой анализируется.

Пример 2. Определим с помощью критерия Рауса устойчивость системы, описываемой характеристическим уравнением

Г71 = г 52 — (Г51г s J r e i) = 8 .

Один из коэффициентов первого столбца отрицателен (гб1 = — 89,5), следовательно, система (5.31) неустойчива. Так как знак коэффициентов

этого столбца меняется дважды (до и после гв1), то уравнение (5.31) имеет два правых корня.

5.3. Критерий Михайлова

Критерий Михайлова относится к группе частотных критериев устойчивости. Он был сформулирован и обоснован в 1936 г. совет­ ским ученым А. В. Михайловым в работе «Гармонический метод в теории регулирования», которая получила высокую оценку и по­ служила началом широкого применения частотных методов в тео­ рии автоматического управления.

Критерий Михайлова так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэ­

Подставим в этот полином вместо переменного р чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать /со. Тогда получим функцию комплексного переменного

которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

Действительная часть Р (со) содержит только четные степени переменного со:

Каждому фиксированному значению переменного со соответст­ вует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр со от О до оо, то конец вектора F (jсо) опишет некоторую линию (рис. 5.2, а),

которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости

системы.

Ф о р м у л и р о в к а к р и т е р и я М и х а й л о в а :

автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении со от 0 до оо ха-

160

рактеристический вектор системы F (/©) повернется против часовой стрелки на угол пя/2, не обращаясь при этом в нуль.

Эго означает, что характеристическая кривая устойчивой си­ стемы должна при изменении © до 0 до оо пройти последовательно через п квадрантов. Из выражений (5.35) и (5.36) следует, что кри­ вая F (j<o) всегда начинается в точке на действительной оси, уда­ ленной от начала координат на величину ап.

Характеристические кривые, соответствующие устойчивым си­ стемам (рис. 5.2, б), имеют плавную спиралеобразную форму и ухо­ дят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п квадран­ тов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис. 5.2, в).

Если кривая F (jсо) проходит через начало координат, то си­ стема находится на границе устойчивости. Действительно, если характеристическое уравнение имеет один нулевой корень р* = О (апериодическая граница устойчивости) или одну пару чисто мни-

170