книги / Теория автоматического управления

последовательного соединения п инерционных звеньев первого по­ рядка с одинаковыми постоянными времени Tt = т1п (рис. 3.18, б):

причем чем больше п, тем точнее такая аппроксимация. Приближенным представлениям (3.118) и (3.119) соответствуют

аналоговые модели: на рис. 3.18, в, для которой

на рис. 3.18, г, для которой

Модель (3.118) дает удовлетворительное приближение, если частота входного сигнала со < 1,5/т (рад/с).

Цифровая модель звена запаздывания (рис. 3.18, д) реализуется обычно в виде программы циклического смещения (переадресации), которая задерживает на i3 шагов или тактов дискретные значения входного сигнала х{:

паздывания т при интервале дискретности At.

Наиболее характерным примером звена запаздывания является ленточный питатель (рис. 3.19, а), транспортирующий сыпучий

татель, и количеством материала Qt (кг/с) на сходе питателя за­

Другим распространенным примером звена запаздывания яв­ ляется трубопровод (рис. 3.19, б), по которому в технологический объект управления подается жидкая среда (пульпа, раствор реа­ гента) в количестве Q2 = Qi (м3/с) с концентрацией полезного ком­ понента х г (/) = х г (/—т) (кг/м3).

Рис. 3.20. Переходные характеристики реального объекта (1) и его прибли­ женных моделей второго (2) и первого (3) порядка с запаздыванием

стики), и поэтому параметр тч можно установить лишь с определен­ ной погрешностью.

При расчете настроечных параметров систем управления объек­ тами с S-образными переходными характеристиками ориентируются либо непосредственно на параметры k0, Т0, т0, тч и тп, которые обобщенно (но не полно!) характеризуют статику и динамику ре­ ального объекта, либо используют упрощенные модели объекта, коэффициенты которых однозначно выражаются через указанные экспериментальные параметры.

М о д е л и n-го п о р я д к а . Если заведомо известно, что описываемый сложный объект состоит из нескольких одинаковых объектов первого порядка, соединенных последовательно, то наи­ более точное приближение к s-образной характеристике обеспечи­ вает передаточная функция

т. е. наилучшей моделью динамики объекта является последова­ тельное соединение п инерционных звеньев первого порядка с оди­ наковыми постоянными времени Toi и звена запаздывания с тч.

Модель (3.127) целесообразно использовать при исследовании систем управления на аналоговых или цифровых вычислительных машинах. Постоянную времени Toi и порядок п этой модели можно вычислить по экспериментально найденным параметрам Т0 и тп (или т0) с помощью соотношений, приведенных в табл. 3.2.

Т а 6 л и ц а 3.2

Связь между параметрами S -образной переходной характеристики (рис. 3.20) и параметрами аппроксимирующей модели (3.127)

Модель (3.127) может служить удовлетворительной аппрокси­ мацией и в тех случаях, когда объект состоит из неодинаковых звеньев. Важно только, чтобы у такого объекта число неодинако­ вых звеньев было не менее трех, а их постоянные времени незна­ чительно отличались друг от друга. Тогда кривая переходного про­ цесса сохраняет s-образную форму и динамика объекта может быть охарактеризована теми же параметрами Т0, т0, тч и тп.

Преимуществом модели (3.127) является возможность воспроиз­ ведения с ее помощью относительно большого полного запаздыва­ ния т0, состоящего только из переходного запаздывания т„. В прак­ тических задачах анализа и синтеза систем управления замена чи­ стого запаздывания тч переходным т„ обычно допустима. При этом исключается необходимость применения специальных блоков АВМ или программ ЦВМ, моделирующих чистое запаздывание.

Типичная кривая переходного процесса ODCE (см. рис. 3.20), имеющая участок чистого запаздывания OD и участок инерцион­ ного перехода DCE, может быть смоделирована двумя способами.

При первом способе переходный участок DCE, характеризуе­ мый отношением х„/Т0 (для рассматриваемого случая оно равно 0,75), воспроизводят на АВМ или ЦВМ дробно-рациональной частью передаточной функции (3.127) с порядком п и постоянными времени Г0,- (для рассматриваемого частного случая, согласно

который обеспечивает значение х„/Т0, близкое к эксперименталь­

ному, то изменяют положение точки D, т. е. искусственно перерас­ пределяют значения тч и тп (при неизменном суммарном т0). Пе­ рераспределение осуществляют таким образом, чтобы получить ближайшее целое значение п. Затем для принятого п по соотноше­ ниям T Q/ T OI и л и xJToif приведенным в табл. 3.2, и по эксперимен­ тальным значениям Т0 или тп вычисляют второй параметр модели (3.127) — постоянную времени T0i.

При втором способе моделирования полагают, что полное за­ паздывание т0 состоит только из переходного тп, т. е. т0 = тп, и всю переходную кривую ODCE, характеризуемую отношением т0/Г0, моделируют лишь дробно-рациональной частью с парамет­

смещения при этом отпадает. Но переходная характеристика с боль­ шим п приближается к трапециевидной форме — ломаной ОАВЕ и может, следовательно, существенно расходиться с исходной ап­ проксимируемой кривой.

В классе м о д е л е й в т о р о г о п о р я д к а достаточно хорошее приближение к s-образным переходным кривым дает пе­ редаточная функция с одинаковыми постоянными времени и за­ паздыванием:

модели однозначно выражаются через параметры Т0 и т0 экспери­ ментальной переходной характеристики.

Передаточной функции (3.128) соответствует кривая 2 , которая начинается в точке D' (см. рис. 3.20). Очевидно, что при данном способе аппроксимации почти весь интервал т0 должен быть смоде­ лирован как чистое запаздывание, т. е. тч = х0.

Модель (3.128) является наиболее рациональной для рассматри­ ваемых объектов, так как, с одной стороны, она обеспечивает до­ статочно хорошую аппроксимацию, а с другой, ее параметры легко определяются по переходной характеристике.

Если на графике переходной функции объекта h0 (t) не про­ сматривается характерный для s-образных кривых прямолинейный участок, а сама переходная кривая приближается к установивше­ муся значению h0 (оо) = k0 сравнительно медленно, пересекая вертикаль из точки В ниже значения ho = 0,80 k0, то более точ­ ную, чем модель (3.128), аппроксимацию может обеспечить переда­

Постоянные времени Т01 и Т02 определяют не через параметры Т0 и тп, а по некоторым характерным точкам графика переходного

процесса.

В большинстве случаев модель (3.129) обеспечивает достаточ­ ную для практических расчетов точность, если принять Т011Т02 = = 0,5 . При этом постоянные времени Т0\ и Т02 определяют сле­

характеристику можно приближенно заменить экспонентой с за­

выбирают таким образом, чтобы экспонента пересекала аппрокси­ мируемую кривую в двух точках и проходила в среднем наиболее близко к ней.

Очевидно, что такое математически нестрогое требование может быть выполнено при разных сочетаниях параметров То и TQ. Один из возможных способов определения параметров модели (3.130) заключается в следующем. Полагают, что экспонента начинается в той же точке, что и характеристика модели с двумя одинаковыми постоянными времени (точка Ь'), т. е.

Отметим, что применяемая часто модель первого порядка с па­ раметрами То = Т0 и То = т0 дает слишком грубое приближение к реальному объекту.

Пример. Аппроксимируем рассмотренными моделями динамику тепло­ вого объекта, экспериментальная переходная кривая которого характери­

Рассматриваемую характеристику можно аппроксимировать также мо­ делью (3.127) с чистым запаздыванием. Действительно, принимая п = 3,

получим согласно табл. 3.2: тп = 0,22 Т0 = 22 с; T0i = T j 3,7 « 27 с; тч = т0 — тп = 30—22 = 8 с.

17.Почему дифференцирующие звенья плохо пропускают медленно меняющиеся входные сигналы?

18.Постройте график выходного сигнала у (t) звена запаздывания при подаче на его вход линейного воздействия.

19.Напишите передаточную функцию звена запаздывания.

20. Определите для звена запаздывания с т = 10 с фазовый сдвиг (в ра­ дианах и градусах) и амплитуду выходного сигнала у (t) при действии на его входе синусоидального воздействия х (t) с о = 2 рад/с и хт = 50 кг/с.

21.Какая из рассмотренных в 3.8 моделей является наиболее точной для объекта с s-образной переходной характеристикой (см. рис. 3.20), а какая — наиболее простой?

22.Подберите по табл. 3.2 порядок п модели (3.127) для объекта с па­

Глава 4

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОЧНОСТИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Правила преобразования алгоритмических схем и сигнальных графов

Для оценки точности, устойчивости и качества управления замк­ нутых систем необходимо знать их уравнения статики и динамики. Уравнение динамики замкнутой системы можно получить на основе совокупности уравнений отдельных элементов, образующих си­ стему, путем последовательного исключения промежуточных переменных. Наиболее удобным для решения этой задачи объедине­ ния математических моделей элементов является метод структур­ ных преобразований, согласно которому по структуре системы с по­ мощью нескольких простых правил находят ее общую (эквивалент­ ную) передаточную функцию, а затем — соответствующее урав­ нение динамики.

Информация о структуре системы и передаточных свойствах ее элементов может быть задана в виде обычной алгоритмической схемы (см. 1 .2) или в виде сигнального графа.

Сигнальный граф системы управления представляет собой ори­ ентированный граф — совокупность дуг, изображающих отдельные звенья и указывающих направление передачи сигнала, и вершин, соответствующих входным и выходным сигналам звеньев. Отдель­ ному звену алгоритмической схемы, изображаемому прямоуголь­ ником, на сигнальном графе системы соответствует стрелка, сое­ диняющая вершины х и у (рис. 4.1, а). Около стрелки указывается передаточная функция звена. Соответствие между изображениями типовых соединений двух элементов на алгоритмических схемах и сигнальных графах показано на рис. 4.1, б—г. Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующий ей сигнал равен сумме всех выходных сигналов этих дуг. Если из вершины исходят не­ сколько дуг, то входные сигналы всех дуг одинаковы и равны сиг­ налу данной вершины. При необходимости изображения отдельного сигнала одной из суммируемых дуг вводят дополнительную дугу с W (р) (ем. графы на рис. 4.1, б и г).

Знак, с которым сигнал вводится на алгоритмической схеме в сумматор, на сигнальном графе учитывается вместе с передаточной функцией дуги, вследствие чего сигналы всех дуг, подходящих к вершине, складываются со знаком плюс.

Граф системы управления строят по ее алгоритмической схеме,

Алгоритмические схемы Сигнальные графы

Рис. 4.1. Алгоритмические схемы и сигнальные графы типовых соединений элементов

заменяя каждое звено (прямоугольник) дугой, а каждый сумматор (кружок) — вершиной (кружком меньшего диаметра). При этом узлы разветвления сигналов, используемые на алгоритмических схемах, на графах оказываются совмещенными с вершинами.

Для упрощения (свертывания) сложных алгоритмических схем и сигнальных графов применяют три главных правила преобразо­ вания, с помощью которых определяют эквивалентные передаточ­ ные функции типовых соединений звеньев.

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев, входя­

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций всех звеньев, вхо­ дящих в соединение.

Передаточная функция соединения с отрицательной (положи­ тельной) обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (минус) произведение переда­ точных функций прямой цепи и цепи обратной связи.