книги / Расчет и конструирование горных транспортных машин и комплексов

Растягивающая сила в сечении х составит

где Е 0 — продольная динамическая жесткость, кгс. Сила в сечении х + 8х

Приращение растягивающей силы

8S = E0^ ^ b x .

Согласно принципу Д'Аламбера, движение рассматриваемого элемента тягового органа описывается уравнением

у— абсолютное ускорение тягового органа, рассматри­ ваемого как абсолютно жесткое тело (переносное

к тяговому органу). Можно принять со равным:

для одноцепных скребковых конвейеров 0,8—0,9; для двухцепных скребковых конвейеров 1,0;

для пластинчатых конвейеров с креплением пластины в одной точке 0,8—0,9;

для пластинчатых конвейеров с креплением пластины в двух

И

(1.6)

Исследования показали, что продольная динамическая жесткость Е 0 мало отличается от статической и может быть определена с по­ мощью разрывной машины как частное от деления статического натяжения на относительную деформацию. Может быть принято: для стандартной разборной тяговой цепи Е 0 = 1,8-10е кгс4 для круглозвенной цепи калибра 18 X 64 Е 0 = 2,5*10 кгс.

Жесткость тканевых конвейерных лент не является достаточно стабильной величиной и ориентировочно может быть принята по табл. 1.1 [24].

Жесткость единицы площади сечения резинотросовой ленты рекомендуется принимать равной: при ширине ленты 1000 и 1200 мм

идиаметре троса 4,2 мм — 5,8 •105 кгс/см2 при ширине ленты 1200 мм

идиаметре троса 5,1 мм — 6,7*10 кгс/см2 [24].

Докажем, что апор (1.6) есть скорость распространения упругой волны деформации на порожней ветви.

Распространение вдоль тягового органа упругой волны деформа­ ции вызывает уменьшение q'0 в 1 + е раз. Величина, на которую изменится вес 1 м,

За время Д£ через рассматриваемое сечение тягового органа прой­ дет «участок деформации» длиной AZ = аиооД£. Масса этого участка

Am = A l ^ L - a nopz f - A t .

Приравнивая изменение количества движения Дтапор импульсу упругой силы E 0tAt, будем иметь

»

апоРе ~ At = Е0&At.

Отсюда можем получить выражение для а пор, аналогичное (1.6). Скорость распространения упругой волны на груженой ветви

конвейером) 0,8—0,9; при перемещении груза в сосудах (например., элеватором) 0,9-1,0.

Заменив в (1.5) апор на ягр, получим уравнения упругих коле­ баний груженой ветви.

Если через а обозначить среднюю для обеих ветвей скорость распространения упругой волны, то для всего конвейера можно

Уравнения в частных производных типа (1.5) и (1.8) носят в мате­ матической физике название волновых уравнений с правой частью. Они определяют вынужденные колебания системы (вместе с сопут­ ствующими колебаниями).

Собственные колебания тягового органа описываются волновым

Во многих конструкциях конвейеров (например, ленточных пли пластинчатых) тяговый орган провисает между опорами. Поэтому продольное смещение сечения зависит не только от жесткости £“0, но и от величины натяжения тягового органа S.

Учитывая, что в конвейерах отношение величины стрелы провеса тягового органа к величине пролета (расстоянию между опорами) невелико, можно допустить, что кривая провеса является парабо­ лой, т. е.

где у — величина провеса;

ql — вес 1 м провисающего участка.

Полную длину кривой 1Х — 1г получим, принимая в этом выра­ жение х = 1/2. Имеем

Решая это выражение относительно S и дифференцируя по I, после некоторых упрощений получим

Приведенная жесткость, определяемая как провесом, так и де­ формацией,

Отсюда следует, что с увеличением натяжения жесткость тягового органа, имеющего провисающие участки, стремится к значению, которое соответствует тяговому органу, не имеющему провеса.

Поскольку # опр зависит от натяжения, а последнее переменно по длине конвейера, то и скорость распространения упругой волны в рассматриваемом случае зависит от х. Это делает волновое уравне­ ние нелинейным, а для его решения прибегают к упрощениям (на­ пример, принимают во внимание среднюю скорость упругой волны).

Частоты колебаний

Введем следующие обозначения: Aj В, Сг Д — постоянные интег­ рирования;

X — характеристическое число, определяющее круговую частоту со:

а — аХ

или период Т собственных колебаний:

в справедливости чего легко убедиться, подставив это выражение

в(1.9).

Всокращенной записи

где X есть функция только х, а 0 — только t.

Каждое частное решение типа (1.11) описывает упругое смеще­ ние, соответствующее одной определенной частоте колебания, т. е. частоте колебаний одного тона. При модели, принятой в качестве исходной (однородный упругий стержень), количество тонов (частот) колебаний бесконечно велико. Поэтому полное решение (1.10) может быть представлено как бесконечная сумма частных решений вида

(1. 11).

Для получения однозначного решения необходимо располагать граничными условиями, т. е. величинами упругого смещения и или относительной деформации du/dx на «границах»: при х = 0 (точка сбегания) и при х = L 0 = 2L (точка набегания; см. рис. 1.1, а).

Граничные условия зависят от величины первоначального натя­ жения, тягового органа, типа привода и натяжной станции, а также от других факторов.

Рассмотрим для примера горизонтальный конвейер. Критическим будем называть такое первоначальное натяжение, при котором сум­ марное натяжение тягового органа (сумма статического и динами­ ческого натяжений) не падет до нуля ни в одной из точек замкнутого контура (при колебаниях динамическая нагрузка меняет знак). При натяжении выше критического («закритическом») между при­ водным блоком (барабаном, звездочкой) и тяговым органом суще­ ствует кинематическая связь как в точке набегания на привод, так и в точке сбегания с него. Следовательно, в этом случае «ведущими» являются оба граничных сечения (х = 0, х = Ь0), При натяжении ниже критического («докритическом») кинематическая связь с тяго­ вым органом в точке сбегания нарушается и «ведущей» является только точка набегания.

В большинстве случаев можно пренебречь податливостью при­ вода и считать, что упругие колебания тягового органа не влияют на угловую скорость ведущего блока, а значит закон движения тяго­ вого органа в его ведущих сечениях определяется исключительно приводом. Из этого следует, что ведущие сечения не совершают упругих колебаний (и = 0) и в отношении граничных условий их можно рассматривать как закрепленные.

При «докритическом» натяжении сечение тягового органа в точке сбегания может быть рассмотрено как свободное, т. е. в этом сечении динамическая нагрузка отсутствует [Е0 (du/dx) = 0].

Для рассматриваемого случая (см. рис. 1.1, 6) граничные условия записываются так:

Закрепление граничных сечений эквивалентного стержня ана­ логично прикреплению к этим сечениям бесконечно большой массы.

Приведенная масса вращающихся частей жесткого привода т обычно в десятки раз больше суммы массы тягового органа и массы тран­ спортируемого груза. Поэтому принятие граничных условий (1.13) и (1.14) в подобных случаях вполне правомерно. Однако в отдельных

случаях масса привода т и масса тягового органа с грузом могут быть одного порядка. Расчетная схема при этом имеет вид эквива­

лентного стержня с двумя закрепленными на его концах массами т (см. рис. 1.1, в). Динамическая нагрузка в граничном сечении экви­ валентного стержня равна силе, действующей со стороны прикре­

пленной к этому сечению колеблющейся сосредоточенной массы т, т. е.

(см. рис. 1.1, г), общая жесткость системы уменьшается. Поскольку это упругое звено прикреплено не в граничном сечении, то гранич­ ные условия остаются без изменений. Н о кроме них должны быть сформулированы контактные условия.

Обозначив через и1 и и2 упругие смещения соответственно слева

где с — постоянная упругого звена, соответствующая силе, которую необходимо к нему приложить, чтобы ^вызвать единичную деформацию, кгс/мм.

(1.16) следует из условия равенства усилий слева и справа от упругого звена, (1.17) — из условия равенства усилий в упругом звене и тяговом органе.

Граничные условия при наличии упругого звена (например, упругой муфты) в приводе (см. рис. 1.1, д) и закритическом натя­ жении:

При докритическом натяжении граничными условиями будут: первое из (1.14) и второе из (1.18).

Подобным же образом могут быть составлены расчетные схемы

играничные (контактные) условия и для других систем. Определим период собственных колебаний для распространенного

случая, описываемого граничными условиями (1.13). Подставив первое из них в выражение (1.12), получим С = 0, откуда

u = QD sin %х

или

Второе условие из (1.13) приводит к уравнению

которое является для рассматриваемого случая уравнением частот, имеющим корни X, равные:

Отбрасывая решение X = 0 (так как при этом Е 0 = оо, т. е. колебательный процесс отсутствует) и учитывая лишь положитель­ ные значения, получим значения X:

л2л ^ Зл

Значения Т в этом случае будет:

Период основного тона колебаний

(1.23)1

равен времени двукратного пробега упругой волны вдоль всего

тягового органа:

2Lp LQ I LQ

а аГр ^пор

откуда средняя скорость распространения упругой волны

Рассмотрим еще один случай, определяемый граничными усло­ виями (1.15). Подставляя в первое из них значения du/dx\x=9 и d2u/dt2\x=0, найденные из (1.11), имеем

Аналогично пользуемся вторым из условий (1.15):

Е0[— С sin %L0+ D cos X£ 0] = ma?X [C cos X L0+ D sin XL0].

Подставив в полученное выражение значение D из (1.29), после упрощающих преобразований получим

Подставив (1.31) в (1.30) и произведя упрощения, иолуяим урав­ нение частот

корни которого можно найти одним из известных методов, например графическим, после чего из (1.10) определить период колебаний Т.

Аналогично можно решить и другие подобные задачи яа нахож­ дение частот собственных колебаний тяговых органов.

Условия резонанса

Обозначим через 2т — период внешнего возмущения, приравни­ вая который периоду собственных колебаний получим для основного тона и последующих обертонов условие резонанса. При закритическом натяжении имеем

где 10 — шаг цепи;

v —•скорость движения цепи.

Подставим (1.34) в (1.33) и определим значение резонансных

При этих скоростях динамические нагрузки достигают макси­ мальных значений. Значения скорости (и0 + v^/2 и (иг + v2)/2 соответствуют антирезонансному режиму (собственные и вынужден­ ные колебания противоположны по фазе). При этом динамические нагрузки достигают минимума.

В некоторых конструкциях можно выбрать параметры конвейера таким образом, чтобы конвейер работал в антирезонансном режиме. Практически это возможно лишь тогда, когда интервал между сосед­

достаточно широк. В противном случае этот путь не приведет к цели, так как даже небольшое изменение конструктивных или эксплуата­ ционных параметров (например, производительности) может вызвать резонансный режим работы установки. Типичной ошибкой является отсутствие при испытаниях конвейера проверки устойчивости выбран­ ного режима работы [20]. ЕслиДу мало (0,05—0,1 м/с), необходимо рассчитывать установку на резонансный режим.

При резонансе динамические нагрузки не достигают бесконеч­ ности ввиду наличия сопротивлений, вызывающих затухание коле­ баний. Основными причинами являются рассеяние энергии при отражении упругих волн от граничных сечений и некоторые рас­ пределенные по длине конвейера сопротивления (например, внутрен­ ние сопротивления в тяговом органе).

Точные методы определения динамических нагрузок в тяговых органах изложены в специальной литературе [5, 28]. Ниже изла­ гается один из приближенных методов.

Ввиду значительных сопротивлений движению можно полагать, что в конце каждого периода внешнего возмущения собственные колебания тягового органа успевают затухнуть и остаются лишь чисто вынужденные колебания, которые как по частоте, так и по форме аналогичны колебаниям внешнего возмущения. Так, напри­ мер, в тяговой цепи конвейера со звездочным приводом внешние возмущения изменяются по закону ускорения / и волновое уравне­

Решение этого уравнения для вынужденных колебаний предста­

где X — функция только х.

Дифференцируя (1.38) по а; и по t и подставляя полученные выражения в (1.37), приходим к обыкновенному дифференциальному