книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

Поскольку большинство систем твердотельного моделирования основаны на

структуре данных.В-Rер, мы рассмотрим операции, манипулирующие данными,

организованными именно в виде структуры В-Rep. Вы уже знаете, что в структу­ рах данных В-Rep хранятся такие топологические элементы, как оболочки, гра­ ни, кольца, ребра и вершины. Мы можем рассматривать операторы, работающие с такими элементами, то есть операторы создания ребра, удаления вершины и т. д.

Если эти операторы использовать в реализации функций моделирования, сразу

возникнут проблемы.

Попытка рассматривать топологический элемент отдельно от тех элементов, с

которыми он связан, несет в себе внутреннее противоречие. К топологическим

элементам применимо приведеиное ниже равенство, которое называется форму­

лой Эйлера-Луаикаре [120, 23]:

количество сквозных nроходов через отверстия в теле. Можно проверить это

уравнение на фигуре, изображенной на рис. 5.39. Здесь v =16,/= 10, h =2, s =1 и

р = 1 (посчитайте самостоятельно). Подставив эти значения в уравнение (5.1),

мы получим:

16-24+ 10-2 =2(1-1).

то есть уравнение 5.1 оказывается верным. Из этого уравнения мы можем сде­

лать вывод, что шесть топологических элементов не могут быть независимы од­ новременно. Независимость обеспечивается лишь для пяти из них.

Манипулирование топологическими элементами по отдельности оказывается

малоэффективным, поскольку в большинстве случаев добавление или удаление

элемента приводит к изменению состояния других элементов. Например, добав­

ление диагонального ребра приводит к увеличению количества граней, посколь­ ку исходная грань делится на две (рис. 5.40). Для достижения эффективности

нужно иметь оператор, который самостоятельно заботился бы обо всех побоч­

ных эффектах этого рода.

Итак, было бы удобно иметь операторы, которые манипулировали бы небольши­

ми группами топологических элементов, а не каждым из них в отдельности. По­ скольку в формуле (5.1) одновременно являются независимыми пять элементов,

для увеличения или уменьшения количества любого из шести топологических

элементов из этого уравнения необходимо пять операторов. Таким образом, нам нужно определить не более пяти операторов. Полезно было бы определить их так, чтобы они одновременно изменяли такие элементы, которые часто меняются

вместе, когда конструктор варьирует форму тела. Предсказать, какая именно

группа топологических элементов будет изменяться наиболее часто, не так-то

просто. Однако операторы должны включать топологические элементы, которые по меньшей мере удовлетворяют уравнению Эйлера-Пуанкаре. Например. нам

подошел бы оператор, создающий ребро и вершину, поскольку он позволяет уве­

личить количество ребер и вершин на единицу, сохраняя истинность уравне­ ния (5.1). Благодаря этому объемное тело, изначально являвшееся корректным.

гарантированно останется таковым после изменения его топологии. Операторы,

удовлетворяющие персчисленным выше требованиям, называются оператора.ми Эйлера (Eulю· operators). Существует много разных наборов операторов Эйлера, и n каждой системе твердотельного моделирования используется сnой собствен­

ный набор. Изменение, показаивое на рис. 5.41,- пример применения оператора

Эйлера, который называется Создать Ребро и Кольцо (Make and Edge and а LoopMEL). Этот оператор увеличивает число колец, соединяя две nершины од­

ного кольца новым ребром. Легко представить себе использование этого операто­ ра для деления грани на две части п,еред поднятием одной из этих частей. На

рис. 5.44 персчислены операторы Эйлера, часто используемые в этой книге.

В приложении В мы персчислили операторы Эйлера, используемые .в системе

твердотельного моделирования SINUMOD, и описали реализацию тиnичных

функций моделирования. Список операторов практически совпадает с предло­

женным Чийокурой [35]. Подробное описание операторов Эйлера и их реализа­ ции можно найти в работах [106, 35].

5.3.4. Булевские операторы

Из всех функций моделирования булевские операторы являются наиболее

сложными с точки зрения реализации, однако они предоставляют наиболее ши­

рокие возможности пользователю системы моделирования. Как уже отмечалось,

к булевским операциям относятся объединение, пересечение и разность объем­

ных тел. Результат операции сохраняется в структуре данных, характерной для

используемой системы твердотельного моделирования. Если эта система основа­

на на дереве CSG или декомпозиционном представлении, результат булевекай

операции легко будет представить в той же структуре. Дерево CSG результата любой булевекай операции получается простым комбинированием деревьев ис­

ходных тел при помощи соответствующей операции булевекай алгебры. То же относится и к декомпозиционной модели: там булевские операции применяют­

ся к пространствеиным элементам тел. Например, воксельное представление ре­

зультата булевекай операции может быть получено применением соответствую­ щей операции (пьбитовой булевекай операции) к значениям вакселов двух тел,

попадающих в одну и ту же точку пространства.

Если же система твердотельного моделирования использует структуру В-Rep, ситуация оказывается принципиально иной. В этом случае структуру В-Rep ис­ ходного тела приходится вычислять по структурам В-Rep исходных тел, к кото­

рым применяется булевекая операция. Этот процесс называется вычислением границ (boиndary evalиation).

Алгоритм вычисления границ был впервые предложен Реквичей и Белкером [132]

под названием процесс вычислеиия и слияния границ (boиndary evalиation and mergingprocess) и впоследствии был усовершенствован Миллером [115]. Предла­

гаемый метод реализуется в три этапа. Для удобства иллюстрирования мы реши­

ли воспользоваться плоским рисунком (рис. 5.42), но тот же подход применим и к трехмерным телам. Сначала обозначим две грани (два тела в трехмерном слу­

чае), к которым должна быть применена булевекая операция, буквами А и Б,

а результат операции назовем буквой В (рис. 5.42, а). На первом этапе все ребра А

и Б, а также ребра, получаемые пересечением этих граней, помещаются в единый

пул ребер. Подмножеством пула ребер, очевидно, являются все ребра грани В.

На втором этапе все ребра пула классифицируются по их положению относи­ тельно граней А и Б. Любое ребро может находиться, во-первых, внутри, на гра­ нице или снаружи грани и, во-вторых, внутри, на границе или снаружи грани Б (рис. 5.42, б). На третьем этапе ребра группируются по их относительному поло­ жению в соответствии с применяемой булевекай операцией. Заметьте, что для

операции <<А объединить с Б>> нужно отбросить все ребра, находящиеся «Внут­ ри А>> и «внутри Б~> (см. рис. 5.42, б). Аналогичным образом для операции «А пе­ ресечь с Б~> отбрасываются ребра, лежащие «вне А~> и «вне Б>>. Собранные ребра формируют грань. Для этого в структуру заносятся все необходимые сведения

о вершинах, ребрах, кольцах и прочих элементах. Для объемных тел такой под-

ход требует серьезных геометрических вычислений, поскольку требуется опре­

делять, где именно находятся ребра, а конструирование структуры В-Rep полу­ чившегася тела по собранным ребрам представляет сложную топологическуJО

задачу.

вне д, на В

Рис. 5.42. Классификация ребер

Чтобы избежать указанных трудностей, Мянтюля [105] предложил алгоритм под названием 1<Лассификатор окрестностей вершин (vertex neighborhood classifier). Алгоритм Мянтюля работает с отдельными гранями, в отличие от алгоритма Ре­ квичи и Велкера. Гофман, Хопкрафт и Карасик [69] и Чийокура [35] также пред­

ложили свои алгоритмы определения границ, основанные на рассмотрении гра­

ней. В приложении Г мы предлагаем алгоритм, используемый в SNUMOD,

который также основан на подходе к отдельным граням.

5.3.5. Расчет объемных параметров

Мы уже отмечали, что одним из преимуществ объемной модели является воз­ можность расчета объемных параметров тела непосредственно исходя из его ма­ тематического описания. Первые системы твердотельного моделирования ис­ пользовались главным образом для визуализации формы объекта, так что расчет объемных параметров был одной из немногих инженерных функций, поддержи­

вавшихся этими системами. К объемным параметрам объекта относятся его объ­

ем, центр тяжести, моменты инерции и центробежные моменты инерции, кото­ рые определяются следующим образом.

Объем:

v = HJ dV.

1

Хс =-JJJxdV;

v v

Ус=~JfJy dV;

v

zc =-1JJJ z dv.

v v

Н - поверхностный интеграл по граничной поверхности объема V, а n - век­ s

тор внешней нормали в точке бесконечно малого участка ds поверхности S.

Вообще говоря, n есть функция от х, у и z, поскольку этот вектор меняется

при переходе от одного бесконечно малого объема к другому в процессе вы­

числения поверхностного интеграла. Подробные сведения о теореме Гаусса вы можете найти в учебниках по интегральному исчислению [93] и [68].

Применеине т·еоремы Гаусса позволяет преобразовать объемный инте­

грал (5.2) к поверхностному, подставив функцию Ф(х, у, z), удовлетворяю­

щую уравнению V ·Ф = F(x,y,z) в правую часть уравнения (5.3). Затем мы nо­

лучаем возможность раскрыть (5.3) в

s

где G(x, у, z)- функция координат, полученная перемножением Ф ·n.

Существует множество способов выбрать Ф(х, у, z) и, соответственно, мншке­ ство вариантов G(x, у, z). Хотя эту функцию можно выбирать достаточно про­

извольной, рекомендуется все же пользоваться простыми по форме выраже­

ниями.

2.Граничная поверхность S из формулы (5.4) может рассматриваться как набор

граней объекта S;. Поэтому интеграл по всей поверхности преобразуется в

где '1'; =Н G(x,y,z) ds, а n- количество граней.

S;

3.Каждый из поверхностных интегралов '1'; в формуле (5.5) может быть преоб­ разован·в двойной интеграл по области изменения параметров, определяю­

щих уравнение поверхности грани S;. Если быть более точным, двойной

интеграл запишется так, как показано ниже, при условии, что уравнение по­

верхности для грани S; имеет вид P(u, v) = x(u, v)i +у(и, v)j + z(u, v)k 1

биан. Якобиан компенсирует разницу между бесконечно малым участком ds

и бесконечно малой областью параметрического пространства dudv. Опреде­

ляется якобиан так:

1 Различные формы P(u,v) для разных nоверхностей рассматр11ваются в главе 7.

Подынтегральное выражение в формуле (5.6) может быть представлено в

виде функции Н(и, v) от переменных и и v заменой правой части уравне­

ния (5.7) для IJI. Тогда из уравнения (5.6) получим1:

Если область R; представляет собой квадрат, описываемый неравенствами О~ и ~1 и О~ v ~1. то двойной интеграл в уравнении (5.8) можно оценить чис­

ленно при помощи квадратуры Гаусса:

Как видно из формулы (5.9), квадратура Гаусса может использоваться для

оценки интеграла путем выборки некоторых значений, присnаивания им весов и суммирования с учетом этих весов. Точность результата, таким обра­

зом, зависит от размеров выборок n и т, а также от значений параметров. Ре­

комендуемые значения и и v, а также веса для конкретных значений т и n

приведены в табл. 5.2. Другие значения n и т требуют использования других

групп. Квадратура Гаусса может использоваться только для интегралов, диа­ ПЗ4ОН значений которых лежит в интервале от О до 1.

Таблица 5.2. Значения параметров и веса для квадратуры Гаусса

1 Поскольку площади выражаются через двойные интегралы, подход, использованный для

вычисления выражения (5.8), может использоваться и для расчета поверхностных свойств.