книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

оРисунок 6.7 демонстрирует, что одна задающая точка может влиять не более

чем на k сегментов. Проверить это утверждение можно, подсчитав количество

групп, содержащих, например, точку Pk-l· Мы заключаем, что каждая точка влияет не более чем на k соседних сегментов. Это и есть свойство локально-

сти изменений.

6.5.1. Вычисление В-спnайна

Как вы могли убедиться, изучив предшествующие примеры, расписать функции

сопряжения В-сплайна в полиномиальной форме - задача непростая. Особенно сложной она становится при больших k. Поэтому для вычисления координат

точек кривой полиномиальная форма уравнения В-сплайна используется редко. Вместо этого конкретные значения параметра и подставляются в рекуррентное уравнение (6.32) и по ним вычисляются координаты точек, соответствующих

этим значениям параметра. Кокс [41] и де Бур [43] предложили переписать

уравнение (6.32) таким образом, чтобы вместо рекуррентной подстановки полу­

чить итерацию, подобно тому как это делается в алгоритме де Кастильо~ Их ме­

тод позволяет определить задающие точки В-сплайнов, получающихся при деле­

нии исходной кривой в вычисляемой точке (см. приложение Ж).

6.5.2. Объединение В-спnайнов

В-сплайн можно не только разделить на два В-сплайна, но и объединить с дру­

гим В-сплайном, в результате чего получится В-сплайн того же порядка. Задача

заключается в том, чтобы найти задающие точки и узловые значения для объе­ диненной кривой. Подробное описание этой процедуры заинтересовавшиеся мо­

гут найти в приложении 3.

6.5.3. Дифференцирование В-спnайна

Мы уже показали, что производмая от кривой Безье выражается через кривую

Безье, порядок которой на единицу меньше порядка исходной кривой. Анало­

гичным образом, производная В-сплайна записывается через уравнение 13-

сплайна, порядок которого на единицу меньше исходного. Производная от IЗ­

сплайна, при условии что параметр и лежит в диапазоне t1 и t1+1, имеет следуiО­ щий вид (доказательство приводится в приложении И):

(6.43)

В правой части снова получилось уравнение В-сплайна, а значение и= t"+ 1 соот­

ветствует конечной точке кривой. Отсюда, сумма:L;=n-k+2P/ Ni.k-t {t".1) совпадает

с координатами последней задающей точки Р"1• Производпая первого порядка от

исходной кривой в таком случае имеет следующий вид:

dP{t"•• ) = р~ = (k -1) Р" -Pn-1 .

В изложенном примере мы продемонстрировали еще одно важное свойство Б­ сплайна: вектор касательной в начальной или конечной точке совпадает по на­

правлению с первым или последним ребром задающего многоугольника. Для

кривых Безье это свойство было доказано еще раньше.

6.6. Неоднородный рациональный В-сплайн

Неодпородный рациопальпый В-сплайп, или попросту NURВS (nonиniform rational B-spline curve), подобен обычномунеоднородному В-сплайну, поскольку основан

на тех же функциях сопряжения, получаемых для неоднородных узлов. Однаl(о

задающие точки рационального В-сплайна указываются в форме, то есть с ис­ пользованием однородных координат. Функции сопряжения применяются именно к этим однородным координатам. Координаты точки на кривой NURБS

в однородном пространстве получаются по формулам:

i•O

Координаты точки в трехмерном пространстве х, у и z получаются делением xh, yh и zh на h, поэтому уравнение кривой NURBS в векторном виде может быть записано

следующим образом (здесь мы поделили уравнения (6.47), (6.48) и (6.49) на (6.50)):

n

Lh;P;N;.k(и)

Р(и) =;.о" (6.51)

Lh;N;,k(и)

;.о

где Р; - вектор (х;, у;, z;), объединяющий координаты i-й задающей точки в трех­

мерном пространстве, как и для нерациональных В-сплайнов. Диапазон значе­

ний параметра tk-l и t". 1, как и для В-сплайна (см. предыдущий раздел).

Уравнение (6.51) отражает следующие свойства кривой NURBS.

ОПодобно нерациональному В-сплайну, кривая NURBS, представленная урав­ нением (6.51), обязательно проходит через первую и последнюю задающие

точки, если используются непериодические узлы. Это утверждение можно

доказать следующим образом. Числитель формулы (6.51) может считаться В­

сплайном с задающими точками h;P;. Граничным значениям параметра будут

соответствовать координаты hoPo и h"P", поскольку В-сплайн с непериодиче­

скими узлами проходит через первую и последнюю задающие точки. Знаме­

натель (6.51) также может считаться В-сплайном с задающими точками h;.

Граничным значениям параметра для этого В-сплайна будут соответствовать

координаты ho и h". Следовательно, граничным значениям параметра для Р(и)

в целом будут отвечать координаты Ро и Р", то есть граничные задающие точки.

DКасательная в начальной точке совпадает по направлению с вектором Р1 - Р0, а касательная в конечной точке- с вектором Р"- Р".1• Проверка этого утвер­

ждения приводится в разделе 6.6.2.

D Знаменатель (6.51) становится равным 1, когда все h;-e становятся равными 1,

поскольку :L;~0N;.k(u) =11• Уравнение (6.51) при этом превращается в урав-

нение В-сплайна. Поэтому можно сказать, что уравнение NURBS может опи­ сывать не только NURВS-кривые, но и обычные В-сплайны. Кривая Безье

является частным случаем В-сплайна, поэтому уравнение NURBS может так­

же описывать кривые Безье и рациональные кривые Безье2•

Уравнение NURВS-кривой обладает определенными преимуществами перед

уравнением В-сплайна.

DФорма В-сплайна изменяется при изменении координат х, у и z задающих то­ чек. Для каждой задающей точки, таким образом, имеется три степени свобо­

ды. Кривая NURBS позволяет изменять четвертую координату для каждой

точки - h;. Появляется возможность работать с кривой на более тонком уров­

не. Увеличение значения однородной координаты задающей точки приводит

ктому, что NURВS-кривая притягивается ближе к этой точке.

DУравнение NURBS позволяет точно воспроизвести все конические сечения -

окружность, эллипс, параболу и гиперболу. В-сплайны, напротив, допускают

лишь приближение к коническим сечениям. Таким образом, в NURВS-пред­

ставлении можно работать с коническими сечениями, кривыми Безье, рацио­

нальными кривыми Безье и В-сплайнами. Преобразование всех этих кривых к NURBS может значительно сократить объем программирования. Например,

можно написать одну-единственную программу для расчета точки пересече­

ния кривых NURBS и использовать ее для расчета пересечений кривых лю­

бых типов, поскольку эти кривые всегда могут быть преобразованы к соответ­

ствующим NURВS-представлениям.

Продемонстрируем вывод NURВS-представления для конических сечений на примере из книги Пигла и Тиллера [126]. Мы возьмем из этой книги только ко­ нечный результат, то есть порядок, координаты задающих точек (однородные) и узловые значения кривой NURBS, эквивалентной дуге окружности. В той же ра­

боте обсуждаются NURВS-представления других конических сечений. Дуга ок-

1Доказательство этого приводится в работе [9].

2Уравнеttие рациональной кривой Беэье получается подстановкой B;_"(u) вместо N;.k(u)

в уравнсиие (6.51 ). Другими словами, функции соnряжения Беэье используются с задаю­

щими точками в однородных координатах.

х

Начнем с дуrи 1. Координаты х, у, z задающих точек этой дуrи таковы:

Р0 = (1-,Q), Р1 = (1,1), Р2 = (0,1).

Соответствующие однородные координаты имеют значения h0 = 1, h1 = cos 45° =

= 1/2 и h2 = 1. Узловые значения параметра образуют последовательность О, О, О,

1, 1, 1 (n = 2, k =3).

Та же процедура для дуrи 2 дает:

Р0 = (0,1~ Р3 = (1,1~ Р4 = (1,0)

и

Узловые значения те же самые: О, О, О, 1, 1, 1, но для последующего объединения

кривых они сдвигаются до 1, 1, 1, 2, 2, 2.

NURВS-кривые объединяются вместе, в результате чего получается NURВS­

кривая со следующими задающими точками и параметрами:

Узловые значения для объединенной кривой: О, О, О, 1, 1, 2, 2, 2.

Пример 6.7

Раскрыть уравнение NURВS-представления дуги 1 из примера 6.6 и показать,

что оно действительно точно соответствует дуге окружности.

Решение

Уравнение NURВS-представления дуrи 1 имеет вид:

Р(и) = hоРоNо.з(и)+ htPtNt.з(и)+ h2Р2N2.з(и).

h0 N0•3 (и)+ h1N1.3 (и)+ h2 N2:J (и)

Функции сопряжения N0•3(u), N1,3(и) и N2•3(и) получаем по рекуррентным соот­

ношениям:

N2~ = (и-t2)N2.2(и) =и2 t4 - t2

Теперь мы можем записать уравнение NURВS-представления следующим обра-

зом:

1·Ш(1-и)'+~(l)~<t-•)+1(!]·'

Р(и) = .J2

1·(1-и)2 +~·2и(1-и)+1·и2

2

Обозначим члены, соответствующие х и у в этом уравнении, за х(и) и у(и) соот­ ветственно. Выражения для х(и) и y(u) будут такими:

х(и) = (1-../2)u 2 + ../2(1-.fi)u + 1; (2 - ../2 )и2 + (.fi - 2)и + 1

у(и) = (1-../2)u 2 + .fiи

(2 -../2)u 2 + (../2 -2)и + 1

Можно показать, что x(u) и y(u) удовлетворяют равенству

{х(и)}2 +{у(и)}2 = {(1-../2)и2 +.J2(1-~)u+1}2 +{(1-~)u2 +.fiu} 2 =1.

{(2 -../2)и2 + (../2 -2)u + 1} 2

Отсюда следует, что представление NURВS-кривой в точности совпадает с дугой

окружности.

6.6.1. Вычисление NURВS-кривой

Координаты х, у, z точки на NURBS-кpиnoй, определяемой значением параметра

и0, получаются по формуле:

(6.52)