книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

о При изменении порядка вершин многоугольника на противоположный полу­

чается та же самая кривая.

Задавшись этими требованиями, Безье выбрал в качестве функций сопряжения

полином Бернштейна:

где

(~)=i!(:~i)l'

Если функцию сопряжения (6.15) применить к вершинам многоугольника, по­

где Р; - радиус-вектор i-й вершины. Верiшшы многоугольника называются за­

дающими (cont1'ol vertices), как и сам многоугольник (control polygon). Из форму­

лы (6.16) видно, что для кривой, заданной n + 1 точками, максимальная стеnень

будет и". Таким образом, степень кривой Безье определяется количеством задаю­

щих точек. Кривые Безье разных степеней с разным количеством задающих то­

чек показаны на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Кривые Безье различных степеней

Покажем теперь, что кривая Безье, заданная уравнением (6.16), удовлетворяет требованиям, перечисленным в начале раздела. Для начала проверим, что кривая

проходит через nервую и последнюю задающие-.точки. В этом легко убедиться,

подставив в уравнение значения О и 1 параметра и. Раскроем суммирование сле­ дующим образом:

Р(и)=(~)(1-и)nР0 +(~)и(1-иУ-1Р1 +(;)и2(1-иУ-2Р2 + ...

+ (п:1)п"-1(1-и)1Р"_1 +(:)и"Рn.

Рассчитаем значения Р(О) и Р(1):

Р(О)=(~)Ро =Р0;

Р(1)=(:)Р" =F".

для рекурсивного определения производных более высоких порядков, поскольку ее правая часть совпадает по форме с уравнением кривой Безье. Отсюда вырЮ~<е­

где Ь; =а;+!- а;. Выражение (6.30) говорит нам, что вторая производпая в начаJiь­

ной точке определяется векторами Р0, Р1, Р2, а в конечной точке - векторами

Р11_2, Р11_1, Р". Продолжая дифференцировать уравнение (6.30), мы будем тем же

путем получать уравнения для производных более высоких порядков. Таким об­

разом, мы можем показать, что производвые порядка r в начальной и конечной

точках определяются координатами r + 1 задающих точек.

6.4.2. Вычисление кривой &езье

Даже если у нас есть формула, описывающая кривую, например уравнение кри­

вой Безье, это уравнение будет практически бесполезным, если мы не найдем эффективного способа вычислять координаты точек на кривой. Мы знаем, что для отображения кривой необходимо вычислять координаты точек с небольшим

приращением параметра, и делать это достаточно эффективно. Посмотрев на

уравнение кривой Безье (6.15), можно прийти к выводу, что нам придется доста­

точно часто вычислять биномиальный коэффициент

(~)

в функции сопряжения В;,11(и), а это требует серьезных затрат. Поэтому нам мо­

жет поиадабиться алгоритм, позволяющий вычислить точку на кривой Безье не­

посредственно, без вычисления значений биномиальных коэффициентов. Такой алгоритм существует и называется алгоритмом де КастW!ьо (de Casteijau algorithm). Он излагается в приложении Е.

6.5. в-сппайн

Вспомните, что степень кривой Безье определяется количеством задающих то­ чек, причем все они влияют на форму всей кривой. Эти особенности кривых Бе­

зье создают определенные неудобства. Во-первых, при аппроксимации кривой

сложной формы при помощи кривой Безье неизбежно используется множество

задающих точек, в результате чего получается кривая высокого порядка. Такая

кривая может осциллировать, но она к тому же создает большую вычислитель­ ную нагрузку на компьютер. Почему бы в таком случае не попытаться предста­ вить ту же исходную кривую множеством кривых Безье низших порядков, чтобы

избежать этих неприятностей? Проблема в том, что соединение кривых с обеспе­

чением непрерывности пронзводных нужных порядков оказывается довольно

сложной процедурой.

Во-вторых, трудоемким оказывается локальное изменение формы kривой. Кажет­ ся естественным переместить задающие точки вблизи изменяемого участка кри­ вой, и действительно, это приводит к модификации нужной области, но вместе с ней изменяется вся кривая целиком. Эта особенность называется свойством

lЛобалыюсти измеиеиий (global modification property). Глобальность изменений

нежелательна при создании кривых заданной формы, поскольку кривые всегда

создаются или проектируются путем непрерывной модификации грубой формы

начального приближения. В системах автоматизированного проектирования же­

лательно наличие прямо противоположного свойства - локальиости изменеиий

(/оса/ modification pгoperty).

Описанные недостатки кривых Безье связаны с выбором функций сопряжения.

Таким образом, нам нужно выбрать новый набор функций сопряжения, обла­

дающих определенными свойствами. Во-первых, в определение новой функции

сопряжения не должно входить число точек n, в отличие от функции В;,"(и). Сте­ пень функции сопряжения, а значит, и степень кривой, должны быть независи­

мы от числа задающих точек n. Во-вторых, все функции сопряжения должны

быть отличны от нуля только на ограниченных подмножествах значений пара­ метра, причем для каждой функции такое подмножество должно быть уникаль­ ным. В этом случае форма сегмента будет определяться только теми задающими

точками, которые учитываются функциями сопряжения, имеющими неиулевые

значения на данном сегменте.

В 1972 г. Кокс [41] и де Бур [43) предложили использовать функции N1.k(и),

определяемые рекурсивно. Кривая, которая строится таким образом, называется

В-сплайном (B-spline) и записывается в следующем виде:

раметра, внутри которых функции сопряжения имеют иенулевые значения1•

В формуле (6.32) неопределенность 0/0 считается равной нулю. Как следует из

этого уравнения, для определения n + 1 функций сопряжения необходимо задать n + k + 1 узловых значений от t0 до t11+k· Разные методы задания узловых значе­

ний позволяют получить разные функции сопряжения и, соответственно, разные

кривые. Ниже мы расскажем, как это делается. Обратите внимание, что из фор­

мулы (6.32) следует, что одновременный сдвиг всех узловых значений на одно и то же число не приводит к изменению формы кривой. При этом происходит

лишь изменение диапазона значений параметра для уравнения (6.31).

Проверим, удовлетворяют ли функции сопряжения, заданные уравнениями (6.32)

и (6.33), требованиям, изложенным в начале раздела. Из уравнения (6.32) следу-

1Когда и совnадает с границей интервала, следуст быть аккуратным, nоскольку для любо­

го значения и только одна функция N;,1(и) может быть отличной от нуля. Это предпола­

гается в определении (6.32). Например, когда и - tt. только одна из функций No.l(tl) и N1•1(t1) может быть равна единице, хотя из уравнения (6.33) следует, что они обе могли

бы иметь это значение. В любом случае значение P(tt) окажется одним и тем же.

178 Глава б. Представление кривых и работа с ними

ет, что степень N;.k(u) на единицу выше, чем у N;,"_ 1(u) и N;+ц-1(и). Следователь­ но, N;,2(u) имеет степень 1, поскольку Ni.l(u)- константа, а N;,3(u) по той же при­

чине имеет степень 2. Продолжая в том же духе, можно прийти к выводу, что

функция N;J,(u) имеет степень k- 1. Таким образом, степень В-сплайна опреде­ ляется не числом задающих точек, а значением k, которое должно быть на ед11:ИИ­

цу больше желаемого значения степени кривой. Значение k называется порядком

В-сплайиа (order of the B-spline curve).

Чтобы показать, что любой участок В-сплайна определяется лишь конечным

числом задающих точек, рассмотрим сегмент кривой, соответствующий значе!fИ­

ям параметра из отрезка [t;, t;+ 1]. Влиять на этот сегмент будут те задающие точ­

ки, функции сопряжения которых (порядка k) отличны от нуля на отрезке [t;, t;+ 1].

Среди функций первого порядка от нуля отлична только N;,t(u). Подставив N;,1(u) в правую часть формулы (6.32), мы· получим иенулевые на рассматриваемом от­ резке функции N;,2(u) и N;_ 1.2(u). Первая функция получается подстановкой N;,1(u)

в первое слагаемое, а вторая функция - подстановкой во второе слагаемое. За­ тем по иенулевым функциям N;,2(u) и N;_ 1,2(u) мы получаем функции третьего

порядка и т. д., пока не будут получены функции порядка k. Распространение !fе­

нулевых значений иллюстрирует рис. 6.5.

Рис. 6.5. Расnространение значений N1,1(u)

По рис. 6.5 видно, что неиулевые значения на отрезке [t;, ti+ 1] будут иметь только функции N;-k+t.k• Ni-k+ 2.k, ..., N;.k- Поэтому и влиять на форму отрезка кривой будут только точки P;-k+t• P;-k+2, ..., Р; (всего k штук). Например, если взять кривую чет­

вертого порядка, то на форму отрезка будут влиять четыре задающие точки, а все остальные не будут.

Займемся теперь определением n + k + 1 узловых значений от t0 до tn+k· Узлы бы­

вают двух основных типов: периодические и непериодические. Периодические

узлы определяются из равенства

Непериодические узлы задаются формулой

Пример 6.4

Записать уравнение непериодичного однородного В-сплайна третьего порядка

с задающими точками Р0, Р1, ..., Р5 в полиномиальной форме и продемонстри­ ровать свойство локальности изменений.

Решение

По формуле (6.35) определяем узловые значения t;:

t 0 =О, t 1 =О, t 2 =О, ( 1 = 1, t 4 = 2, t 5 = 3, t 6 = 4, t 7 = 4, t 8 = 4.

Параметр и меняется от О до 4. Воспользуемся формулой (6.33) для получения

функций сопряжения первого порядка- N;,1(и):

Функции N0•1(u) и N1,1(и) мы не рассматриваем, выбирая N2,1(и) в качестве един­

ственной отличной от нуля при и = О. По той же причине не рассматриваются N6,1(и) и N7,1(и). Теперь вычислимнетривиальные функции сопряжения второго порядка по формуле (6.32):

Nl,2(и)=(и-ti)NI,I +(tз-и)N2.1 =(1-и)N2.1;

Аналогичным образом вычисляются функции сопряжения третьего порядка: