книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Из представленных результатов следует, что при а 0 = ОД (см. рис.

2.5.1, а) все алгоритмы по точности между собой совпали, и значения самих ошибок в принципе согласованы со значениями расчетных харак­ теристик точности, поскольку реализации их ошибок не выходят за пре­

делы области с границами ±3[ам(ш) = -у/рм(т )]. Этот факт обусловлен малым влиянием нелинейности, так как

сi d = у /б Ь & 1 »1.2х10~3 « г ! 4 т ~ 0,1

При а 0 = 0,5 для линеаризованного алгоритма действительная ошиб­ ка не соответствует вырабатываемой в алгоритме расчетной характери­ стике точности, т.к. здесь значения ошибок при т > 20 превышают гра­

ницы ± 3[ам(ш) = yjpyl(m) ] , хотя вероятность такого события, согласно

правилу трех сигм мала.

Для итерационного и линейного оптимального алгоритмов расчетные характеристики и действительные значения ошибок в принципе между собой согласованы. При этом итерационный алгоритм обеспечивает бо­ лее высокую точность оценивания, чем линейный оптимальный алго­ ритм. Последнее объясняется тем обстоятельством, что при а 0 = 0,5 уже нельзя пренебречь наличием дополнительной ошибки, обусловленной

Возможность получения точности, превосходящей точность опти­ мального линейного алгоритма, обусловлена нелинейным характером итерационного алгоритма, который проявляется в том, что коэффициент усиления К(хМ) = P(xM(Ym))H r(xM(Yin))R~] зависит от измерений.

Таким образом, на вопрос, поставленный в примере 2.4.3, следует дать положительный ответ, т.е. за счет использования нелинейных про­ цедур вычисления оценки в нелинейной задаче можно повысить точность оценивания по сравнению с оптимальным линейным алгоритмом. Важно подчеркнуть, что этот вывод справедлив только для нелинейных задач, в то время как для линейных гауссовских задач эффекта в повышении точ­ ности получить нельзя.

При сопоставлении точности алгоритмов калмановского типа возни­ кает другой, вполне логичный вопрос. А можно ли повысить точность оценивания, используя некий другой нелинейный алгоритм, отличный от алгоритмов, рассматриваемых в этом примере? Ответ на этот вопрос да­ ется на основании сопоставления с потенциальной точностью, так как это описано в подразделе 2.5.6. ♦

Здесь xJ —значения оцениваемого вектора состояния (узлы сетки или «точечные массы») из заранее выбранной области Q 0, в кото­

рой f(x! у) существенно отлична от нуля; ц7веса, пропорцио­ нальные значениям апостериорной плотности в соответствующих узлах.

Отсюда следует, что

(2.5.27)

I V j

где ц7 =ехр|-^((у-л(л-7))тД-,0 '- ^ 'с у)) + (х7 - T)T(Px) - \ x J -.v)jj,

j = 1L MC, L MC - общее число узлов.

Подставляя это выражение в выражение для оценки и матрицы ковариаций, получаем следующие соотношения:

7=1

Помимо возможности обеспечить сколь угодно малую методи­ ческую ошибку, рассмотренный метод (метод точечных масс или метода сеток) обладает еще одним важным достоинством, суть

которого заключается в вычислении весов р7 и последующем взвешивании соответствующих им значений xJ , j -1 .LMC

Близкие по структуре получаются и алгоритмы вычисления оценок и матрицы ковариаций, основанные на методе МонтеКарло. Его применение для вычисления оценки (2.5.2) и матрицы ковариаций (2.5.6) основано на том факте, что они представляют собой интегралы, и их подыинтергальные выражения содержат ф.п.р.в. [80]

J / 0 ;7 x)f(x)dx

Таким образом, оценка и матрица ковариаций могут быть запи­ саны как:

Аналогично для метода Монте-Карло имеем:

Монте-Карло.

Заметим, что приведенные выше формулы могут быть модифициро­ ваны и для априорного распределения, отличного от нормального, на­ пример равномерного.

Нетрудно конкретизировать полученные соотношения применительно к задачам оценивания фазы или частоты, а также к задаче, рассмотренной в примере 2.4.3. Для этого достаточно в приведенных выражениях заме­ нить функции Si(x) на функции SjО) = sin(co/# + х ), si (x) = sin(xtf + ф 0)

или si (х) = ах + Ьхъ соответственно. Рассмотрим более подробно случай

решения задачи оценивания частоты гармонического сигнала ю = х по измерениям: у- = sin(xti ) + v;., i = Lm, где ti - известные моменты времени; V- - ошибки измерения.

Предположим, что х - равномерно распределенная в интервале

П = (xmin, xmax ) случайная величина с математическим ожиданием х и

2

дисперсией CFQ , а ошибки измерения V,- - центрированные, независящие между собой и от х случайные величины, распределенные по гауссов­

скому закону с одинаковыми дисперсиями г 2 В силу сделанных предположений выражение для апостериорной

ф.п.р.в. f ( x / y ) может быть записано как

при х е Q - (xmjn,A'max),

при х £ О. = (хт|п,хтах ).

С учетом такого вида апостериорной ф.п.р.в. / ( х / у ) легко можно конкретизировать выражения для оценки и условной дисперсии, выте­ кающие из метода сеток или метода Монте-Карло, с тем чтобы использо­ вать их для получения оптимальной оценки и соответствующей ей ус­ ловной дисперсии.

На рис. 2.5.2 приведены графики, иллюстрирующие поведение апо­ стериорной плотности в рассматриваемой задаче при разном количестве измерений, проводимых с шагом 0,2 с при г = 1 рад/с. Как видно из ри­ сунков, f { x / у) существенным образом зависит от количества измере­ ний т и является многоэкстремальной ф.п.р.в. На рис. 2.5.3 приведен пример реализации ошибок оценок £Mh(Ym) = x —xMK(Ym) и результа­ тов вычисления соответствующих им расчетных характеристик точности

В виде ± 3[ст'',к (w) = д/Р мк(У„, )], полученных с использованием метода Монте-Карло при проведении измерений на интервале наблюдения Г=2 с с шагом 0,2 с (/w=25), r=1 рад/с для Зс = ш=6,28 рад/с, <т0 = 1 рад/с

(*min “ 4,55, Xmax+8,0).

ш=25

Рис. 2.5.2. Графики апостериорной плотности f ( x / у)

в задаче оценивания частоты

Рис. 2.5.3. Реализация ошибок оценок и расчетная характеристика точности, полученные с использованием метода Монте-Карло

При проведении вычислений величина LMK принималась равной

100000. Ее увеличение в два раза не привело к ощутимому изменению

результатов. Это позволяет полагать, что полученные значения ошибок оценок и их условных дисперсий действительно соответствуют опти­ мальному алгоритму, поскольку величина методической погрешности вычисления мала. ♦

2.5.6. Анализ эффективности субоптимальных алгоритмов

Как отмечалось в подразделе 2.5.4, при разработке эффектив­ ных субоптимальных алгоритмов стремятся к тому, чтобы при не­ значительных вычислительных затратах точность, достигаемая с помощью упрощенного алгоритма, была бы близка к потенциаль­ ной. Таким образом, при исследовании эффективности алгоритмов в первую очередь необходимо анализировать точность, которая может быть достигнута с их использованием. Эта точность в сред­ нем по всему ансамблю измерений количественно характеризуется безусловной матрицей ковариации типа (2.5.5). Для того чтобы не путать ее с условной матрицей ковариаций, будем здесь использо­

где индекс р отражает принадлежность тому или иному алгорит­

му, т. е. хм(у) - оценка, полученная для конкретного алгоритма.

При сравнительном анализе эффективности различных алго­ ритмов можно проводить сопоставление между собой соответст­ вующих им точностей. Но при этом всегда остается вопрос: а можно ли с помощью какого-либо другого алгоритма повысить точность оценивания? В частности, такой вопрос возникает при рассмотрении результатов примера 2.5.1. В рамках байесовского подхода проблему анализа точности удается решить наиболее по­ следовательно и логично. Это связано с тем, что точность иссле­ дуемого алгоритма может быть сопоставлена с потенциальной точностью, соответствующей оптимальному алгоритму и задавае­

мой матрицей Gopt, вычисляемой для хор1 (у ), т. е. при р = opt.

При вычислении безусловных матриц ковариаций (2.5.32) обычно также используется метод Монте-Карло, согласно которому

L 7=1

где xJ , y ’ - реализации вектора л- и измерений у , формируемых с помощью датчика случайных чисел при известном законе рас­ пределения f{x), /(v) и знании (2.1.21); хп(у) - оценка, соответ­ ствующая |Д -му алгоритму при j -й реализации векторов х7, у 7

Заметим, что обычно, когда метод Монте-Карло используется для вычисления выборочных дисперсий или матриц ковариаций его, как правило, называют методом статистических испытаний.

Из (2.5.33) следует, что для вычисления элементов Gopt требуется реализация процедуры нахождения оптимальной оценки. По­ скольку при решении задачи анализа точности проблема объема вычислений не столь актуальна, как для алгоритма, реализуемого в реальной аппаратуре, для этих целей целесообразно использовать такой алгоритм, в котором методическая ошибка вычисления оп­ тимальной оценки (2.5.2) может быть сколь угодно малой. Этим требованиям удовлетворяет метод сеток, либо метод Монте-Карло, поскольку, как уже отмечалось, путем увеличения числа узлов в методе сеток или числа реализаций в методе Монте-Карло мето­ дическая ошибка может быть сделана сколь угодно малой.

После того как указанные матрицы вычислены, производят со­ поставление Gsub и Gopt Считается, что субоптимальный алго­

ритм позволяет получить приемлемую точность, если Gsub =Gopt Другой важной характеристикой субоптимального алгоритма

оценивания является адекватность вырабатываемой в нем расчет­ ной матрицы ковариаций Р-\у) своему действительному значе­ нию. В частности, при обсуждении результатов, полученных в примере 2.5.1, была отмечена несогласованность расчетных харак­ теристик точности их действительным значениям. Но для решения вопроса об адекватности вырабатываемых в алгоритме характери­ стик точности недостаточно провести сопоставление ошибок оце­ нок и соответствующих им расчетных характеристик для отдель­ ных реализаций измерений. В целях обоснованной проверки адек­ ватности поступают следующим образом. Помимо безусловной матрицы ковариаций (2.5.33) вычисляют безусловную расчетную матрицу ковариаций с помощью следующего соотношения: