книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Равенства (2.4.10), (2.4.11), (2.4.13) означают, что ошибка оценки е = д: —х(у) ортогональна вектору оценки х(у), век­

тору измерений у, произвольной линейной комбинации его компонент и каждой компоненте по отдельности.

Поскольку х = х(у) + х - х ( у ) , из сказанного следует, что век­ тор х может быть представлен в виде суммы двух некоррелиро­ ванных (ортогональных) случайных векторов [16,47]

Один из этих векторов х(у) = К1"'у представляет собой линей­ ное преобразование исходных измерений у, , / = 1./и, его называ­

ют также ортогональной проекцией вектора х на пространство,

образованное у ,, i = 1 .т . Второй вектор е = л- - Je(у) ортогона­

лен этому пространству в том смысле, что м|е(/,у)т}=0 при произ­ вольной п х т матрице L .

Равенство (2.4.10) нередко используется как определение ли­ нейной оптимальной оценки, т.е. задача оценивания может быть сформулирована так: найти линейную оценку х(у) = Ку , ошибка которой ортогональна вектору измерений, т.е. удовлетворяет уравнению (2.4.10). Решение будет определяться соотношением (2.4.8) и в этом смысле такая постановка задачи оценивания экви­ валента задаче нахождения линейной несмещенной оценки с ми­ нимальной дисперсией.

Заметим, что при наличии информации о первых двух момен­ тах для составного вектора г = (хт,ут)т , представление, аналогич­ ное (2.4.14), может быть легко получено и для вектора у. Т.е. век­ тор измерений может быть представлен в виде суммы

у= у(х) + 8 двух векторов: линейного преобразования вектора х

инекоррелированного с ним вектора ошибок (см. задачу 2.4.5).

Св о й с т в о 3. Матрицы ковариаций ошибки линейной оп­

тимальной оценки, удовлетворяют следующему неравенству

[16, 80]: Р - Р > 0, где Р - матрица ковариаций произвольной ли­ нейной несмещенной оценки, отыскиваемой в виде (2.4.3).

Напомним, что выражение Р> 0 для матрицы означает неот­ рицательную определенность соответствующей ей квадратичной формы. В связи с приведенным неравенством молено говорить о том, что линейная оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка минимизирует матрицу ковариаций ошибок оценивания, а сама апостериорная матрица ковариаций Р характеризуют потен­ циальную точность оптимального оценивания в рамках байе­ совского подхода в классе оценок, линейным образом завися­ щих от измерений. Диагональные элементы этих матриц соответ­ ственно определяют потенциальную точность оценивания компо­

нент X j , j = \.n.

Св о й с т в о 4. Оценка (2.4.8) минимизирует определители матриц Р [80].

Св о й с т в о 5. Оптимальная линейная оценка т -мерного вектора х , связанного с п -мерным вектором х линейным преоб­

разованием х = 7х, где Т - произвольная m х п матрица, опреде­

ляется как х(у) = 7 x (v ), где х(у) - оптимальная линейная оценка вектора х [16, 80].

2.4.3. Решение линейной задачи.

Взаимосвязь с алгоритмами метода наименьших квадратов

Из выражения (2.4.8) следует, что для получения линейных оп­ тимальных оценок необходимо располагать математическими

решении задач обработки навигационной информации обычно считаются известными статистические свойства для оцениваемого

Анализ приведенных соотношений показывает, что с их ис­ пользованием не только удается синтезировать алгоритм, но, в сущности, и решить задачу анализа точности, поскольку для этих целей следует использовать матрицу ковариаций ошибок оценива­ ния, которая вычисляется с помощью выражений (2.4.18) или (2.4.20). Причем весьма существенно, что для ее нахождения не требуется специальных процедур, поскольку она фактически фор­

мируется, как следует из (2.4.19), при вычислении К 1т

♦ П р и м е р 2.4.1. Найдем выражение для оптимальной линейной оценки и соответствующей ей дисперсии скалярной случайной величины

а а

случайные величины, равномерно распределенные в интервале

Применительно к рассматриваемой задаче для оптимальной линейной оценки и соответствующей ей дисперсии получим:

которые после подстановки значений математических ожиданий х = 0 ,

Приведенный алгоритм будет оптимальным линейным алгоритмом не только для случайных величин с равномерным распределением, но и для любых центрированных случайных величин, имеющих произвольное распределение и заданные дисперсии <JQ =Ь2 /\2, г2 = а2 / 12. В частно­

сти, этот алгоритм будет оптимальным для центрированных гауссовских случайных величин с такими же дисперсиями.

в качестве х принимается значение, совпадающее с матема­

тическим ожиданием вектора х, a D = (Px)~l, QrR'1, оценки

ММНК совпадают с линейными оптимальными оценками.

Отсюда, в частности, следует, что при выполнении указанных выше условий, оценки ММНК в линейной задаче обладают всеми свойствами, перечисленными в предыдущем подразделе, в том числе они являются несмещенными байесовскими оценками с ми­ нимальной дисперсией среди всех линейных оценок.

Сопоставление между собой различных вариантов МНК было проведено в подразделе 2.2.4. Поскольку при сделанных предпо­ ложениях линейная оптимальная оценка совпадает с ММНК, по­ лученные в подразделе 2.2.4 выводы относительно взаимосвязи ОМНК и МНК с ММНК в полном объеме распространяются на случай выявления их взаимосвязи с оптимальными в среднеквад­ ратическом смысле линейными оценками.

В частности, если считать выполненным условие

и, кроме того, принять R = r2E , т. е. полагать, что ошибки измерения есть некоррелированные между собой случайные величины с одинаковыми дисперсиями, то тогда можно говорить о практиче­ ском совпадении оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок с оценками обычного МНК. В частности, усло­

вие (2.4.21) в примере 2.4.2 сводится к неравенствам a j} » — ,

1 'г

н

будут между собой совпадать.

Из сказанного следует, что оценки и соответствующие им ха­ рактеристики точности, полученные для ММНК в рассмотренных примерах 2.2.2-2.2.5, можно трактовать как линейные оптималь­ ные байесовские оценки.

2.4.4. Решение нелинейной задачи

Обсудим возможность построения линейного оптимального алгоритма оценивания вектора х по измерениям у применитель­

задачи, в которой для построения алгоритма достаточно распола­ гать только первыми двумя моментами для составного вектора, требуется еще и знание ф.п.р.в. f(x) для оцениваемого вектора.

Для лучшего понимания сути линейного алгоритма примени­ тельно к нелинейной задаче запишем исходные измерения с по­ мощью линейного представления в виде

где у - независимый от д: центрированный случайный вектор с

матрицей ковариаций P v

Найдем такие значения Я и Pv , при которых матрицы кова­

риаций Ру и Рху будут совпадать с соответствующими матрица­

ми ковариаций для нелинейных измерений. Сделать это нетрудно,

Ру = НР ХН Т + R и таким образом:

н= р ух(р хУ

р7 = р у ~ р ух(рхУ р ху

Принимая во внимание эти соотношения и выражения (2.4.24), (2.4.25), получаем:

~ J CK*) - ÿ)(x - x)T f(x)dx(px) 1J (x - х )(ф ) - ÿ)T)f(x)dx . (2.4.29)

Из (2.4.28) следует, что случайный вектор v может быть пред­ ставлен в виде суммы двух векторов

где vad - независимый от v центрированный случайный вектор с

матрицей ковариаций, определяемой (2.4.29).

Таким образом, можно дать следующую интерпретацию проце­ дуры получения линейного оптимального алгоритма: исходные

нелинейные измерения заменяются на их линейное представление в виде (2.4.26), а для учета такой замены в модели измерений к исходному вектору ошибок v добавляется вектор дополнительных методических ошибок vad.

♦ П р и м е р 2.4.3. Построим оптимальный линейный алгоритм в зада­ че оценивания скалярного параметра по набору скалярных измерений вида

Ух =ax + bx* +Vj, / = 1 .т , (2.4.31)

в которых х и v,-, / = 1 ,т - центрированные гауссовские независимые

между собой случайные величины с дисперсиями GQ и г2

В этом случае, используя выражение (1.1.22) для четных моментов га­ уссовских случайных величин, т.е.

где / 1хш , Imxm - столбец lx /л и квадратная т*т матрица, составленные

из единиц; Еш - единичная гпхт матрица.

Таким образом, представление вида (2.4.26) для исходных нелиней­ ных измерений в рассматриваемом примере может быть записано:

где va(f = d - постоянная для всех измерений составляющая ошибки с

дисперсией с 2 = 6Ô20Q , т. е. дополнительная методическая ошибка в

этом примере является систематической составляющей общей ошибки

виде R- = г2Ет +сг%1тхт . Исходная нелинейная функция s(х) = ах + Ьх3

и ее линейное представление s(x)^hx при а =2, 6=0,5 и двух значениях

< 0=1 и 0,5 изображены на рис. 2.4.1.