книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

С использованием соотношений (2.1.4), (2.2.25), (2.2.26) при диаго­ нальной О = ы в критерии для ОМНК легко получить следующие вы­ ражения:

т

т

D = (рЛ) 1 и учитывая тот факт, что R = г 2Е , легко убедиться в том, что матрицы ковариаций ошибок оценивания в МНК и ОМНК в этом случае будут между собой совпадать, т.е. Р омнк = Р мнк #а для ММНК

Обсудим вопрос взаимосвязи и отличий процедур оценивания и соответствующих им характеристик точности для разных алгорит­ мов МНК более подробно.

2.2.4. Взаимосвязь и сопоставление различных алгоритмов метода наименьших квадратов в линейном случае

При сопоставлении алгоритмов будем полагать, что известны математическое ожидания оцениваемого вектора, соответствую­

щая ему матрица ковариаций Р х , а вектор ошибок не коррелиро­ ван с л' и является центрированным вектором с матрицей ковариа­

ций R . Кроме того, считаем, что в критерии ОМНК О = R ~] ,

а в ММНК в качестве х принято математическое ожидание векто­ ра л и D = {p x ]

При обсуждении взаимосвязи оценок, соответствующих раз­ личным вариантам МНК, весьма полезным представляется соот­ ношение, с помощью которого оценки ММНК выражаются через оценки ОМНК. Для его получения запишем

х ыш'к(у) = х + К ттк( у - Нх) = {Е - К мткН ) х + К ши,ку.

Принимая во внимание тот факт, что

(Е - к шткН) = (й + H rQH)_1[D + H TQH ) - (D + H TQH )'XH t Q H =

= [D + H TQH Y (D + H TQH - H rQH) = (ü + H TQH Y D,

a

£MMHK = (p + H TOH Y H rO = [D + H TQH Y ( H TQH)(HTOH)~l H TQ ,

Учитывая сделанные предположения, полученное выражение может быть переписано в виде

Анализируя (2.2.31), (2.2.37), замечаем, что оценки и соответст­ вующие им матрицы ковариаций ошибок для ОМНК и ММНК бу­ дут практически совпадать между собой, если выполнено нера­

венство (р л) « H TR~lH Если, кроме того, полагать R = r 2E ,

то оценки и их ошибки для всех трех методов будут также практи­ чески одинаковыми.

Из выражения (2.2.37) следует, что оценка ММНК в рассматри­ ваемой линейной задаче может быть сформирована в результате взвешивания х , определяющего априорное значение вектора л:, и оценки х омнк (д>), полученной без учета этой априорной информа­ ции. Причем весовые матрицы, стоящие перед х и х 0М11К( у ) ,

в значительной степени определяются матрицами, обратными мат­ рицам, характеризующим точность взвешиваемых величин.

В частности, для примера 2.2.2 выражения для оценок и соот­ ветствующих им ошибок для ММНК (2.2.35), (2.2.36) в этом слу­ чае примут следующий вид:

хмшк(у) = Рх + ах°шк(у);

емммк (у) = Р(х - х) + ае0М,1К(у) ,

Ясно, что представления (2.2.36), (2.2.37) в векторном случае возможны, если матрицы р шш и Р х не вырождены. Очевидно, что при невырожденности матрицы Р ммнк допустима и обратная операция, предполагающая вычисление хом,,к(>’) по известному

значению оценки ММНК

-о м н и ^ = р о м н к (('р м м н к у \ -ММНК _ ( р х y l (2.2.38)

Возможность вычисления матриц ковариаций для различных алгоритмов позволяет провести их сравнение по точности. При

сделанных предположениях (Q = R~’, D = (Р Л)-1) можно пока­ зать (задача 2.2.4), что будет справедлива следующая цепочка не­

Проведем более подробное обсуждение взаимосвязи различных алгоритмов на примере рассмотренной в разделе 2.1 задачи ком­

плексной обработки данных от двух измерителей, представленных в виде (2.1.33). При этом будем полагать, что vj, v2 - некоррели­

рованные между собой центрированные векторы с известными матрицами ковариаций Rj > О, j = 1,2 , а х - независящий от этих

ошибок случайный вектор с математическим ожиданием х и мат­ рицей ковариаций Р х , а в критерии ОМНК Q = Л-1

Принимая во внимание сделанные предположения и тот факт,

что в этой задаче Я = , где Е„ - п х п , а матрица ковариаций

для составного вектора ошибок измерений определяется как

~R] О

, можно, воспользовавшись полученными выше вы­

ОR,

ражениями для оценок и матриц ковариаций, соответствующих различным методам, конкретизировать их для рассматриваемой задачи. В результате для МНК и ОМНК получим:

Из представленных соотношений следует, что при решении за­ дачи комплексной обработки в случае МНК алгоритм сводится к простому осреднению имеющихся измерений, а в ОМНК эти из­ мерения взвешиваются с весами, которые позволяют учесть раз­ личный уровень погрешностей используемых измерителей. Имен­

но это обстоятельство и объясняет неравенство Р М,1К> / >омнк : в ОМНК предусмотрена возможность учета разного уровня по­ грешностей используемых измерений, в то время как в МНК все измерения выступают как равноправные.

Для ММНК соотношения для оценок и матрицы ковариаций их ошибок можно записать:

Нетрудно заметить, что точно такие же соотношения могут быть получены, если вместо задачи оценивания х по измерениям (2.1.33) с использованием ОМНК рассматривать задачу оценива­ ния того же вектора с использованием ОМНК, но при этом к набо­ ру измерений (2.1.33) добавить измерение вида

совместной обработки данных от двух измерителей с помощью ОМНК

результирующая дисперсия ошибки оценивания Р 0МН1С будет всегда меньше дисперсии любого из используемых по отдельности измерителей,

т.е. р омнк < min(/*j2 , г2 ) . При использовании же МНК дисперсия опре­

может быть записано, как Рммик < min(cFg, Г\ , г2 ) . Понятно также, что в случае, когда одно из измерений более точное, чем остальные, напри-

мер r f « 1‘2 И г { «<То> ТО X ~ X » Ух, а Г ~ Р ~

Это означает, что в качестве оценки фактически принимается наиболее точное измерение. Ясно, что МНК в этом случае будет значительно усту­ пать по точности ОМНК и ММНК.

ответствующая им величина среднеквадратической ошибки будет r l 4 l , в то время как для ММНК она равна /7 V3 . ♦

Достаточно наглядно эффект от привлечения априорной ин­ формации проявляется на примере задачи комплексной обработки данных от двух измерителей в случае определения координат мес­ та объекта на плоскости. Рассмотрим более подробно этот пример.

двухмерный вектор, задающий координаты объекта на плоскости. Счита­ ем, что этот вектор является случайным с математическим ожиданием х

и матрицей ковариаций Р х , а некоррелированные с х двухмерные век­

торы ошибок измерения являются центрированными случайными векто­

Воспользовавшись соотношениями (2.2.41),(2.2.43), (2.2.45), получим:

преимущества корректного учета имеющейся априорной информации при соответствующем выборе метода обработки. ♦

В завершении раздела о сопоставлении алгоритмов важно еще раз обратить внимание на тот факт, что все приведенные результа­ ты будут справедливы лишь при выполнении отмеченных в начале подраздела предположений о свойствах оцениваемого вектора и ошибок измерений. Кроме того, предполагается, что в критерии

ОМНК Q = 7?-1 , а в ММНК в качестве х принято математическое

ожидание вектора х и D = (рх ) При невыполнении этих усло­

вий при вычислении матриц ковариаций, соответствующих ОМНК и ММНК, вместо (2.2.29), (2.2.31) необходимо использовать выра­ жения (2.2.26), (2.2.27). Это повлечет не только изменение самих значений матриц ковариаций, но и может привести к нарушению соотношения между ними, задаваемого неравенством (2.2.39).

2.2.5. Решение нелинейных задач оценивания. Линеаризованные и итерационные алгоритмы

Выше были получены простые алгоритмы вычисления оценок, соответствующих МНК и его модификациям. При введении до­ полнительных предположений о случайном характере оценивае­ мого вектора и ошибок измерения также легко вычисляются и матрицы ковариаций ошибок оценивания, с помощью которых анализируется точность оценивания. Простота процедур вычисле­ ния оценок и их характеристик точности в данном случае является следствием линейного характера рассматриваемых задач. Решение проблемы оценивания существенно усложняется, если зависи­ мость измерений от оцениваемых параметров нелинейная. В то же время, как уже отмечалось, достаточно широкий круг нелинейных задач, связанных с обработкой навигационной информации, может эффективно решаться с использованием полученных выше алго­ ритмов, применение которых в нелинейном случае основано на описанной в подразделе 2.1.7 процедуре линеаризации. Обсудим этот вопрос более подробно.

Проведя линеаризацию, исходную нелинейную задачу легко свести к линейной постановке, в которой в качестве измерения фи­ гурируют значения (2.1.25), представляемые в виде (2.1.26). С ис­

пользованием этого соотношения легко получить линеаризован­ ные варианты МНК и его модификации. Эффективность создавае­ мых при этом алгоритмов в немалой степени зависит от того, на­ сколько удачно выбрана точка линеаризации. Чем ближе эта точка к истинному значению оцениваемого параметра, тем точнее будет линеаризованное представление и тем точнее будет оценка, полу­ ченная на основе линеаризованных алгоритмов. Таким образом, для повышения эффективности алгоритмов, основанных на линеа­ ризации, точку линеаризации целесообразно выбирать как можно ближе к истинному неизвестному значению оцениваемого пара­ метра. Из сказанного следует, что для повышения эффективности линеаризованных алгоритмов, разумно использовать достаточно очевидный прием. Суть его заключается в многократной повтор­ ной обработке измерений и использовании получаемых результа­ тов для уточнения расположения точки линеаризации. Поясним смысл этой процедуры.

Выбрав начальную точку линеаризации х л и используя при­ ближение

сформируем первоначальную оценку искомого вектора с помощью соотношения

ствии с правилами, соответствующими выбранному варианту МНК. Повторим эту операцию до тех пор, пока значение оценки не перестанет сколько-нибудь существенно изменяться. В общем виде данный алгоритм для случая ММНК имеет вид: