книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Задача 1.2.2. Пусть для двух случайных векторов xL и х2 за­

даны математические ожидания x j, Зс2 , матрицы ковариаций Р,,

Р2 и матрица взаимной корреляции К = - xj)(x2 - х 2)т }.

Требуется найти матрицу ковариаций случайного вектора, форми­ руемого как у = аХ] + рх2, где а и р - известные коэффициенты.

Р е ш е н и е . Поскольку у = а?! + рх2, то для матрицы кова­ риаций с использованием (1.2.10) нетрудно записать

Ру = Му {(у - у)(у - у)т }= м х |а(.Х! - х{)+Р(д-2 - х2)Ха(х\ ~ *1) +Р(*2 ~ *2))Т |=

= а 2Р) + $гР2 +а#{К + К т)

м у{т}= | *(*)Л (x)dx + v ;

Му - у)(У ~ У)Т}= J(*(*) “ Ms(x) - ÿ)Tf x(x)dx + Rv

Задача 1.2.4. Пусть задан двухмерный вектор х = (х1,х 2)т с независимыми компонентами и математическим ожиданием

х = (xj, х2)т Покажите, что справедливо следующее соотношение:

^ х { х1х2}= *1х2 •

1.3.Преобразование случайных величин и векторов

Впредыдущих разделах рассматривалась задача нахождения моментов для случайной величины и случайного вектора, полу­ ченных в результате преобразования некоторой исходной с.в. или случайного вектора с заданной ф.п.р.в. В настоящем подразделе обсуждается более сложная задача определения самой ф.п.р.в. для случайных величин и векторов, формируемых в результате их ли­ нейных и нелинейных преобразований. Приводится пример полу­ чения ф.п.р.в. для квадрата от с.в., который конкретизируется при условии, что исходная величина гауссовская. Решается задача оп­ ределения ф.п.р.в. для вектора, определяющего координаты точки на плоскости, заданной в полярной системе координат, при усло­ вии, что ф.п.р.в. для этого вектора в декартовых координатах га­ уссовская. Обсуждается задача нахождения ф.п.р.в. суммы слу­ чайных величин. Подробно исследуется случай линейных преоб­ разований случайных векторов. Выводятся соотношения, позво­ ляющие вычислять математические ожидания и матрицу ковариа­ ций для векторов, связанных между собой линейными преобразо­

ваниями. Рассматривается задача ортогонализации - преобразова­ ние коррелированных векторов к вектору с некоррелированными компонентами. Приводятся соотношения, устанавливающие связь элементов матрицы ковариаций и параметров среднеквадратиче­ ского эллипса ошибок. Рассматривается важная для навигацион­ ных приложений задача определения статистических характери­ стик проекции двухмерного вектора на некоторое произвольное направление.

1.3.1. Функции случайных величин

Итак, предположим, что с.в. у = g(x) получена в результате

преобразования случайной величины х с известной ф.п.р.в. / Х(х).

Требуется найти ф.п.р.в. / у(у), характеризующую свойства

с.в. у [44]. Для решения этой задачи сначала будем полагать, что

g(x) монотонная функция и таким образом существует взаимно

однозначное соответствие между х и у во всей области их воз­

можных значений. Это означает, что существует обратная функция

54

Поскольку Pr(x, < х < л*! + dx) » / х(x)dx и P r(y, < у < у , + dy)

« f y ( y ) d y , то для обеспечения (1.3.1) необходимо, чтобы в преде­

Для убывающей функции знак у производной надо изменить на противоположный, так что в общем случае получаем

dh(y)

/у О ) = Л (лСу)) dy

Если функция х = Л(у) = h(g(x)) многозначна, то, разбивая об­

ласть значений на участки, для которых она однозначна, и проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что в этой ситуации справедливо следующее соотношение:

где у - hk (х) - функция на участках однозначности к - 1 .К

♦ Пример 1.3.1. Пусть задана ф.п.р.в. для с.в. х . Необходимо найти ф.п.р.в. квадрата от этой величины, т.е. у = х [44].

Здесь каждому значению у , которое всегда положительно, соответст­ вуют два значения

Pr(yj < у < у, + dy) = Pr(xj < х < xj + с/х, ) + Рг(х2 - dx2 < х < х2 )

Принимая во внимание (1.3.3), для у > 0 запишем

Рис. 1.3.3. График ф.п.р.в. для у = х 2 при гауссовском характере ф.п.р.в. для х ♦

Из представленного материала следует, что, подвергая некото­ рую исходную с.в. с заданной плотностью распределения тем или иным преобразованиям, удается получать с.в. с различными ф.п.р.в. В частности, можно показать, что для получения с.в. с об­ ратимой ф.р.в. Fy (у) достаточно, располагая с.в. х , равномерно

распределенной на интервале [0,1], подвергнуть ее преобразова­ нию [73]

Действительно, пусть скалярная с.в. х распределена равномер­ но в интервале [а,Ь] и задана некоторая ф.п.р.в.

(1.3.4)

причем Fy (у) имеет обратную Fy 1(х) Введем новую с.в. с по­ мощью преобразования

Поскольку по определению обратной функции

справедливо равенство

(b -a)Fy(g(x)) + a =x,

из которого следует, что функция h(g(x)) = Л( у ) , обратная для g (x ), имеет вид

К у) = ( b - a)Fy (у) + а .

Используя теперь соотношение (1.3.2) применительно к рас­ сматриваемому случаю, получаем

dy dy

♦ П р и м е р 1.3.2. Предположим, что задана с.в., равномерно рас­ пределенная на интервале [0,1]. Требуется сформировать с.в. с экспонен­ циальной ф.п.р.в. [73, с. 49].

/ у 0 ;) = ае~ау 0 < у <оо.

Поскольку

у

Fy(.v) = J OLe~audu =1 - e~ay

0

то, принимая во внимание вид обратной функции для F yQ>) = 1 - е~ау

получаем, что экспоненциальную ф.п.р.в. будет иметь случайная вели­ чина

у = -- 1 п (1 - х ) . ♦

а

1.3.2. Функции случайных векторов

Выше речь шла о преобразованиях случайных величин. Обсу­ дим теперь задачу преобразования случайных векторов. Можно показать, что правила нахождения ф.п.р.в. для случайного вектора y = g(x), полученного путем преобразования с помощью нели­

нейной вектор-функции g(x) = (g, (х),..., g„ (х)), аналогичны при­

веденным выше для одномерного случая. Предположим, что зада­ на плотность распределения / х (х) для п -мерного вектора х.

Когда g(x) взаимно однозначна во всей области возможных зна­

dy\ dy„