книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

которого вводится предположение о случайном характере ошибок измерения. Относительно оцениваемых параметров, как и прежде, сохраняется предположение о том, что он представляет собой не­ известный детерминированный вектор. Свойства ошибок задаются с помощью соответствующей ф.п.р.в., порождающей функцию правдоподобия, играющую важную роль при построении алгорит­ мов.

Небайесовский подход занимает промежуточное положение между двумя крайними с точки зрения привлекаемой априорной статистической информации группами алгоритмов, не требующи­ ми предположения о случайном характере оцениваемого вектора и ошибках его измерения, и байесовскими алгоритмами, при по­ строении которых считаются случайными как сам оцениваемый вектор, так и ошибки измерения.

Байесовскому подходу, построение алгоритмов в рамках кото­ рого основано на минимизации среднеквадратического критерия, непосредственно характеризующего уровень ошибки оценивания, посвящены два раздела главы. Сначала в целях упрощения при получении алгоритмов предполагается, что минимизация критерия осуществляется лишь для класса оценок, линейным образом зави­ сящих от измерений. Это позволяет ограничиться заданием лишь первых двух моментов для вектора оцениваемых параметров и ошибок измерения.

Далее рассматриваются оптимальные байесовские алгоритмы (или оценки), при построении которых снимается ограничение на класс используемых оценок, что требует привлечения полной ап­ риорной статистической информации об оцениваемом векторе и ошибках измерения, задаваемой с помощью совместной ф.п.р.в. Важную роль здесь играет понятие условной или апостериорной ф.п.р.в. При изучении этого материала требуется понимание соот­ ветствующих разделов первой главы.

С учетом сказанного предлагаются два варианта изучения дан­ ной главы. Для предварительного знакомства с методами теории оценивания при описании случайных векторов с использованием только их первых двух моментов рекомендуются следующие под­ разделы: 2.1, 2.2, 2.4, 2.6.4. При углубленном изучении основ тео­ рии оценивания, требующем привлечения понятия о функции плотности распределения вероятности, дополнительно рекомен­ дуются подразделы 2.3,2.5 и 2.6 в полном объеме.

Все рассматриваемые алгоритмы иллюстрируются на методи­ ческих примерах и задачах обработки навигационной информации, сформулированных в начале главы.

Следует подчеркнуть, что при изложении материала значитель­ ное внимание уделяется выявлению взаимосвязи, а в ряде случаев и совпадению алгоритмов, получаемых при использовании раз­ личных подходов. Выявление такого совпадения алгоритмов пред­ ставляется весьма важным, поскольку нередко алгоритмы, полу­ ченные в рамках того или иного подхода, подвергаются критике либо за отказ от априорной информации при их получении, либо, наоборот, за ее привлечение при недостоверном характере. Тот факт, что используемые алгоритмы могут быть получены на осно­ ве различных подходов и предположений позволяет более обосно­ ванно аргументировать их применение для решения прикладных задач.

Необходимо обратить внимание, что в целях упрощения в этой главе и далее для случайных величин и векторов и их возможных значений, будем использовать одинаковые обозначения, т.е., к примеру, вместо х используем д:.

2.1. Примеры и постановки задач оценивания постоянных параметров при обработке навигационной информации

Рассмотрим примеры типичных линейных и нелинейных задач оценивания постоянных параметров, с которыми приходится стал­ киваться при обработке навигационной информации.

2.1.1. Оценивание коэффициентов полинома

Предположим, что в моменты времени ti , i = \.m с использо­

ванием имеющегося на борту летательного аппарата датчика про­ ведены измерения высоты, и при этом можно полагать, что в тече­ ние интервала проведения измерений эта высота не меняется. То­ гда, вводя обозначение 1г=х и полагая, что измерения содержат

ошибки V,-, / = 1.т , задачу определения h можно свести к оцени-

ванию неизвестной постоянной величины х по набору зашумлен­ ных измерений

мерные векторы у = (у\,...у„,)Т и v = (vlv ..vw)T, измерения (2 .1 .1 )

Отличительная особенность этого выражения заключается в том, что зависимость измерений от оцениваемого параметра - ли­ нейная. В этой связи можно говорить о линейном характере‘изме­ рений. Можно ввести более сложную модель для описания изме­ нения высоты за время проведения измерений. В частности, если считать, что высота меняется по линейному закону (представляет собой линейный тренд), то измерения, проводимые с интервалом A t, можно представить в виде

Измерения (2.1.3) и в этом случае могут быть представлены с помощью соотношения (2 .1 .2 ), для чего достаточно ввести оцени­ ваемый вектор и матрицу Я

Можно получить представление в виде (2.1.2) и для более об­ щего случая, когда изменение высоты описывается полиномом л - 1 -первого порядка, и тогда задача в математическом плане

может быть сведена к оцениванию коэффициентов x = (xj,X2 ,..x„)T этого полинома по измерениям

К такой постановке нередко сводится задача предварительной обработки измерений используемых датчиков для снижения уровня их шумов.

С необходимостью оценивания коэффициентов полинома при­ ходится также сталкиваться и при решении так называемой задачи калибровки приборов. Ее суть заключается в том, что показания прибора сравниваются либо с эталонным значением измеряемого параметра, либо с показаниями другого, более точного измерителя. При этом требуется построить модель изменения ошибок во вре­ мени с тем, чтобы в дальнейшем при отсутствии эталона учесть эти изменения и тем самым повысить точность измерения в штат­ ном режиме. Пример реализаций ошибок измерений, явно содер­ жащих постоянную составляющую в одном случае и квадратич­ ный тренд (полином второго порядка) в другом, приведен на рис.

2. 1. 1.

Рис. 2.1.1. Примеры реализации ошибок измерении, содержащих постоянную величину (я) и содержащих квадратичный тренд, / = 10 с , At —0,1 с (б)

В качестве аргумента в выражении (2.1.5) не обязательно долж­ но фигурировать время. Это могут быть и другие физические ве­ личины, например температура. Известно, что ошибки высокоточ­ ных измерителей существенным образом зависят от температуры. Для снижения этих ошибок предусматривается специальная сис­ тема термостабилизации. Если предварительно описать зависи­ мость изменения погрешностей прибора от температуры, напри­ мер с помощью полиномиальной модели, то в ряде случаев удает­ ся заметно снизить требования к дорогостоящей системе термо­ стабилизации.

2.1.2. Задача начальной выставки инерциальной навигационной системы. Простейший случай

Известно, что, если пренебречь ошибками чувствительных эле­ ментов инерциальной навигационной системы (ИНС), погреш­ ность выработки скорости для одного из каналов ИНС в простей­ шем случае может быть приближенно описана с помощью сле­ дующего выражения [4]:

где а(0 ), ДК^(О) - начальная ошибка построения вертикали (угла между истинной и вырабатываемой в ИНС плоскостями горизон­ та) и начальная ошибка скорости; g - ускорение силы тяжести;

Шулера: Тш = 2к — » 84 мин. VS

Предположим, что объект, на котором установлена ИНС, не­ подвижен, т. е. известно, что скорость нулевая. В этом случае вы­ рабатываемые инерциальной системой показания скорости факти­ чески будут представлять собой ошибку ИНС. Снимая эти показа­ ния в дискретные моменты времени, можем записать

где v,- - ошибка съема показаний.

Используя набор измерений, можно оценить начальную ошибку построения вертикали и ошибку выработки скорости. По сути это есть задача начальной выставки ИНС в ее простейшем рассмотре­ нии. Вводя вектор оцениваемых параметров и матрицу Н:

нетрудно и эти измерения представить в виде, аналогичном (2.1.2). Если предположить, что задача решается на малом по сравне­ нию с периодом Шулера интервале времени, то, раскладывая в ряд значения функций sin с о и cos со,,,V,-, эту задачу легко свести к задаче оценивания коэффициентов полинома. В частности, если

115

рения могут быть приближенно записаны с помощью полинома

С оцениванием коэффициентов полиномов второго и третьего порядка приходится иметь дело и в задаче выработки так называе­ мых динамических параметров, при решении которой погрешно­ сти ИНС по составляющим скорости и перемещения на интервале времени АГ приближенно описываются с помощью полиноми­ альных моделей [4, с. 255].

2.1.3. Постановка линейной задачи оценивания

Все перечисленные выше задачи могут быть сведены к сле­ дующей общей постановке линейной задачи оценивания.

Задан постоянный п -мерный вектор х = (A*I ,...х„)т

где Н - mx/г-мерная матрица, а v = (v,,...v,„)T- /и-мерный вектор, описывающий ошибки измерения.

Требуется, располагая измерением (2.1.11), найти в каком-то смысле «хорошую» оценку х ( у ) неизвестного вектора х Этот вектор в задачах оценивания называется вектором состояния

(state vector). Запись х =^ = 0 означает, что вектор х постоян­

ный, поскольку решение этого простейшего дифференциального уравнения х = const. Такая запись используется в целях установ­ ления преемственности рассматриваемой в этой главе задачи оце­ нивания постоянного вектора с более общими задачами оценива­ ния изменяющегося вектора, поведение которого во времени мо­ жет быть описано с помощью дифференциальных или разностных уравнений.

При решении сформулированной задачи важным представляет-

ся не только сам алгоритм вычисления оценки по имеющимся из­ мерениям, но и умение количественно охарактеризовать уровень ошибки оценки, определяемой как

£(7 ) = х - х ( у ) , (2 .1 .1 2 ) т.е. количественно оценить точность вырабатываемой предлагае­ мым алгоритмом оценки. Последнее особенно актуально при ре­ шении задач обработки навигационной информации. Таким обра­ зом, в рассматриваемой проблеме можно выделить две важные задачи: задачу синтеза алгоритма, т.е. получения конкретной процедуры вычисления оценок х ( у ) , и задачу анализа точности, суть которой заключается в выявлении свойств ошибок (2 .1 .1 2 ), в частности в определении уровня этих ошибок.

2.1.4. Определение относительного сдвигареализаций

Рассмотрим далее примеры нелинейных задач оценивания. Не­ редко при решении прикладных задач приходится сталкиваться с задачей определения относительного сдвига двух реализаций. По­ ясним ее суть. Пусть задана в общем случае нелинейная функция s(t) скалярного аргумента и проведены измерения типа

значения которых заданы с точностью до неизвестной постоянной величины т .

Требуется, зная функцию s(t) и располагая значениями у{, tt ,

i = 1 т , оценить т , т. е. необходимо определить временное запаз­ дывание (сдвиг) одной реализации относительно другой. В случае, например, когда s(t) является гармоническим колебанием, это вы­

При известных значениях амплитуды и частоты получаем зада­ чу определения фазы. Отличительная особенность этого выраже­ ния заключается в том, что зависимость измерений от оцениваемо­ го параметра - нелинейная. В этой связи можно говорить о нели­ нейном характере измерений. В общем виде в нелинейных зада-

т-мерная вектор-функция.

Врассмотренном примере при известных значениях амплитуды

задачу фазовой автоподстройки частоты, которую нередко при­ ходится решать при построении различных измерительных прибо­ ров. В общем случае в задаче определения параметров гармо­ нического сигнала могут быть неизвестны все три параметра - амплитуда, частота и фаза, тогда вектор оцениваемых параметров

будет трехмерным а-т = (А, ф0 , со). Нетрудно заметить, что при из­ вестных значениях частоты и фазы зависимость измерений от 118

Здесь также требуется найти пространственный сдвиг измерен­ ной реализации относительно карты. Более подробно эта задача рассматривается в главе 3.

2.1.5. Определение координат по измерениям дальностей до точечных ориентиров

В качестве примера еще одной нелинейной задачи оценивания можно привести задачу определения координат объекта на плос­ кости с использованием измерений дальностей до ориентиров, ко­ ординаты которых предполагаются известными (рис. 2.1.4). В этом

случае х = (xt, х2)т , и измерения принимают вид

Si(х) =Di(х) = -у/(х'{ - х }\ +(х2 - х 2 J

Идея определения местоположения с использованием измере­ ний дальностей достаточно простая. При наличии безошибочного измерения дальности до одного точечного ориентира координаты объекта становятся известными с точностью до его расположения на окружности, радиус которой совпадет с измеренным значением дальности. Линии постоянного значения измеряемых параметров в навигации называются изолиниями положения [23]. В данном случае они представляют собой окружности. Располагая двумя измеренными без ошибок значениями дальностей, координаты объекта можно получить как одну из двух возможных точек пере­ сечения этих изолиний. Поскольку измерения содержат ошибки, то вместо линий будут формироваться полосы, заключенные меж­ ду окружностями, равными максимально и минимально возмож­ ным значениям дальностей при заданном уровне ошибок измере­ ния. При наличии двух измерений возможные координаты объекта будут с высокой степенью вероятности располагаться внутри фи­ гуры, формируемой в результате пересечения двух полос. При на­ личии большего количества измерений возникает проблема опре­ деления координат с максимальной точностью.