книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdf
2.1.6. Определение координат и скорости по спутниковым данным
Легко обобщить рассмотренную в предыдущем примере задачу на случай определения координат в трехмерном пространстве. Именно такого типа измерения используются при определении координат с помощью упоминавшихся уже СНС. Измерив задерж ки между принимаемыми и формируемыми в аппаратуре потреби теля реализациями и располагая известной скоростью распростра нения радиоволн, измеренные значения дальностей до спутников можно представить как
р,- = -J(x'j - X, )" + ( * 2 - Л' 2 J +(xi - Л'зf +cAt + sif |
(2.1.18) |
где .ï[,л'2 , х3 - неизвестные координаты потребителя |
на момент |
приема сигналов, заданные в прямоугольной геоцентрической сис теме координат; х'-, j = 1,2,3 - координаты / -го спутника в той же системе координат, передаваемые потребителю в навигационном сообщении; At - ошибка часов потребителя; е( - суммарная ошибка измерения; с - скорость света [13, 75].
Заметим, что орбиты и расположение на них спутников выби раются таким образом, чтобы практически в любой точке земного шара в любое время можно было бы получить измерения не менее чем от четырех спутников. В состав СНС помимо спутников вхо дят наземные контрольные станции, задача которых заключается в уточнении параметров движения (координат и скоростей) спутни ков (рис. 2.1.5).
Компонентами оцениваемого вектора а* = (Х[ , х2 , х3 , Дt)T явля ются координаты потребителя и ошибка его часов.
Помимо координат с использованием СНС могут быть опреде лены также и составляющие скорости потребителя. С этой целью используются измерения доплеровских смещений несущей часто
ты ( f f on ), возникающих за счет взаимного перемещения спутника и потребителя.
IÏÏ2I1 — |
— T” l |
Спутник 4 |
Z X J |
|
|
PisP*
КС Наблюдатель
Рис. 2.1.5. Определения навигационных параметров по данным СНС: КСконтрольные станции, определяющие параметры движения спутников
Используя эти измерения, можно записать
(лс{ -■У|)(А|' ~-У|)+ (-У2 - X 2 W 2 -* 2) +(*э ~*з)(*з --Уз) , rV- + ~ ,(2.1.19)
V Й - |
*1 f |
+ (v2 - *2 f + й - Xi )2 |
где Xj ;x'j, j = 1,2,3 |
- |
составляющие скорости потребителя и i -го |
спутника соответственно; Д/ - ошибка из-за дрейфа часов потре
бителя; £,• - суммарная ошибка доплеровских измерений. Здесь оцениванию подлежит вектор, включающий составляющие скоро сти потребителя Л], х2,х3 и ошибку из-за дрейфа его часов.
Как видно из представленных выражений, ошибки измерения дальности и скорости ее изменения, обусловленные ошибками ча сов потребителя и дрейфом их ухода, носят систематический ха рактер. Их наличие и определило используемые для измеряемых параметров (2.1.18), (2.1.19) термины - псевдодальность и псевдо скорость, а также тот факт, что для решения навигационной задачи одновременно требуются измерения не менее чем от четырех спутников.
2.1,7. Постановка нелинейной задачи оценивания и ее линеаризация
Все перечисленные выше задачи могут быть сведены к сле дующей общей постановке нелинейной задачи оценивания.
Задан постоянный неизвестный л-мерный вектор х = (*! |
)т |
||
|
л' = 0 |
(2.1.20) |
|
и имеется т -мерный вектор измерений у = |
,~.ум)т |
|
|
|
y = s(x) + v, |
(2 .1 .2 1 ) |
|
где .?(•) = (s, (*),..sw(;c))T - |
т -мерная в общем случае нелинейная |
||
функция, а V = (v1 ,...v„1)T- |
m-мерный вектор, характеризующий |
||
ошибки измерения.
Требуется, располагая измерением (2.1.21), найти в каком-то смысле «хорошую» оценку х(у) неизвестного вектора х .
Здесь, как и в линейном случае, необходимо выделять задачу синтеза алгоритмов и задачу анализа точности, суть которой за ключается в определении свойств ошибок оценивания (2.1.12). Яс но, что такая постановка включает в себя и линейный случай, по скольку, заменив в (2.1.21) s(x) на Нх, приходим к задаче
(2. 1. 10), (2.1.11).
Далее при обсуждении возможных путей построения алгорит мов оценивания и анализа их точности будут рассматриваться оба класса задач: линейные и нелинейные. Однако основное внимание тем не менее будет уделяться линейным задачам. Объясняется это не только простотой решения таких задач, но и тем фактом, что многие нелинейные задачи в ряде случаев могут без значительных потерь в точности быть сведены к линейным постановкам. Осуще ствляется это на основе линеаризации функции
5 (*)=(^1 (х),..5,от(л'))т , т.е. приближенного представления ее в виде ряда Тэйлора, в котором сохраняются только члены первого по рядка
.у(х) »s(.r") + ds dx1
где х - точка линеаризации; |
|
Я (х л) = — |
(2.1.23) |
dxT х=х' |
|
При построении алгоритмов оценивания, основанных на линеа ризации, в качестве оцениваемого вектора состояния, удобно ис пользовать вектор отклонений в виде
8х = (х - хл). |
(2.1.24) |
Перенесем известные слагаемые в левую часть и введем обо значение
д
(2.1.25) Тогда можно записать следующее приближенное соотношение:
в котором у(хл) представляет, собой измерение, полученное из исходного путем вычитания известных величин.
Таким образом, исходная нелинейная задача приближенно све дена к линейной задаче оценивания 5х по измерениям (2.1.26).
Ясно, что линеаризованное описание будет допустимым лишь в ограниченной окрестности точки линеаризации. Точность такого представления ориентировочно можно оценить для скалярного случая величиной
(2.1.27)
dx~
определяющей уровень слагаемых второго порядка в разложении Тэйлора и зависящей, с одной стороны, от величины второй про-
„ d 2s
изводнои — - , а с другой - от ожидаемых возможных отклонении dxL
действительных неизвестных значений оцениваемого параметра от точки линеаризации, т.е. от разности ( х - х л)
О допустимости линеаризованного описания при решении за дач оценивания можно судить, сопоставляя уровень ожидаемых ошибок измерения v с ожидаемыми значениями
dx
Проиллюстрируем сказанное на примере рассмотренной в 2.1.5 задачи определения координат объекта на плоскости по измерени ям дальностей до точечных ориентиров по измерениям (2.1.16). Используя описанную процедуру линеаризации, можем записать
(2.1.28)
|
д |
|
|
|
___ |
|
где |
V/(хЛ) =У[ - Dj (хл ), i = 1 .т ; |
(2.1.29) |
||||
|
/ ( х 1 |
- |
Х\ )" + {х'2 |
“ Х2 f |
(2.1.30) |
|
|
А (*л) а |
|
||||
|
( х? - х ! ) /Ц ( х , ) |
(х2 |
- х \ ) Ю х{_хл) |
|
||
|
(х? ~Х\)/В 2(хл) |
(х2 - х \ ) т 2(хл) |
|
|||
|
Щ х.,) = |
|
|
|
|
|
|
К -х Г )/£ )„,(х л) |
(*2Л- х % ) / й т(хд) |
(2.1.31) |
|||
|
s'mn](xJI) |
|
cos П\(хл) |
|||
|
|
|
||||
|
sin П2(хл) |
|
cos П2(хл) |
|
||
sin Пт(хл) cosI7lu(xn)
-матрица размерности шх 2 .
Вэтих выражениях П1(хл) - угол, отсчитываемый от оси ох2, определяет ориентацию в пространстве вектора в направлении от
хл = (хл ,х ~2)т к точечному ориентиру. Сам этот вектор задает на
правление градиента для измеряемого навигационного параметра (в данном случае дальности) - направление наибольшего его из
менения. Компоненты Н](хл) соответствуют производным по
направлениям вдоль координат oxj и ох2 . Суть линеаризации в
этом примере заключается в том, что изолинии, представляющие собой, как отмечалось выше, окружности, заменяются (см. рис. 2.1.4) прямыми, которые называются линиями положения
Для величины (2.1.27) в этом примере справедливо следующее выражение:
d 2D |
2 |
d 2D |
|
d 2D |
0 = |
_лч |
|
|
|
(X1 ~ X\ Ÿ + |
^"(х 2 - х 2 ) 2 + ~ 7~ ,— (Х1 ~х\)(х2 ~ х 2 ) > |
|||
dxi |
|
dx‘ |
|
dx\dx2 |
которое при х\ - х л ~ х2 - х л « Д можно записать в виде |
||||
|
|
r d 2D |
d 2D |
d D |
|
|
-----3""*— |
----------- |
|
|
|
dxi |
dx2 |
dx\dx2 |
Считая для простоты, что одна из координаг)известна, а на правление прямой, соединяющей координаты точечного ориенти ра с точкой линеаризации, совпадает с направлением неизвестной координаты, для величины 5 получаем
с/ 2 £> о |
к2 |
Д |
|
Д А |
(2.1.32) |
||
5 = — ^-Д |
= — = —Д |
||
dx |
D |
D |
|
Отсюда следует, что погрешность линеаризованного представ ления зависит от отношения уровня возможной ошибки в коорди нате при выборе точки линеаризации к величине дальности до то чечного ориентира. Само значение 5 при этом следует сравнивать с уровнем ошибки измерения дальности. Оценивая возможную погрешность линеаризованного представления при решении зада чи определения координат по спутниковым данным с учетом вы соты орбиты в 2 0 0 0 0 км, можно констатировать, что при неточном задании точки линеаризации с ошибкой в 1 - 1 0 км значение 5 « (0,5 - 5) м . Эта величина соизмерима с уровнем ошибки изме рения дальности в современных спутниковых системах.
2.1.8. Задача комплексной обработки избыточных измерений
К рассмотренным выше постановкам задач оценивания доста точно просто сводится актуальная задача комплексной (совмест ной) обработки избыточных измерений. Проиллюстрируем это на нескольких примерах.
В простейшем варианте с задачей комплексной обработки из быточных измерений приходится иметь дело при нахождении век тора неизвестных параметров х по данным двух измерителей, показания которых могут быть представлены в виде:
Л = x + vi;
(2.1.33)
у2 =x + v2.
Специфическая особенность каждого измерения заключается в том, что обеспечивается возможность измерения всех компонент оцениваемого в общем случае и -мерного вектора.
Вкачестве таких измерителей могут выступать датчики одних
итех же параметров, основанные на разных физических принци пах; в частности, при определении координат и составляющих
скорости это могут быть показания различных навигационных систем, таких, например, как инерциальные и спутниковые систе мы и т.п.
Ясно, что эта задача представляет собой частный случай задачи
(2 .1 .1 0 ), (2 .1 .1 1 ), в чем нетрудно |
убедиться, |
положив |
, где |
EIW, - п х п |
единичная |
матрица.
В качестве другого примера, связанного с задачей комплексной обработки, можно привести следующую задачу. Предположим, что требуется найти оценку JC по двум наборам измерений:
У\ =x +vx-, |
(2.1.34) |
у 2 =s(x) + v2, |
(2.1.35) |
где у 2 - вектор размерности I; 7(х) = (?) (х),....?) (х))т - |
/-мерная |
нелинейная вектор-функция, зависящая от п -мерного неизвестно го вектора х; V] и v2 - векторы соответствующих размерностей.
Особенность этих измерений заключается в том, что одно из них обеспечивает непосредственное измерение всех компонент искомого вектора, а другое - некоторую функцию от этого вектора х. Важно подчеркнуть, что размерность измерения у2 в общем случае не совпадает с размерностью вектора оцениваемых пара метров и в этом смысле может быть произвольной.
Вводя 1 + п -мерную вектор-функцию s(x) и вектор v
приходим к нелинейной задаче оценивания (2 .1 .2 0 ), (2 .1 .2 1 ), сформулированной в разделе 2.1.7, которая после проведения ли
неаризации, например в точке хл = 0 , может быть сведена к ли нейной задаче оценивания х по измерениям:
У1 = * + и ;
(2.1.36)
У2(х'4) = У2 -s(0) = Hx +v2,
Эта же задача, в свою очередь, является частным случаем по становки (2 .1 .1 0 ), (2 .1 .1 1 ), в чем нетрудно убедиться, если в каче стве Я принять матрицу размерности (/ + и) х и , т.е.
F
Я = |
ds(x) |
(2.1.37) |
. |
Т |
|
dx . |
|
С задачей такого типа приходится сталкиваться, например, при уточнении (коррекции) показаний навигационной системы о координатах объекта с использованием некоторых корректи рующих измерений, например измерений дальностей до точеч
ных ориентиров. В частном случае, полагая, что х = (х,,х2)т -
двухмерный вектор, задающий координаты объекта на плоскости,
иимеются показания навигационной системы в виде измерения
ух= х + V, и одно измерение ( / = 1 ) дальности до точечного ориен
тира, можем записать: |
|
|
|
|
|
Ух =х, + v, ; |
|
|
|
(2.1.38) |
|
;>2 = X2 + V2 ; |
|
|
|
(2.1.39) |
|
Уз = J(X° ~ xi f |
+ Й ~ * 2 У +уз> |
(2.1.40) |
|||
где х = (л®,х 2 )т - координаты точечного ориентира. |
|
||||
После линеаризации функции |
s(x) в точке |
хл = 0 |
корректи |
||
рующее измерение (2.1.40) может быть представлено как |
|
||||
3 |
|
2 |
|
3 |
(2.1.41) |
Уз(А”Л) = Уз - s(0) = Ях + v = -Х[ sin П - х |
|
cos П + v . |
|
||
|
|
|
|
1 |
0 |
Таким образом, вводя у = ( у ,,у 2,у2)т , Я = |
0 |
|
|||
|
|
|
|
- s i n # |
-c o s П |
нетрудно измерения представить в виде (2 .1 .1 1 ).
В наиболее общем случае задача комплексной обработки в ли нейной постановке может быть сформулирована следующим обра зом.
Оценить постоянный и-мерный вектор х , используя набор из т
векторных измерений вида |
|
уj = HjX + vj , j = \/n, |
(2.1.42) |
в которых |
Hj - |
nij х п матрицы; |
vy- - |
nij-мерные векторы оши |
||
бок измерения; j |
- номер измерения. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
т |
|
Введя |
хп |
матрицу Н , где |
|
^ mJ , составные векторы |
||
|
|
|
|
|
7=1 |
|
измерений у и их ошибок v в виде |
|
|
|
|||
|
|
ГН , ~ |
' У\ ~ |
|
’ V |
|
|
|
Н 2 |
У2 |
V = |
v2 |
|
|
|
н = |
» У = |
, |
(2.1.43) |
|
|
|
H т _ |
Ут_ |
|
У т . |
|
замечаем, что и в этом общем случае задача сводится к обычной постановке (2 .1 .1 0 ), (2 .1 .1 1 ).
Задачи к разделу
Задача 2.1.1. Пусть имеется набор измерений |
|
У1 =*i + х2 + v ;-, i =\.m |
( 1 ) |
Запишите постановку задачи в виде (2.1.11) в случае, когда по измерениям ( 1 ) необходимо найти только Xj, а сумма е,- = х 2 +v,-
трактуется как ошибка. Сделайте то же самое, полагая, что оцени
ванию подлежит х\ |
и х2 . |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
В первом случае x = xj, y =Hx + s, |
где |
|||
Н Т = [1,1.... 1], и компоненты вектора ошибок |
е = (E[,..ÆM ) T опре |
||||
деляются как |
|
|
|
|
|
|
|
|
е г = х 2 + v t-. |
|
(2 ) |
Во |
втором |
случае |
x = (x1 ,x2)TJ |
y = Hx + v, |
где |
1 |
1 |
|
|
|
|
Н Т |
, а вектор ошибок совпадает с v = (vj ,...v/;,) T |
|
|||
1 1