книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Очевидно также, что вероятность попасть в любой принадлежащий [я,/>] подынтервал шириной dx одинакова при любом его расположении

внутри [<з,б]. Это, собственно, и обосновывает термин, используемый для

с.в. с таким распределением. Заметим, что любая функция, принимающая постоянное положительное значение в заданном интервале может трак­ товаться как равномерная ф.п.р.в. Для этого достаточно в целях обеспе­ чения условия нормировки умножить такую функцию на нормирующий множитель, равный произведению ее значения на ширину интервала, в котором она отлична от нуля. ♦

1.1.2. Статистические характеристики случайиых величин

Помимо ф.р.в. и ф.п.р.в. для описания статистических свойств с.в. используется набор ее числовых характеристик. Основными из них являются: математическое ожидание, моменты, дисперсия, среднеквадратическое отклонение (СКО); для СКО иногда ис­ пользуют термин стандартное отклонение или стандарт. Если речь идет об ошибке, то используется термин среднеквадратнческая ошибка, для которой будем использовать аббревиатуру с.к.о. В англоязычной литературе для среднеквадратической ошибки используют термин Root Mean Square E rro r (RMSE). Связь пере­ численных характеристик с ф.п.р.в. определяется соотношениями, представленными в табл. 1 .1 .1 .

Т а б л и ц а 1.1.1 Основные числовые характеристики случайной величины

П р и м е ч а й и е. В приведенных соотношениях пределы интегрирования счи­ таются бесконечными. В дальнейшем, когда пределы не указываются, они пред­ полагаются бесконечными.

Модой распределения (или с.в.) называется такое значение с.в., при котором ф.п.р.в. имеет локальный максимум. Если ф.п.р.в. имеет один максимум, она называется унимодальной.

Из (1.1.1) следует, что равномерная ф.п.р.в. не имеет максиму­ мов, а медиана совпадает с математическим ожиданием.

На рис. 1.1.3 изображен пример ф.п.р.в, имеющей две моды. Эта функция задается соотношением

и представляет собой среднее арифметическое двух гауссовских плотностей, особенности которых подробно рассматриваются в следующем разделе.

Рис. 1.1.3. Пример ф.п.р.в., имеющей две моды

Предположим, что с помощью некоторой в общем случае нели­ нейной функции g(») в результате преобразования случайной ве­

новой с.в.? Ответ на это вопрос будет обсуждаться в подразделе 1.3. Более простой является задача вычисления математического ожидания и моментов для у = g(x) . Здесь справедливы следующие соотношения [85, с. 44]:

3 ’ = Му {у}= М х {g(x)} = J g(x)fx(x)dx ;

М у {у" }= М х {g" (х)}= J g" (x)fx(x)dx

Из этих соотношений следует, что для нахождения моментов преобразованной случайной величины необходимо знать ф.п.р.в. / х (х) для исходной с.в. и вычислять соответствующие интегралы. Задача упрощается, если функция, с помощью которой осуществ­ ляется преобразование, является линейной. В этом случае доста­ точно знать только соответствующие моменты для исходной с.в.

^ П р и м е р 1.1.3. Пусть у = ах + с , где а и с - известные де­ терминированные величины, а х - с.в. с заданным математическим ожиданием х и дисперсией ох . Найдем математическое ожидание и дис­ персию для у . Используя приведенные выражения, нетрудно записать:

1.1.3. Гауссовские случайные величины и их характеристики

Наибольшее применение при решении задач прикладного ха­ рактера получили гауссовские с.в. Гауссовской или нормальной случайной величиной называется такая, для которой ф.р.в. и ф.п.р.в. имеют вид:

(1.1.20)

мальной) функцией плотности распределения вероятностей.

В дальнейшем для гауссовской ф.п.р.в. будем использовать

Вид гауссовских ф.р.в. и ф.п.р.в. и их зависимость от математи­ ческого ожидания и СКО показан на рис. 1.1.4.

Рис. 1.1.4. Графики ф.р.в. и ф.п.р.в. гауссовской случайной величины при различных значениях математического ожидания ( .v = 0, .v = 1, х —2 )

и СКО а = 1; ст = 0,5; сг = 0,25

Из графиков следует, что с уменьшением дисперсии область, в которой ф.п.р.в. существенно отлична от нуля, уменьшается. Можно показать, что

lim J— exp- - —— [ = 8 (х - .v),

где 8 (») - дельта-функция.

Нетрудно также заметить, что для гауссовской ф.п.р.в. медиана, математическое ожидание и мода между собой совпадают.

27

Понятно, что такое распределение является унимодальным.

Для гауссовской ф.р.в., соответствующей центрированной с.в., справедливо следующее соотношение:

FxM = l - F s (-.r).

Нечетные центральные моменты гауссовской случайной вели­ чины равны нулю, т.е.

Г_ 2Лг—1

а для четных моментов справедливо выражение [ 1 .2 ]

Из этих соотношений, в частности, вытекает, что входящие в ( 1 .1 .2 0 ), ( 1 .1 .2 1 ) параметры х и с 2 представляют собой матема­ тическое ожидание и дисперсию гауссовской случайной величины и они полностью определяют ее ф.п.р.в.

Обсудим более подробно числовые характеристики, используе­ мые при описании свойств гауссовских случайных величин. Для их вычисления удобно ввести стандартизованную гауссовскую с.в. и , под которой понимается гауссовская с.в. с нулевым мате­ матическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е. [38, с. 574]:

/„ (./) = ЛГ(и;0,1) = « р | - - у 1 ; ( 1.1.23)

и

Очевидно, что стандартизованная гауссовская с.в. может быть

С учетом ( 1 .1 .2 0 ), ( 1 .1 .2 1 ) ф.р.в. и ф.п.р.в. для обычной гауссов­ ской случайной величины могут быть записаны в виде:

Для представления ф.р.в. гауссовской случайной величины не­ редко используют специальную функцию ошибок, определяемую как [38, с. 575]

Обращаем внимание, что для этой функции справедливо сле­ дующее соотношение:

График функции ошибок приведен на рис. 1.1.5

определяющ ее вероятность попадания гауссовской с.в. в за­ данный интервал.

Из представленных выражений с учетом (1.1.7) получаем

Рг[х - ко < х < х + to] = Рг|х -х| < to]= erf

В табл. 1.1.2 и на рис. 1.1.6 представлены значения вероятности Рг [х - to < х < х + to] = Pr |х - x| < to ] для гауссовской с.в. при

различных значениях к

Т а б л и ц а 1.1.2

Значения вероятности Р г|х - х| < to ] для гауссовского распределения

при различных к

Рис. 1.1.6. Значения вероятности Рг|х —х| < to j

для гауссовской с.в. при f x(х) = N(x;0, <т2 ) ,к = 1,2,3,4

Из табл. 1.1.2, в частности, следует, что для модуля центриро­ ванной гауссовской с.в., т.е. |х - х |, квантиль порядка 0,6827 равен

о, а вероятность того, что значение центрированной гауссовской с.в. принадлежит интервалу ±3ст, равна 0,997. Обычно величину, равную Зо, называют предельным значением или предельной ошибкой, если с.в. описывает погрешности тех или иных изме­ рений.