книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Рис. 2.2.11. Графики критерия Умнк(ш) и его приближенного описания

при разных начальных точках линеаризации: 8 рад/с (а) и 3 рад/с (6)

Из представленных результатов с очевидностью следует, что лишь в некоторой окрестности выбираемой точки линеаризации миогоэкстре-

мальный критерий Ум,,к(х) может быть приближенно описан с помощью

параболы. Таким образом, получаемая в результате использования итера­ ционной процедуры оценка в лучшем случае будет соответствовать его локальному экстремуму, в то время как для решения задачи требуется найти глобальный экстремум. При этом понятно, что вырабатываемая в алгоритме расчетная характеристика точности, основанная на представ­ лении критерия в виде параболы, вытекающего из линеаризованного описания функции, также не всегда будет согласована с действительным значением ошибки. ♦

Ситуация аналогичная той, которая рассмотрена в одномерном примере, имеет место и при решении векторных задач.

♦ П р и м е р 2.2.11. Будем полагать, что решается задача навигации по точечным ориентирам из примера 2.2.9 в условиях, когда объект нахо­ дится в окрестности начала координат, а координаты двух точечных ори­

ложения объекта кругом радиуса За0, можно изобразить два возможных

варианта взаимного расположения этой области и изолиний положения. При а 0 =500м (рис. 2.2.12, а) в области априорной неопределенности следует ожидать попадание одной точки пересечения изолиний положе­ ния, а при а 0 = 1400 м таких точек уже будет две (рис. 2.2.12, б).

Далее, используя выражение (П1.1.64), в котором в качестве А и z примем

А = ( РХ)~1 + H TR~lH ; z = H TR~ly + (Pxy lx,

получаем

J { x ) = х 1Ах - 2 Xеz + х т( Р х)~'х + y TR~'y =

= ( х - A~'z)A(x - A~lz) - z TA~'z + +3cT( / >l)"l3c + y rR~'y.

Поскольку три последних слагаемых от х не зависят, нетрудно понять, что значение аргумента, обеспечивающего минимум пред­ ставленного критерия, будет определяться как

х^у) = ( (Рх)~1+ H TR - lH ) - ' ( H rR - ly + СР'Т'Зс).

Задача 2.2.2. Покажите, что при решении задачи оценивания вектора х по измерениям (2.1.2) с помощью МНК и ОМНК будут справедливы следующие соотношения [14, с. 412; 5, с. 101]:

хмм"к(у) = х + К т"‘к(у - Н х) , соответствующей ММНК, матрица

К тшк определяется как К имнк = ( ( P x)~l + H r R~lH)~l H JR~l

Полагая, что х и v - некоррелированные случайные векторы с

матрицами ковариаций Р х и R , а математическое ожидание век­ тора х равно х , покажите, что матрица ковариаций ошибок оце­ нок ММНК определяется как

Решение. Подставляя К ммнк в выражение (2.2.24) и принимая во внимание, что

Е - К шшкН = Е - ( ( Р х)~{ + Н гЯ~1Н ) - \ Н гЯ - 1Н + (Рх)~1 ~ ( Р х)~1)

= ((РХ)~' + H 1R~lH ) ~ \ P x)~l,

можем записать

= Г(рт ) ' + H TR~XH V 1 (рл) 1 + H rR~lH { р * У + H TR~XH

J

откуда с очевидностью следует (1).

Задача 2.2.4. Предположим, что имеется 2 m измерений в зада­ че оценивания постоянной величины по измерениям (2 .1.1), кото­

рые можно разбить на две группы, причем в каждой из них раз­ личны значения дисперсий ошибок измерения: для первых m из-

Получите выражения для оценок и дисперсий их ошибок, соот­ ветствующих различным алгоритмам, и покажите, что неравенства (2.2.39) справедливы.

Решение. Алгоритмы вычисления оценок для МНК, ОМНК и ММНК будут иметь следующий вид:

Для того чтобы убедиться в справедливости (2.2.39), предста­

Задача 2.2.5. Рассчитайте величину геометрического фактора в задаче оценивания координат объекта на плоскости по измерениям (2.1.16) для случая двух точечных ориентиров считая, что выпол­ нены следующие предположения: точка линеаризации расположе­ на в начале координат; один из точечных ориентиров расположен на оси ОХ] ; второй - на оси ох2 ; ошибки измерения - некоррели­

рованные между собой центрированные случайные величины с

~>

одинаковыми дисперсиями, равными г~ Решение. Вводя

Н = Я, (х'7) ; где H f (хл) = -(5тЯ ,(хл),со8Я1.(х-7)), /-1 ,2 ,

Я2(.г7)]’

С о п о с т а в л е н и е . Сравнивая (3), (4) с (6), (7), отмечаем

их совпадение. Ясно, что такое совпадение возможно только при совпадении минимизируемых критериев в МНК и ОМНК, которые в рассматриваемой задаче записываются так:

Приводя подобные слагаемые для записанного в скобках выражения, можно убедиться в том, что с точки зрения минимизации

МНК

критериев относительно х оно совпадает с J

Таким образом, замечаем, что оценки и минимизируемые кри­ терии в данном частном случае совпадают. Этот факт есть следст­ вие того, что в рассматриваемой задаче искомый параметр х и по­ стоянная составляющая ошибки d одновременно не наблюдаемы,

т.е. дисперсия ошибки оценивания х при увеличении числа изме­ рений, при котором обеспечивается существенное снижение

2

( —- « а 2/ ) влияния составляющей ошибки v,-, определяется дис-

т~

Персией постоянной составляющей ошибки измерения.

Задача 2.2.7. Имеются два измерителя, вырабатывающие пока­ зания (2.1.33), в которых л'= (а'!,а'2)т представляет собой двух­ мерный вектор, задающий координаты объекта на плоскости.