книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Для случая ОМНК в этих выражениях следует положить

(/>ï)_l =0 и х = 0 а для МНК, кроме того, R~] =Е Такие алго­

ритмы в теории оценивания получили наименование итерацион­ ных алгоритмов (iterated algorithm) или алгоритмов с локаль­ ными итерациями [109].

Заметим, что в силу выполнения равенства типа КН = Е , при использовании МНК или ОМНК, выражение для оценки (2.2.52) может быть представлено в следующей, удобной при практиче­ ской реализации, рекуррентной относительно номера итерации форме: х(т+1) = хм + 8 х(г+|), где Ôx(r+I) = К (.vM)[_y-s (xM)J.

Если полагать, что ошибки измерения представляют собой цен­ трированный случайный вектор с матрицей ковариаций R , а оце­ ниваемый вектор является случайным вектором с математическим

ожиданием х и матрицей ковариаций Рх , то выражение (2.2.54) с точностью до предположения о справедливости линеаризованного описания будет определять расчетную матрицу ковариаций ошибок оценивания. Этот термин используется в связи с тем, что матрица ковариаций, получаемая в предположении о справедливо­ сти линеаризованного представления функции .у(х), в общем слу­ чае отличается от действительной матрицы ковариаций, кото­ рая для произвольной оценки х (у ), в том числе и для оценки, вы­ рабатываемой с помощью линеаризованного или итерационного алгоритмов, задается как

В этой связи встает проблема адекватности, т.е. соответствия расчетных матриц ковариаций их действительным значениям. Бо­ лее подробно эта проблема обсуждается в подразделах 2.5.4,2.5.6.

Важно также подчеркнуть, что получаемые в результате алго­ ритмы перестают быть линейными относительно измерений, по­ скольку появляется нелинейная зависимость от измерений, в силу того, что от измерений зависят матрицы К ( х ^ ) = К(х ^(у)) .

Зависимость от измерений появляется также и для расчетной мат­ рицы ковариаций Р(х(у)) = Р(х ^(у)) ■

Условная блок-схема, соответствующая итерационному алго­ ритму, представлена на рис. 2.2.7.

истинном значении фазы ф0 =£ и х* = фо =^Е, изображены на рис. 2.2.8.

2 4

Рис. 2.2.8. График критерия У мнк(ф 0 ) 0 ) 11 его приближенного описания (2)

в задаче оценивания фазы

Принимая в качестве начальной точки линеаризации х л = х^ = ф0 ,

чаем следующее выражение для оценки на первой итерации:

E°os(cÙt. + ф0)(у. - sin(co/( + ф0))

<Ро = % + —

Z c o s V ,. + ф0)

1=1 Эта оценка соответствует точке минимума параболы (2.2.57). Полагая

дополнительно, что ошибки измерения являются некоррелированными

между собой случайными величинами с одинаковой дисперсией г 2 , не­ трудно найти выражение и для соответствующей этой оценке расчетной дисперсии

проводя повторную обработку измерения, получаем более точное описа­ ние поведения минимизируемого критерия в окрестности точки экстре­ мума, а следовательно, и более точное значение оценки и соответствую­ щей ей расчетной дисперсии. Общие выражения для оценки (2.2.52) и ее расчетной дисперсии, соответствующие итерационному алгоритму

£соз2К + Ф (оУ))

Используя такую процедуру вычисления оценки до тех пор, пока она не перестает существенным образом изменяться, получаем оценку со значительно меньшей ошибкой, чем для одной итерации, т.е. при исполь­ зовании линеаризованного алгоритма.

Описанная ситуация поясняется с помощью приводимых ниже рисун­ ков и результатов, вычисления оценки, ее ошибки и расчетной дисперсии для нескольких итераций, представленных в табл. 2.27. Предполагалось,

Рис. 2.2.9. Графики критерия У мнк(ф о) и его приближенного

описания при разном числе итераций

Заметим, что выражение для расчетной дисперсии практически не ме­ няется в силу малого изменения значения производной функции

sin(co/, + х ) при изменении точки линеаризации.

при использовании итерационного алгоритма в задаче оценивания фазы

Рис. 2.2.10. Графики зависимости ошибок оценок фазы от номера итераций

Используя рекуррентную относительно номера итерации процедуру, можем записать

где

Z c o s 2(юл + ф ^ )

J=I

Линеаризованный и итерационный алгоритмы широко исполь­ зуются при решении задачи определения координат по точечным ориентирам. В частности, конкретизируем эти алгоритмы для примера решения такой задачи на плоскости.

Таким образом, уточненные координаты объекта, вычисляемые с по­ мощью МНК, будут иметь вид

или с учетом того, что точка линеаризации выбрана в начале координат

ничной, так как П \( х л ) и П 2{хл ) будут отличны от 90 градусов и нуля соответственно. Для реализации итерационного алгоритма следует по-

не станет пренебрежимо малой.

Ясно, что полученные оценки будут совпадать с оценками ОМНК, ес­ ли весовая матрица Q выбрана диагональной с элементами 1/г2 , х = 0 ,

а матрица D нулевая.

Легко обобщить представленный алгоритм для случая, когда проведе­

но т измерений. В частности, считая, что х = Ьх = (х - х 1) - центриро­ ванный вектор с матрицей ковариаций Р х , а ошибки измерения V,- -

некоррелированные между собой и с вектором х центрированные с.в. с

2 . :—

заданными дисперсиями г,- i = \.m, для расчетных матриц ковариации

ошибок оценок, соответствующих различным вариантам МНК, можно записать:

Р т,к(хя) = \Miix3) (2.2.61)

J

-1

(2.2.62)

(2.2.63)

где

При использовании итерационного алгоритма для получения расчет­

ной матрицы ковариаций вместо .V7 следует принять значение, получен­ ное для последней итерации.

Заметим, что число проведенных измерений и количество точечных ориентиров могут между собой не совпадать. ♦

Из полученных в примере 2.2.9 соотношений следует, что рас­ четная точность оценивания в задаче определения координат по точечным ориентирам в значительной степени определяется вза­ имным расположением ориентиров. Действительно, вводя соглас­ но (1.2.24) радиальную среднеквадратическую погрешность опре­ деления координат места с м, можем записать__________

стм - DRMS = ^ Рттк(1\) + Ротк(2,2) = rJ sp (£ M f(x-'))-1 (2.2.67)

Отсюда следует, что а м при одинаковой величине г в пренеб­ режении априорной информации определяется произведением среднеквадратической ошибки измерения дальностей на некото­ рый коэффициент

зависящий от взаимного расположения точечных ориентиров. Этот коэффициент называется геометрическим фактором (Position Dilution of Precision). Например, в частном случае двух точечных ориентиров при /72=77|+90° нетрудно убедиться в том, что <тм = 42г (см. задачу 2.2.5). Очевидно, что при увеличении числа используемых ориентиров т расчетная радиальная средие-

квадратическая погрешность будет уменьшаться.

При использовании алгоритмов, основанных на линеаризации, необходимо помнить об их приближенном характере. В целом описанные алгоритмы могут быть эффективными лишь в тех слу­ чаях, когда минимизируемый критерий имеет один экстремум, т.е. является унимодальным. Такие задачи обычно называют задачами с несущественными нелинейностями. В тех же ситуациях, для которых это условие не выполняется, что, как правило, обусловле­ но сложным поведением функций s(x) в области априорной не­ определенности, необходимо использовать алгоритмы, позволяю­ щие в полной мере учитывать нелинейный, многоэкстремальный характер задачи. Такие задачи в дальнейшем будем называть зада­ чами с существенными нелинейностями. Анализу особенностей решения этих задач и посвящен следующий подраздел.

2.2.6. Особенности существенно нелинейныхзадач оценивания

Обсудим особенности существенно нелинейных задач и воз­ можные пути их решения с использованием МНК. Для начала рас­ смотрим одномерную задачу.

♦П р и м е р 2.2.10. Пусть, располагая измерениями (2.1.14), тре­

буется оценить частоту гармонического колебания в предположении, что амплитуда и фаза известны. Для простоты так же, как и в примере 2.2.8, считаем амплитуду единичной.

Для случая нахождения частоты при известном значении амплитуды и

фазы получим:

т

Вводя обозначения л-со, лл= со, Sx = (сосо), у,(хл)= у, —sin(.v7/f- + Фо)

и поступая аналогично тому, как это было сделано в примере 2.2.8, запи­ шем:,у

у , (х л ) ~ 5х/ , cos( <57, + ер о ) + v , , / = 1 .in ,

т

/ мнк (х) « Y J (Й (*'* ) - ( х - Л-7ytf cos(x*ti + Фо))2 /=1

т

Y * f COS2( Щ + % )

/=1

?

( с мнк) 2 = ------------------------------- .

т

2 ^ С 0 8 2 (ШО + ф 0) 1=1

Искомое значение частоты можно получить как ш = со + S x . Нетруд­ но здесь также конкретизировать и итерационный алгоритм. В табл. 2.2.8

алгоритма при различных начальных точках линеаризации сол = 8 рад/с и