книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Поскольку матрица (1.3.26) является матрицей ковариаций для вектора х = Гх , то всегда случайный вектор х с коррелированны­ ми компонентами (с недиагональной матрицей ковариаций) с по­ мощью преобразования (1.3.21), в котором Г - ортогональная матрица, может быть преобразован к новому вектору с некоррели­ рованными (ортогональными) компонентами, для которого матри­ ца ковариаций диагональная. Задача нахождения ортогональной матрицы, обеспечивающей выполнение равенства (1.3.46) в теории матриц известна как задача диагонализацни матрицы , а в при­ ложении к случайным векторам как задача ортогоиализации компонент случайного вектора.

Очевидно что, проведя ортогонализацию гауссовского вектора, имеющего ф.п.р.в. в виде

Поясним геометрический смысл задачи ортогоиализации на двухмерном примере. Пусть матрице ковариаций случайного двухмерного вектора соответствует изображенный на рис. 1.3.7 эллипс с параметрами а , Ь, т

Рис. 1.3.7. Эллипс ошибок для двухмерного гауссовского вектора с зависимыми компонентами

Ясно, что в системе координат Â^Oxj, выбранной так, как это

показано на рис. 1.3.7, этому эллипсу будет соответствовать диа­ гональная матрица ковариаций вида (1.3.46). Переход от представ­ ления вектора в системе координат х2Ох\ к его представлению в системе координат х2Ох\, повернутой относительно оси Ох2 про­

тив часовой стрелки на угол т*, осуществляется с помощью мат­ рицы Г , определяемой как [38, с. 58]

к нахождению матрицы преобразования от исходной системы ко­ ординат к системе координат, направления осей которой совпада­ ют с направлениями главных осей эллипса равных вероятностей.

В навигационных приложениях весьма важными являются со­ отношения, устанавливающие связь элементов матрицы ковариа­ ций с параметрами соответствующего ей эллипса ошибок. Можно

малой и большой полуосей эллипса, и угол, определяющий ориен­

Эти соотношения позволяют рассчитать параметры средне­ квадратического эллипса для заданной матрицы ковариаций.

Используя формулы обращения блочных матриц, получаем

Тот факт, что при s(x) =Hx плотность для составного вектора будет гауссовской, является также следствием сохранения гаус­ совского вида плотности при линейных преобразованиях гауссов­ ских векторов. Таким образом, для конкретизации гауссовской плотности достаточно найти выражение для математического ожидания и матрицы ковариаций составного вектора.

Задача 1.3.4. Пусть с.в. y = x + v сформирована в результате суммирования двух независимых между собой с.в. х и v , распре­ деленных по равномерному закону в интервале [0, b].

Покажите, что ф.п.р.в. для с.в. у является треугольной и опре­ делятся в виде

Ату, при у G[о,б],

Ре ш е н и е. Матрица преобразования будет иметь вид

Е0

где Ру =НРХН Т +R.

Задача 1.3.6. Пусть компоненты л-мерного случайного вектора £, определяются как

£, =V,.+d,

где V,- - центрированные, некоррелированные между собой слу­

чайные величины, дисперсии которых равны г} i = ].n; d - цен­

трированная случайная величина, некоррелированная с v ( , i =\.n,

с дисперсией <3 2d .

Запишите выражение для матрицы ковариаций Ре вектора £. Дополнительно полагая, что все величины гауссовские, запишите выражение для ф.п.р.в. Считая дисперсии для всех v (- одинако-

Контрольные вопросы

1.Почему решение задачи нахождения ф.п.р.в для с.в. у = g(x)

в условиях, когда функция g(x) имеет обратную функцию,

упрощается по сравнению со случаем, когда эта функция не­ однозначна?

2.Поясните, как можно получить ф.п.р.в. для с.в., представляю­ щей собой квадрат гауссовской с.в. От каких параметров зави­ сит эта функция и какой она имеет вид?

3.Каким образом можно получить равномерно распределенные случайные величины и с.в., распределенные по закону Рэлея, располагая центрированным двухмерным гауссовским векто­ ром?

4.При каких условиях для определения ф.п.р.в. для случайного вектора, представляющего собой сумму двух независимых векторов, достаточно знать только математические ожидания

иматрицы ковариаций для этих векторов?

5.При каких условиях для определения ф.п.р.в. для случайного вектора, представляющего собой сумму двух независимых векторов, достаточно знать ф.п.р.в. для каждого вектора в от­ дельности, как это сделать?

6.Приведите правила вычисления математического ожидания и матрицы ковариаций вектора х , связанного с другим векто­ ром х с помощью преобразования х = Тх , если для х извест­ ны математическое ожидание и матрица ковариаций.

7.Почему случайный вектор с коррелированными компонента­ ми всегда с помощью ортогонального преобразования может быть преобразован в вектор с некоррелированными компо­ нентами? Поясните на двухмерном примере геометрический смысл этой задачи.

8.Запишите выражение, устанавливающее связь матрицы кова­ риаций для двухмерного гауссовского вектора с параметрами среднеквадратического эллипса равных вероятностей. Пояс­ ните, как это выражение может быть получено.

9.Получите выражение для дисперсии величины, представляю­ щей собой проекцию центрированного случайного вектора с известной матрицей ковариации на произвольное направле­ ние, задаваемое единичным вектором.