книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Как и в скалярном случае, располагая случайным вектором х с известной ф.п.р.в. / Х(х), можно с помощью некоторой в общем случае нелинейной функции g(«) сформировать новый с.в. у = g ( x ) . Математическое ожидание и матрица ковариаций для нового вектора у = °-(х) могут быть найдены с помощью следую­ щих соотношений:

Му Ь' - т - v)T|= I teW - ÿ)(ï(.v) - уУ Л д а ■ (1-2.10)

Из этих соотношений следует, что и здесь для нахождения мо­ ментов преобразованного случайного вектора необходимо знать ф.п.р.в. / х(х) для исходного вектора и вычислять соответствую­ щие интегралы. Задача упрощается, если функция, с помощью ко­ торой осуществляется преобразование, является линейной. В этой ситуации достаточно знать только соответствующие моменты для исходного вектора.

♦ П р и м е р 1.2.1. Пусть для двух случайных величин Xj и х2 за-

ент корреляции К Требуется найти математическое ожидание и диспер­ сию случайной величины, формируемой как у = аХ] + (Зх2 , где а и р - известные коэффициенты.

С использованием (1.2.9), (1.2.10) можем записать:

Му {у}= М х{ou') + Рх2}= аМд.'[ + рЛ/л'2 = axj + рЗс2 ;

о].= Му^ У - ÿ ) 2 }= А /х |( а ( х ) - T i ) + P(.v2 -х2))2} = c t2o f + р 2а 2 + 2 £ с ф .

♦

Полученные в примере соотношения легко обобщить и на век­ торный случай (см. задачи 1 .2 .1 , 1 .2 .2 ).

1.2.3. Гауссовские случайные векторы и их характеристики

Гауссовскнм случайным вектором называется такой, для ко­ торого ф.п.р.в. определяется в виде

В этом случае ф.п.р.в. может быть записана как

Полученные с использованием Matlab (как описано в приложе­ нии) графики этой функции и соответствующие им изолинии для одинаковых дисперсий по каждой из компонент при oj = <12 = 1

представлены на рис. 1 .2 .1 .

Рис. 1.2.1. Вид ф.п.р.в. и соответствующие ей изолинии для центрированного гауссовского вектора с единичной матрицей ковариаций

Как и в одномерном случае, при уменьшении дисперсий об­ ласть значений, в которой ф.п.р.в. существенно отличается от ну­ ля, значительно уменьшается. Здесь также можно показать, что

плотности (1.2.12) и показателю ее экспоненты, представляют со­ бой эллипсы

(1.2.13)

называемые эллипсами равных вероятностей.

На рис. 1.2.2 эллипсы (1.2.13) изображены для случая oi = 1,3 и

а2 =0,5.

Предположим теперь, что матрица ковариаций недиагональная, т.е.

Вводя нормированный коэффициент корреляции в виде

нетрудно убедиться в том, что

Таким образом, ф.п.р.в. для двухмерного гауссовского вектора может быть записана как

как и уравнение (1.2.13), при разных значениях с задает эллипсы. Но при этом их оси развернуты относительно вертикальной оси на некоторый угол. В качестве примера на рис. 1.2.3 изображены изо­ линии при /- = 0,75.

Рис. 1.2.3. Изолинии ф.п.р.в. для центрированного гауссовского вектора

при CTj =ст2 =1

Обращаем внимание, что здесь, как и в случае, изображенном на рис. 1.2.1, СКО, соответствующие компонентам х{ и х2, между собой совпадают (с^ =ст2 =1), но, поскольку коэффициент корре­

ляции отличен от нуля, изолинии представляют собой эллипсы, а не окружности.

1.2.4. Среднеквадратический эллипс ошибок, круговая вероятная ошибка

Проанализируем более подробно характеристики, используе­ мые для описания свойств двухмерных гауссовских векторов. Двухмерный случай весьма важен в задачах обработки статистиче­ ской информации. Так, при решении навигационных задач на плоскости нередко полагают, что координаты объекта представ­ ляют собой гауссовский случайный вектор с математическим ожи­ данием в точке его предполагаемого местонахождения. Для описа­ ния неопределенности расположения точки на плоскости исполь­ зуют введенные выше эллипсы равных вероятностей, в частности эллипс, соответствующий уравнению (1.2.18) при с = 1. Поскольку этот эллипс пересекает оси в точках, совпадающих со значениями

соответствующих СКО, т.е. при х2 = 0,.Vj , а при _v( = О,

,х2 =о2, он получил наименование среднеквадратического эл­

липса ошибок, или стандартного эллипса [23]. В навигационных приложениях для его описания используют параметры эллипса: большую а и малую b полуоси и дирскционный угол т , за­ дающий ориентацию большой полуоси относительно оси х2 Эти три параметра, как отмечается далее в подразделе 1.3.5, полностью определяют матрицу ковариаций двухмерной гауссовской плотно­

т.е. размеры полуосей эллипса определяют значения СКО по каж­ дой координате.

Рис. 1.2.4. Эллипс ошибок для двухмерного гауссовского вектора с независимыми компонентами

При оценивании точности местоположения подвижных объек­ тов весьма важным представляется умение охарактеризовать не­ определенность местоположения одним числом. Для этих целей обычно используют значения, вероятности попадания точки на плоскости в ту или иную заданную область Q . Для двухмерного центрированного гауссовского вектора с ф.п.р.в. (1.2.17) эта веро­ ятность определяется как

g(A',, х2) ,то, переходя к полярным координатам, можно показать,

Для случая независимых с.в. при CTJ = а 2 = ст эллипс превраща­ ется в окружность радиусом R =c<s и, таким образом, из (1.2.21) получаем, что вероятность нахождения случайного вектора в круге с таким радиусом определяется введенным в разделе 1.1.1 распре­ делением Рэлея

Pr

R>0. ( 1.2.22)

Величина R , соответствующая 50-процентному попаданию га­ уссовского случайного вектора в круг заданного радиуса, т.е. когда вероятность попадания равна 0,5, называется круговой вероятной ошибкой (КВО), а круг, соответственно, кругом равных вероят­ ностей. В англоязычной литературе для круговой вероятной ошибки используется термин circular error probable (СЕР). В случае когда эллипс представляет собой окружность, т.е. при неза­ висимых с.в. и равных CKO CTI = Ст2 = а , 50-процентное попадание

в круг (Рг=0,5) достигается при его радиусе, равном 1,177 ст. Для R =3,4о Рг=0,997. В случае если это не так, радиус круга, при ко­

тором достигается вероятность попадания в него, равная 0,5, сле­ дует отыскивать с помощью соотношения (1.2.20).

Иногда используют понятие радиальной средиеквадратиче-

В зависимости от значений матрицы ковариаций или парамет­ ров эллипса этой величине соответствует 65-68% попадания в круг такого радиуса. Нередко используют удвоенную радиальную среднеквадратическую ошибку (2DRMS). Ей соответствует веро­ ятность попадания в круг радиуса, равного удвоенной радиальной ошибке. Точное значение вероятности зависит от конкретных со­ отношений дисперсий и коэффициента корреляции, а примерная ее величина определяется как Рг=0,95.

Понятия, аналогичные приведенным выше, используются и для трехмерного гауссовского вектора. При этом вводится величина сферической вероятной ошибки (СВО) и сферы равных веро­ ятностей (spherical error probable (SEP) и sphere of equal probability (SEP)). Трехмерное гауссовское распределение широ­ ко используется при описании ошибок местоположения подвиж­ ных объектов в пространстве, в частности для летательных аппа­ ратов.

В заключение отметим, что определять вероятность нахожде­ ния двухмерного гауссовского случайного вектора в круге радиу­ сом R = со для случая независимых компонент при а, = а 2 = а удобно с использованием /«-функции Matlab disttool. Для этого достаточно вызвать disttool, в меню появившегося окна задать ре­ жим, соответствующий ф.п.р. (cdf), и выбрать английское название закона Рэлея (Rayleigh). Затем набрать значение b (соответствую­ щее а ), равное единице, а для значения аргумента набрать вели­ чину, равную с Слева будет получено искомое значение вероят­ ности.

Задачи к разделу

Задача 1.2.1. Убедитесь в том, что функция взятия математи­ ческого ожидания является линейной, т.е. для нее справедливо