книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfТот факт, что для гауссовской случайной величины
Рг|х —Зс| < За]=0,997,
называют правилом трех сигм.
Для гауссовской случайной величины часто используют сле дующие количественные характеристики.
Среднее абсолютное отклонение, определяемое как математи
ческое ожидание модуля |х - Зс|, т.е. [38, |
с. 578] |
|
М х{х - х\}= аЛ/|„| |и| = |
^ а » 0.798а |
(1.1.35) |
Вероятное отклонение (вероятная ошибка) е , которое пред
ставляет собой квантиль порядка |
для |х - х\, т.е. |
|
Р г |х ~ х\ <е]=0,5. |
(1.1.36) |
|
Иными словами, это такое значение, при котором совпадают вероятности событий |х - х\ < е и |х - Щ> s , т.е. это медиана для
модуля |х - х\ Для стандартизованной гауссовской с.в. вероятное отклонение е = 0.674, так что для центрированной с.в. с дисперси
ей а 2 имеем [38, с. 578] |
|
8 ~ 0.674а |
(1.1.37) |
1.1.4. Типы случайных величин
Помимо гауссовских и равномерно распределенных случайных величин существуют и другие их типы с различными видами соот ветствующих им функций плотностей распределения вероятно стей. В частности, можно привести пример с.в., имеющей распре деление Рэлея, задаваемое в виде
и2 Л |
(1.1.38) |
du =1 - exp |
|
2 а |
|
Ф.п.р.в., математическое ожидание и дисперсия для этого рас пределения определяются как:
/ х ( л') = ~ Т ехР |
2 а" |
|
|
(1.1.39) |
|
|
|
|
|
|
|
00 .2 |
( |
.2 ^ |
|
|
|
Мхх = х= f ^ - e x p |
2 а |
dx = а л/тi / 2 ; |
|
||
J c r |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
А/х (JC- л )2 = f (-Y - л*)2 -4pexp |
Л-2 |
^j 4 - я |
2 |
||
2 a 2 |
ax = -------- a |
|
|||
о |
а |
|
|
|
|
Примеры функции (1.1.39) |
при разных a |
приведены |
на рис. |
||
1.1.7.
«* ) -
1.2
|
[ \ |
sigma=0.5 |
|
|
||
1,0 |
|
у1 |
|
|
|
|
0.8 |
|
|
sigma=J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.40 (л |
1/ |
/1| |
Y\ |
T |
si«ma=2 |
< |
0.2 |
f |
/ |
|
V |
||
0 |
-s |
■ |
|
^ |
-------------------------------- |
1 |
|
|
1 2 |
3 4 5 6 7 |
8 9 А- |
||
Рис. 1.1.7. Графики ф.п.р.в. Рэлея при разных значениях о:
0 =0 ,5 ; о=1; 0 = 2
Особенность распределения Рэлея заключается в том, что соот ветствующая ему ф.п.р.в. в отличие от рассмотренных ранее не является симметричной относительно математического ожидания.
Наиболее часто используемые в прикладных задачах ф.п.р.в. и соответствующие им соотношения для вычисления математиче ского ожидания и дисперсий приведены в табл. 1.1.3 [85, с. 31].
Виды функций плотности распределения вероятностей и соответствующие им характеристики
Наименование
Бета
(Beta)
Хи - квадрат со степенью свободы V
(Chisquare)
Экспоненци
альное
(Exponential)
Гаммма
(Gamma)
Нормальное
(Normal)
Рэлея
(Rayleigh)
Равномерное
(Uniform)
Плотность распределения / х(а*)
В(' Ь)0 - ^ Л о п ( г )
х(у-2)/2е-,/2 2v/2r(v /2 )
1 |
7 |
.V |
|
н |
|
||
—е |
|
|
|
Ц |
|
|
|
1 |
|
|
|
ЬаГ(а) |
|
|
|
1 |
[ (.Ï-.V)2 |
||
(2и)"2с еТ |
|
|
: |
|
|
2а2 . |
|
г / \ х |
|
( |
х2 ^ |
/хО') = — ех р |
------j |
||
о |
|
|
2<т J |
(0 xi[ayb\
I .ге[а,Л]
[о-а
Математиче ское ожидание
а
а+ Ь
V
ц
аЪ
X
стл/л/2
b + а
2
Дисперсия
ab
(а + b+ 1)(а + Ь)2
2v
И2
ab2
G2
4-71 1
------ сг 2
(а-Ь)2
12
П р и м е ч а н и е . 1 ( Х) = 10 |
x ë(c,d) Г<» - гамма-функция; 50,*) - |
[1 |
xe(c,d) |
бета-функция [38]. |
|
В пакете Matlab предусмотрен набор m-функций, обеспечи вающих построение различных ф.р.в. и ф.п.р.в. [64]. В частности, в таблице 1.1.4 приведено описание /и-функций, позволяющих фор мировать ф.р.в. и ф.п.р.в в соответствии с их английским наимено ванием (см. табл. 1.1.3).
Описание м-фуикций, обеспечивающих вычисление ф.р.в. и ф.п.р.в.
|
в Matlab |
|
Функции |
Вызов и назначение |
|
|
P = cdfC/îflwe'^AUAl^S), |
|
|
Y = pdf(7m/i2e\X,Al,A2,A3) |
|
cdf |
Для заданных аргументов X и возможных параметров A l, А2 и |
|
A3 формируются наборы значений ф.р.в. (cdf - cumulative density |
||
function) или ф.п.р.в (pdf - probability density function). |
||
|
||
|
Вид функций определяется выбираемым из списка именем !пате'. |
|
|
Возможные параметры этих функций определяются в зависимо |
|
|
сти от вида ф.р.в. и ф*п.р.в., некоторые параметры могут не зада |
|
|
ваться. |
П р и м е ч а и и е. В качестве имени следует указывать английское наименование, приведенное в табл. 1.1.3.
Весьма полезной для просмотра различных ф.р.в. и ф.п.р.в. в Matlab является /«-функция disttool. С ее помощью вызывается специальное окно, в котором предусмотрена возможность выбора интересующих ф.п.р.в. или ф.р.в. прямо из вызываемого здесь же списка. Все необходимые параметры непосредственно вводятся в
этом окне, а результаты представляются в виде графика. В этом окне также имеется возможность перемещения по горизонтали вертикальной линии, при этом снизу указывается значение аргу мента, а слева значение функции. С помощью /«-функции disttool удобно вычислять квантиль для выбранной ф.п.р.в.
Выше были рассмотрены случайные величины, при введении которых предполагалось, что в качестве множества элементарных событий Q выступает все множество или некоторое подмножест во действительных чисел. Такие случайные величины получили наименование непрерывных с.в. Вместе с тем в качестве Q мо жет выступать конечный или счетный набор чисел. В этом случае говорят о дискретной с.в.
Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или счетное число значений.
Для дискретных случайных величин их статистические свойст ва полностью определяются набором чисел
ц '= Р г { х = х '} , j =Î M ,
каждое из которых задает вероятность ц7 принятия случайной
величиной значения xJ
Статистические свойства дискретной случайной величины можно адекватно описать с помощью непрерывной случайной ве
личины, ф.п.р.в. которой имеет вид
м
(1.1.40)
где §(•) - дельта-функция.
С использованием такого представления удается получить ряд соотношений, справедливых для дискретных случайных величин; в частности, выражения для математического ожидания и диспер сии будут иметь вид:
Задачи к разделу
Задача 1.1.1. Задана функция плотности распределения вероят ности случайной величины вида
/ х(х) = ке ах (х> 0 ,к> 0 ,а > 0 ).
Исходя из выполнения условия нормировки для ф.п.р.в. найди те коэффициент а .
Р е ш е н и е . Запишем условие нормировки
оо
\ f x(x)dx = 1,
из которого получаем
т.е. к = а .
Задача 1.1.2. Для ф.п.р.в. из задачи 1.1.1 найдите соответст вующую ей ф.р.в.
Л.V
Р е ш е н и е . Fx(x)= J / х(x)dx = J a e ^ d x = - е~ах = 1 - е -С1Х
- 0 0
Задача 1.1.3. Для ф.п.р.в. из задачи 1.1.1 вычислите вероят
ность попадания случайной величины в интервал (0 , — ).
|
|
|
а |
Р е ш е н и е . Рг О < х <— I = Fxт |
= 1 - 1 * о .б з. |
||
Ч |
а |
\ a j |
е |
Задача 1.1.4. Для ф.п.р.в. из задачи 1.1.1 запишите выражение для нахождения медианы распределения и определите ее.
•х0.5
Р е ш е н и е . Fx(х0 5 ) - | / х(х)с!х\>= 0.5 , отсюда следует, что
—СО
1 - е~ал°-5 = 0.5, и, таким образом, медиана Л'о 5 = —1п(2 ) .
а
Контрольные вопросы
1.Поясните такие понятия, как «событие», «вероятность собы тия», «вероятностная мера», «скалярная случайная величина» и «функции распределения вероятностей».
2.Дайте определение функции распределения вероятности и функции плотности распределения вероятности для скалярной с.в. Перечислите их основные свойства и связь с вероятностью попадания с.в. в заданный интервал. Приведите примеры.
3.Дайте определение математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения. Поясните смысл этих вели чин. Что такое стандартное отклонение с.в.?
4.Запишите неравенство Чебышева и поясните его смысл.
5.Поясните, почему дисперсия характеризует разброс значений с.в. относительно ее математического ожидания.
6.Что такое медиана и мода распределения? Приведите примеры ф.п.р.в., для которых эти характеристики совпадают, а также примеры, когда они отличаются. Дайте определение квантиля, поясните смысл этой величины. Какова связь медианы и кван тиля?
7.Как изменится математическое ожидание случайной величины, если ее умножить на известное число?
8.Что такое дискретная с.в. Каким образом дискретную с.в. мож но представить эквивалентной непрерывной с.в. с заданной ф.п.р.в.?
9.Запишите выражения для гауссовской ф.п.р.в, соответствую щих значений математического ожидания и дисперсии и пояс ните, как меняется график функции при изменении этих пара метров. Дайте определение стандартизованной гауссовской с.в.
10.Поясните смысл таких понятий, как «предельная ошибка», «среднее абсолютное отклонение», «вероятное отклонение». Сформулируйте правило трех сигм для гауссовской с.в.
1.2.Случайные векторы и методы их описания
Вданном разделе приводятся обобщения основных определе ний и понятий, связанных со случайной величиной на многомер ный векторный случай. Подробно рассматривается двухмерный случай и, в частности, для него анализируется вид двухмерной га уссовской плотности. Вводится понятие эллипса равных вероятно стей. Обсуждается весьма важная для навигационных приложений задача определения вероятности попадания случайного вектора в заданную область. Определяется круг равных вероятностей, кру говая вероятная ошибка, среднеквадратический эллипс ошибок, радиальная среднеквадратическая ошибка, сферическая вероятная ошибка, сфера равных вероятностей.
1.2.1. Определение случайного вектора и его описание
Случайным называется вектор, каждая компонента которого является случайной величиной. Для случайного вектора
х= (Xj ,...х„)т его свойства в полном объеме задаются совместной
ф.р.в. или совместной ф.п.р.в., определяемыми в виде:
^ x W = I>r(xi |
< x a); |
( 1 .2 .1 ) |
|
Л М - Г ™ : |
|
1 .2 .2 ) |
|
|
ЙХ| ...uXn |
|
|
xn |
A*, |
|
|
Fx{x)= J |
\ f x(u)dux...dun |
(1.2.3) |
|
-00 |
-00 |
|
|
Выражение (1.2.1) задает вероятность события, при котором для каждой компоненты выполняется неравенство X j < X j , j = 1 .п.
Совместная ф.п.р.в. так же, как и в одномерном случае, являет ся неотрицательной функцией и удовлетворяет условию норми ровки
ООJ 00 |
(x)dxJ /* , ...dx„ = 1 . |
(1.2.4) |
-оо -оо
Кроме того, совместная ф.п.р.в. удовлетворяет условиям со гласованности, которые при т<п записываются как
Л„х2,...,хтOï.х2>•••>хт) = }■•'{/х ( * Ь * 2 д т»*„,+]••••*,,)*„«+! --А, ’(1-2.5)
и является симметричной функцией своих аргументов.
Последнее означает, что ф.п.р.в. для вектора х = (х1 ,...х„)т не зависит от того, в какой последовательности расположены его компоненты, в частности / х„х (*;»■ *,• ) = / х х ( х 7- , х , ) .
1.2.2. Статистические характеристики случайных векторов
Вероятность попадания случайного вектора в область Q, его математическое ожидание х и матрица ковариаций Р , которая является обобщением понятия дисперсии на многомерный случай, имеют вид:
Pr(x € Q) = J/ х(x)dx; |
( 1 .2 .6 ) |
Q |
|
х = Jxfx (x)dx =М(х); |
(1.2.7) |
J (х - х)(х - х )т/ х (x)dx = МххТ - хх т |
( 1 .2 .8 ) |
Здесь и в дальнейшем интегралы понимаются как многократ ные, причем если область интегрирования не указана, как уже от мечалось выше, то пределы по каждой компоненте предполагают ся от - со до + оо.
Из условия согласованности, в частности, следует, что диаго нальные элементы матрицы ковариаций
Ра = ст- = J О,- -х ,-)2/ х. (х,)dx{ , i = l л
определяют дисперсии соответствующих компонент случайного вектора.
Математическое ожидание M Xj>x {(х; - х,-)(ху- - Ху)| для двух
случайных величин х2 и Xj называется коэффициентом корре
ляции. Таким образом, недиагональные элементы
P ÿ - M x , t {(.V,- X j ) ( x j -ty )} — JJ(A"i л’/) ( лу -*■/ (•*•/ ’ •'■y ) d x i d x J -,
определяют коэффициенты корреляции между различными ком понентами.
В силу свойства симметричности ф.п.р.в. справедливо равенст во Рц =P j j , означающее симметричность матрицы ковариаций,
т.е. Р = Рт Важным свойством матрицы ковариаций является тот факт, что она является неотрицательно определенной матрицей,
т.е. такой, для которой при любом х * 0 х тРх > О Если математическое ожидание случайного вектора нулевое,
то, как и в скалярном случае, такой вектор называется центриро
ванным.
Понятие квантиля для векторного случая может быть в принци пе введено, если определена область, для которой вычисляется ве роятность. Понятие моды вводится аналогично, а понятие медианы не используется.
Если М х. х {(л*/ - xi)(xj - . ï y ) j = 0 , то случайные величины на
зываются некоррелированными или ортогональными. Отсюда
следует, что для случайного вектора, у которого компоненты некоррелированы между собой, матрица ковариаций имеет диаго нальный вид. Если заданы два случайных вектора, то можно вве сти матрицу взаимной корреляции, определяемую как
в =\ \ (-Y“ *)0 *“ З7) 1 Л,у (л'> y)dxdy,
где f Xy(х, у) - совместная ф.п.р.в. Если эта матрица равна нулю,
то говорят о том, что случайные векторы некоррелированы или
ортогональны.
Важным также является понятие независимости с.в. Случай ные величины x,-, / = 1 .п называются взаимно независимыми,
если совместная ф.п.р.в. равна произведению ф.п.р.в. для каждой из этих с.в., т.е.
П
fx (д'1 ) = J"J / х. (*/) .
/= 1
Аналогично вводится определение и для независимых слу
чайных векторов.